回归问题本真 力求解法自然——以求解多变量最值问题为例

李 俊

(江苏省启东中学 226200)

美国著名数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏.”解决数学问题的关键是依据解题者本身具有的知识经验和审美判断，为实现目标而寻求适合的解题策略.下面通过几道多变量问题说明，如何根据问题条件和结论之间的联系，采取适当的解题策略，使得解法更加自然流畅.

换元法2 本题还可以从所求式子入手，通过整体换元将所求式进行简化.

设z=3x-2y，则3x2-2xy=x(3x-2y)=xz，

添“1”法注意到目标函数与已知条件都是齐二次式，若将目标函数看作分母为1，则原式可以化成齐次分式，再运用用整体思想就可以化为一元函数最值问题了.

根的判别式法若设目标函数值为z，则得到z满足的一个等式,注意到该等式中字母y只出现一次且次数为1，所以可解出y,再代入已知条件消去y，得到一个关于x的方程,因为参数z的取值必须使关于x的方程有解，所以由根的判别式可求出z的范围.

三角换元法根据双曲线参数方程，可用一个参数θ表示x,y，代入目标函数，从而将二元问题化为一元问题.

和差变换法通过两个数的完全平方和与差变换，将目标函数中的xy项消去，问题转化成一元函数最值问题.

上述多元最值问题分别在不同视角下，瞄准目标，兼顾条件，从问题的不同特点入手，选择不同的解题策略，各种方法分别从不同角度凸显了问题的本质.若改变问题条件与已知，上述解决多元最值问题的常用方法可能不在凑效.例如

例2 (2016年江苏高考)已知锐角三角形ABC中,sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值为____．

代入消元法题中含有三个变元:角A,B,C,变元之间除了满足已知的一个等式外,还隐含等式A+B+C=π,所以可以消元化为一元函数问题，这是解决多元最值问题的基本方法.根据题目条件，消去角B,C较为简便，注意到目标函数“切化弦”后，出现了sinBsinC和cosBcosC，所以先用角A表示它们，再整体代入，达到消元的目的.具体解法如下：

∵△ABC是锐角三角形，∴ 当且仅当tanA=4时，tanAtanBtanC取得最小值8.

配方法这是一道以向量为背景的多变量最值问题，首先要将向量关系式化成代数不等式.由题中向量关系式得

(a-c)2+(b-d)2≥(m-2)(ac+bd)+mbc，

整理得a2+b2+c2+d2-mac-mbd-mbc≥0(*).

∵(**)式对任意实数a,b,c,d都成立，

如何根据题目特点和实质选择适合的解题策略，需要解题者在学习过程中不断总结、归纳、体会、悟透.只有回归问题的本真的基础上，才能形成良好的解题策略，而适当的解题策略不仅体现了选择的智慧和组合的艺术，还可以节省探索时间、提高运算的速度和准确度、优化解题过程让解法更加自然顺畅.