三重积分计算中投影坐标面的选择研究

摘 要：计算三重积分时投影面的选择以及投影后坐标系的确定非常重要，这关乎后面运算的正确或错误。本文对三重积分计算中投影坐标面选择依据做了全面研究：明确选择投影面的依据以及具体投影后的坐标系差异选择，帮助学生突破三重积分中坐标系选择、投影面选择这个知识难点，明晰解题思路，减少计算错误。

关键词：三重积分；投影坐标面；坐标系

三重积分的投影法计算都要求投影到坐标面上去完成二重积分的计算，所以具体题目投影到哪个坐标面去计算就显得尤为重要。如果投影面选择不当，必将导致后面运算的困难或错误。因此教学中要重视三重积分计算中投影面的选择依据以及具体投影后的坐标系差异选择，通过例题分析示范，让学生明确正确选择的重要性。

下面首先明确三重积分选择坐标面以及坐标系求解的依据；接着通过举例，帮助学生选择投影坐标面以及投影后的坐标系，明晰解题思路，简化计算。

一、选择合适的坐标系是计算三重积分的关键：

（1）若W在xoy面上的投影是x型或y型区域，说明积分限比较简单，可以用直角坐标计算。

（2）若W是圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合，被积函数中的x、y以x2+y2或x/y的形式出现，用柱面坐标计算比较简单。比如，球面与圆柱面，球面与旋转抛物面，但不绝对。

（3）若W是球形、球形的一部分、球面与锥面围成的部分，被积函数中的x、y、z以x2+y2+z2的形式出现，则适合用球面坐标计算。比如，球面与圆锥面，但不绝对。

二、三重积分投影坐标面选择的问题：

我们发现：关于三重积分投影到哪个坐标面的问题与立体侧面母线平行于哪个轴密切相关。多数情况下，我们会投影到xoy坐标面，但是有时为了计算简便，可将立体Ω 投影到 yoz 面或 zox 面上，使三重积分化成其他顺序的三次积分。

1、当立体侧面母线平行于z轴，在xoy面上的投影区域为Dxy，则计算先z后xy，即是投影到xoy面上计算。

2、当立体侧面的母线平行于y轴，它在xz面上的投影区域为Dxz，则可选择先对 y 积分，然后到Dxz上作二重积分，即是投影到xoz面上计算。

3、侧面的母线平行于x轴，它在yz面上的投影区域为Dyz，则可选择先对x 积分，然后到Dyz上作二重积分。

例1.计算： 其中Ω：x2+y2+z2 ? 1，且z?0.（图形见下面左边图）

分析：因为此题符合选择截面法的两个条件： ；且截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积易求。所以此题采用截面法完成相较于投影法计算更为简单。

解：当0?z?1时，过（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立体W的截面为圆。

故Dz的面积为：

例2.计算：

（图形见右图）

分析：若先对 z 积分，即投影到xoy坐标面去完成。由于沿z 轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成，且W在xy面上投影区域相对复杂，积分较繁。

改为先对 y 积分，即投影到xoz坐标面去完成。因为立体侧面的母线平行于y 轴。投影后利用极坐标计算这个二重积分。

解：投影到xoz坐标面去完成。求W在xz面上的投影区域Dxz。 消去 y，

综上，我们看到：

1、有些题目有多种方法可以选择，选择哪一类计算方法，需要根据积分区域以及被积函数的特征来对比决定方法的利弊。

2、不管利用哪一种坐标系来计算“三重积分”，一定要正确选择投影坐标面完成不同坐标系下的二次积分。

在实际教学过程中，我们可以通过更多的实例让学生探索：如何通过适当选择坐标系以及投影坐标面来求解“三重积分”以达到简化运算的目的。

参考文献：

[1] 同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 羅钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M].北京：科学出版社，2010.

作者简介：

吴文前（1968—），女，成都大学信息科学与工程学院副教授，硕士。研究方向：数学教育

（作者单位：成都大学信息科学与工程学院）