分组巧解题

黄旭军

老师走进教室，“唰唰唰”地在黑板上写下“百僧吃百馒头”，转身说道：“今天我要教给大家的绝招是分组法。”

“什么是分组法？”同学们议论纷纷。老师说：“在解决问题时，有些数量是可以按照一定规律来分组计算的。只要看出哪些数量可以归到同一组，并计算出总数量中包含多少个这样的组，就能计算出每种物品的数量各是多少了。这就是分组法。在做某些题时，它比列方程要快捷得多。”

例1 100个和尚吃100个馒头。大和尚一个人吃3个，小和尚3个人吃1个，大、小和尚各有多少人？

观察开始

已知和尚、馒头的总数量，而“大和尚一个人吃3个，小和尚3个人吃1个”相当于“每个大和尚吃3个馒头，每个小和尚吃1/3个馒头”。

常规思路

我们可以通过列方程来解决问题。

另辟蹊径

若没学方程，怎么办呢？我们可以用分组法解决问题。

根据“大和尚一个人吃3个，小和尚3个人吃1个”，可以把3个小和尚与1个大和尚归为一个吃馒头小组，也就是每组4个和尚（1大3小）吃4个馒头。

100÷（3+1）=25（组）。每组1个大和尚，所以有25个大和尚;每组3个小和尚，所以有25×3=75（个）小和尚。

例2 现有1元、5元、10元人民币共20张，共130元，其中1元、5元的数量相等，三种人民币各有多少张？

?

观察开始

未知量有3个，已知人民币总数量和总金额，且1元和5元的数量相等。

常规思路

设1元有x张，则5元也有x张，10元有（20-2x）张。

10（20-2x）+5x+1x=130

200-20x+6x=130

14x=70

x=5

所以，1元有5张，5元有5张，10元有20-2x=10（张）。

另辟蹊径

分组法求解更简便。

由于1元、5元的数量相等，把1张1元和1张5元合成一组，每组是2张，共6元。也就是说，一个6元对应2张，相当于每张3元。

这样一来，题目就变成了“3元和10元共20张，共130元”。而3元和10元合成组，刚好13元一组，130÷13=10，正好10组，所以3元有10张，10元也有10张。

3元是1元和5元分组得到的，由此可得1元有5张，5元有5张。

列式为：

（5+1）÷2=3（元）

130÷（10+3）=10（组）

10÷2=5（张）

所以，1元有5张，5元有5张，10元有10张。

训练一二一

蜘蛛、蝴蝶共有506条腿，蜘蛛的数量是蝴蝶的2倍。已知蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿，蜘蛛、蝴蝶各有多少只？（答案見下期）