特殊与一般的思想

高慧明

对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答。这种解决问题的思想称之为特殊化思想。特殊化通常是指一般性命题的特殊例子。在数学中，特殊化可以指用具体的数字去代入，也可以指就“极端”的情况进行考虑，还包括做出具体图形等。例如，小学数学教材中的“商不变性质”：“在除法里被除数和除数同时乘以或者同时除以同一个数（0除外），商不变。”我们可以令一个除法式子为6÷3=2，则有（6÷1）÷（3÷1）=2，（6×1）÷（3×1）=2。

当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后解决特殊问题。这种解决问题的思想称之为一般化思想。在中小学数学教学过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来、证明后，又使用它们来解决相关数学问题的。在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想方法的集中体现。在教学中，我们可以有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的问题。例如，可以设计利用一般归纳法进行猜想的试题; 可以着重体现选择题的特点，考查特殊与一般的思想方法，突出体现特殊化方法的意义与作用;还可以通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。

一般化是指由一些特例抽象出共同的特性。波利亚对此给出了如下解释：“一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包括该较小集合的更大集合。”在数学中，我们经常通过改变条件、用变量（字母）去替代常量等来获得更为一般的结论。例如，由一些具体的例子，我们可以得到分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），分数的大小不变;由乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c，我们可以推出更为一般的结论，如（a+b+…+m）×c=a×c+b×c+…+m×c及（a+b）÷c=a÷c+b÷c等。

梅森指出，相对于特殊化而言，一般化是困难的。然而，一般化又是数学创造的基本形式，因为数学认知的根本目的是要揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律。

特殊化与一般化构成了整个解题过程的基础。尽管特殊化与一般化是在两个方向上进行的，但是两者在实际的数学研究中又是密切相关、相互依赖的。特殊化只有上升到一般的高度，我们才能更为深刻地认识和理解各个特殊的例子，才能更好地解决问题。

在中小学数学课堂教学中，如何渗透特殊化与一般化数学思想？

首先，鼓励学生由特殊化提供的素材得出一般化的结论。中小学数学教材中的很多结论，如概念、等量关系、运算定律以及性质等的形成过程，实际上是由特殊的例子抽象出本质的共同特性的过程。这是由中小学生学习数学概念的基本方式决定的，所以在教学中要让学生主动参与一般化结论得出的过程，并引导他们用语言、符号概括或归纳，让他们清楚为什么要得到这些一般化结论。

例如，教学“分数的基本性质”时，除了采用折纸的方法之外，可以再让学生举一些类似的例子，通过小组讨论、分析，最后得出结论，取名为“分数的基本性质”。这时设问：为什么称基本性质？经过一番自由发言后学生渐渐领悟了，再向学生讲述：在数学上，数学家经常把具有共同特性的例子进行分析，并得出结论，为的是利用结论去解决新的问题，或去创造新的东西。这样的过程使学生潜移默化受到了数学思维方法的熏陶。

然后，用特殊化方法去猜测、检验性质（法则）等的真实性，进一步理解性质（法则）等，达到灵活运用的目的。数学知识从特殊到一般的形成过程是复杂的概括、抽象过程，学生真正理解掌握知识是学生用自己的思考例证知识的过程。例如，学习了减法性质“从一个数里连续减去两个数，可以从这个数里减去这两个数的和”后，可以引导学生用自己想的数（特例）去理解它，如10-3-2与10-（3+2）是否相等。

再比如，在三角函数教学中提出下列问题：设函数[f（x）=sin3x+sin3x]，则[f（x）]为（    ）。

其次，用特殊化方法去解决问题。由于小学数学很多命题中存在的极限、函数等数学思想无法用语言表述，学生哪怕解决了问题，也无法真正理解。在这样的情况下，通过特殊法解决一些数学问题是非常必要的，也是儿童理解数学的一种特定方式。例如，教学“平行四边形的面积”时，讨论平行四边形的面积与什么有关：学生A认为与平行四边形的邻边有关，学生B认为与平行四边形的底和高有关。在争论的过程中，一名学生提出问题：平行四边形有不稳定性，如果我们把它压扁一些，压得越扁面积就会越小，“甚至可以说是没有”，怎么与邻边有关呢？正是“甚至可以是没有”的特殊化考虑，使学生对解决这一问题时的思维变得更为清晰。

再次，运用一般化方法推出更一般化的结论。我们通常在得到数学的一些性质后，通过拓展获得新的知识。在这一过程中，一般化的方法起到积极的作用。例如，当学生得到减法性质a-b-c=a-（b+c）后，可以提问：通过这一性质还可以得到什么结论？学生通过大胆猜测以及特殊的检验后得到以下结论：（1）a-b-c-…-m=a-（b+c+…+m）;（2）a-b-b-…-b=0（即连续减去多少个b等于0，结论是a=b+b+…+b，即（a÷b）个b相加）;（3）a-（b-c）=a-b+c。因为这个一般性结论是由学生自己得到的，所以他们理解得更透彻。

最后，鼓励学生用形象的特殊化和模糊的一般化创造性解决问题。小学生的抽象思维比较弱，所以通过特例，自己所得到的是模糊的一般化结论。在教学中鼓励学生不断地运用猜想，运用自己的结论去解决新的问题，学生在面临问题时就不再束手无策。

例如，一次数学活动课教学中出现了这样一道计算题：“1234567892-123456788×123456790=？”学生观察题目后，就动笔了。部分学生用一些特殊的例子找规律，如32-2×4，62-5×7等，最后得到答案是1。这样的数学问题在一些复杂的分数大小比较以及竞赛的计算题中尤为突出。

再如：“长方形的周长一定，长的边越长，面积就       （填‘大或‘小）。”當问题提出后，学生出现以下几种情况：（1）猜测;（2）确定一个特殊的例子，如设周长为14，则有1×7=7，2×5=10，3×4=12等情况;（3）“极端”的思考方法——若长很长，宽几乎接近于0，那么面积也几乎是0。这个例子中，学生先创造性地解决问题，然后通过这样的结论解决了一个自然数列中每两个数（与首尾两个数等距）的和相等（如1、2、3、4、5、6，1+6=2+5=3+4）时，积的最大与最小的问题。

长期渗透特殊化与一般化方法，能培养学生自觉学习和数学式思考问题的习惯。英国教育家洛克认为：“事实上，一切教育都归结为养成儿童的良好习惯，往往自己的幸福归于自己的习惯。”由于特殊与一般思想的运用水平能反映学生的数学素养和一般能力，所以在数学课堂教学和课后练习中，很有必要多设计一些此类问题。中小学数学课程教学中，能够集中体现特殊与一般的思想的常见问题类型主要有“归纳→猜想”型;“类比→猜想”型（例如：平面→立体）;“抽象函数”型;“定点、定值”型;“特殊化方法解选择题”型。

【下期内容预告：有限与无限的思想——数学思想方法系列讲座（7）】

责任编辑  姜楚华