初中数学“基本图形”的应用与研究

随着课改的不断深入，一线教育工作者越来越关注学生素质的培养，“核心素养”也就成为教育界关注的一个焦点。就数学学科而言，核心素养大体上包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。归根结底是要用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界。在多年的初中几何教学中经常会遇到一些学生不会独立思考几何问题。遇到陌生的几何问题就束手无策，不知道从哪方面入手，题目条件似乎都没什么用，他们只会做一些做过的熟悉的题目。主要原因是几何逻辑性太强，很难写出条理清晰的证明步骤；不能把基本图形、符号与文字三种语言“互译”；不会正确地添加辅助线。怎样改变这种现象一直是笔者思考的问题。笔者尝试在几何教学中进行“基本图形”研究，以促进学生数学素养的发展。

一、基本图形从哪里来

1.概念、定理、推论、性质中的基本图形

几何学习最初是从认识图形(概念)入手，再通过性质、判定、推理证明一步步学习的。在学习三角形外角的基本概念时，学习“三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和”的时候，应该在脑海中建立图1的基本图形并能得到∠1=∠A+∠B；在学习等腰三角形“三线合一”性质时在脑海中要建立图2基本图形，并且结合图形写出三中几何语言。在学习“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”时，要在脑海中建立图3基本图形。如图4由半径、弦的一半、弦心距组成的“垂径三角形”是一个很重要的基本图形，很多圆的计算问题都可以转化为这个基本图形，在直角三角形0AP中求解。在半径、弦、弦心距(还有拱高)这4个量中只要知道2个量就可以求其余2个量。

图1

图2

图3

图4

图5

2.习题中出现的基本图形

尽管数学练习千变万化，但是绝大多数题目都能从中提炼出一些基本元素，在教学中帮助学生梳理、提炼这些基本图形，遇到问题时分离这些基本图形，基本图形残缺时构造基本图形，这样可以以这些基本图形为载体，培养学生的空间想象能力，分析推理能力。一种是简单的基本图形。例如，三角形全等的基本图形：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的基本图形：三角形相似的基本图形，还有弦切角定理、切线长定理基本图形等，这些都是比较简单的常见的全等、相似的基本图形，易于掌握和应用。还有一种是比较复杂，经常在习题或考题中出现，也可以提炼为基本图形。例如基本图形如图5：角平分线+平行线等腰三角形(1)AC平分∠BAD；(2)AB=CB；(3)BC∥AD。由三个条件中的任意两个都可以推出另一个成立。

3.反映数学规律的基本图形

尽管几何部分有很多知识点，但是某块内容的有关练习都有很多共性之处，可以把其中最有共性、最本质的基本元素提炼出来作为基本图形，给解决问题带来便捷。例如：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边(或两边所在直线)分别与两等角的非共线边(或该边所在直线)相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形。

图6

已知：如图 6，∠A=∠CPD=∠B，求证：△CAP∽△PBD。证明：∵∠CPD+∠APC=∠B+∠PDB，∠CPD=∠B，∴∠APC=∠PDB，又∵∠A=∠B，∴△CAP∽△PBD。当增加条件：CP=DP时，△CAP≌△PBD

二、基本图形运用实例分析

1.基本图形一题多变

如果我们着手解答一道习题，那第一件事就是搞清楚它是一道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？基础知识复习的深刻性并非简单地加大难度，而是体现在深入到知识底层和方法的本质，聚焦学生的能力发展，关注知识运用背后的基本思想、基本方法和基本经验。这就要求我们在复习课教学中，对已经学习过的知识进行综合研究，使相互联系的知识模块化，对一些基本思路、基本方法或基本结论相同的问题进行模型归纳，在模式识别、一模多变的过程中打通学生的思维通道，提升他们分析问题和解决问题的能力。

如图7：马路两侧有两根灯杆AB，CD。当小明站在N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，站在灯A的照射下小明的影长为NE。测得BD=24 m，NB=6 m，NE=2 m，判断这两根灯杆的高度是否相同，并说明理由。

图7

图8

此例两次运用“平行A型相似”的基本图形和结论很容易解决，为了获得“双平行A型相似”问题经验模块，可做如下设计：

变式1：在上题中，小明站在何处可以同时使得其在灯A下的影长恰好为ND？

变式2：假如灯杆高度不等，小明恰好站在可以同时使得其在灯A和灯C下的影长恰好为ND和NB，你能发现怎样的结论？

变式3：如图8，已知直线AB同侧有平行线AC，BD，联结AD，BC交于点E，又EF∥AC交AB于点F，求证：1/AC+1/BD=1/EF。经过这样的变式设计和活动之后的反思概括成“双平行A型相似”结论：指导思想：数形结合；处理策略：由形到数；基本结论：1/a+1/b=1/c

也可以将基本结论表达成梯形的一个性质：过梯形对角线交点向一腰所引平行于底边的线段长的倒数等于两底边长的倒数之和。

2.基本图形提炼有助于对知识的梳理

相似三角形相似判定方法一课，我们可以从“母子型”“平行线A型”“逆平行线型”“8字型”“双平行线A字型”“一线三等角型”等模型的建构作为本节复习课知识建构的主体。既梳理了知识，又从模型上分类积累了很多思路。

如图9，在平面直角坐标系XOY中，直线y=-x+m分别交X轴，Y轴于A，B两点，已知点C(2，0)。(1)略；(2)设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是多少。抓住相等角，活用“一线三等角”。

图9

图10

分析：本题已有两角相等且在一线上，如果此线上再有一等角，那么“一线三等角”模型便可以形成，此解法贵在没有因为图形的“怪异”而失去对已知条件本身的理解，一步到位，干净利落。

“一线三等角”模型是一种常见的建立三角形相似的方法：如图，∠D=∠ACB=∠E时，△ADC∽△CEB。该模型在本题中的应用时，由于图形看上去有些“怪异”而放弃这种解法，原因般有两个，一是模型教学中太注重“模型”的形式，忽视了其数学本质的挖掘“一线三等角”的本质是三角形内角和与同角的补角相等，所以顶点在一条线上的三个角相等是其基本特征，本题中一条线上已有两角，且我们解题思路中已确定点为制造三角形相似，所以，在C的基础上制造第三个角就成了必然。

三、巧妙运用基本图形发展学生学科核心素养

1.通过基本图形培养学生的空间想象能力

林崇德老师在《学习图形与发展》一书中提到中学数学的发展，可以分为由低到高的三级水平，其中第Ⅱ级水平为能够由较复杂的图形分解出简单的基本图形，在基本图形中找出基本元素及其关系，并能够将图形及其特征联系起来。

图11

图12

例如：如图12：△ABC内接于⊙O，边BC上的高AD的延长线交⊙O于点H，以AD为直径的⊙O’交AB、AC于点E、F，EF交AD于点G。求证：AD2=AG·AH.

图13

图14

图15

分析：这个问题中出现了条件AD是⊙O的直径，E(或F)是半圆上的点，所以可运用半圆上的圆周角是直角的基本性质进行证明。而现在图形中有⊙O′的直径AD，有半圆上的点E，但没有圆周角所以应将圆周角添上，于是连结DE(如图13)，即可得∠DEA=90°。这里出现的半圆上的圆周角实际上就是组成这个几何图形的第一个基本图形在得到DE⊥AE后，由条件AD⊥BC，可得△ABD是直角三角形，这样就出现了DE是Rt△ABD的斜边上的高，那么，运用直角三角形斜边上的高的基本性质，就可得结论中出现的AD2应等于AE·AB，且∠ADE=∠ABD。这个直角三角形斜边上的高，就是组成这个几何图形的第二个基本图形(如图13)由性质AD2=AE·AB，再对比要求图3证的结论AD2=AG·AH，可知问题转化成要证明AE·AB=AG·AH这是线段之间的比例关系，经过描图可发现，出现了两组相乘线段重叠在一直线上，且有一个公共的端点，从而可添加一组逆平行线型的相似三角形进行证明，添加的方法是将端点B和端点H、连接起来，于是连接BH。可得△AGE和△ABH应是一对逆平行线型的相似三角形，这就是组成这个几何图形(如图14)的第三个基本图形。而要证明这两个三角形相似就可以转化为要证AE·AB=AG·AH的等价性质∠AGE=∠ABH(或∠AEG=∠H)由于∠AGE可以看作是△AFG的一个外角(E、G、F成一直线)，所以∠AGE=∠FAG+∠AFG.而∠FAG可以看作是⊙O的一个圆周角，在⊙O上已经出现四点A、B、H、C，所以应用圆周角的性质可得∠FAG=∠CBH.这里出现圆周角就是组成这个几何图形的第四个基本图形(如图15)。根据同样的道理，在⊙O中应用圆周角的基本图形的性质可得∠AFG=∠ADE.而已经证明了∠ADE=∠ABD，所以∠AFG=∠ABD，又∠CBH+∠ABD=∠ABH，所以∠ABH∠AGE就可以证明，分析也就完成。

从上述例题的分析，可以发现这个几何问题的图形实际上是由半圆上的圆周角、直角三角形斜边上的高、逆平行线型相似三角形和圆周角这四个基本图形组合而成的所谓对这个问题的分析，实质上就是将问题进行分解并进一步发现且找到组成它的所有的基本图形，再运用这些基本图形的性质使问题得到解决。

2.通过基本图形培养学生的直观想象能力

著名数学家华罗庚先生有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述。代数具有高度的抽象性，单纯地研究代数，对于中学生而言比较难于理解，而数形结合是初中数学中重要的思想方法之一，在初中数学中起着重要的作用，通过图形将代数问题直观化。例如，在函数的教学中，函数图像是直观的研究函数的重要工具。函数有三种表示方法：解析式法、图像法、列表法。而这三种方法中，图象法是最直观的方法。初中生的思维处于由形象思维向抽象思维转变的过程，对于形象思维更易于接受。鉴于此，在学习函数时，教科书利用描点法画出函数图象，借助于函数图像，直观地发现函数的性质，如增减性、最大最小值、对称性。而这些仅通过函数解析式或列表法是很难发现的。反过来观察图象又可以增进对代数的理解，例如，二次函数的教学首先学习y=ax2形式的函数，通过画函数图像得到顶点在原点的函数图象的性质，接着学习y=a(x-h)2+k，加深对函数解析式的理解。

3.通过基本图形发展的学生思维的广度和深度

如图16，AB、CD相交于E，AD=AE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点，请说明：HF=HG学生往往会想到等腰三角形“三线合一”基本图形，等腰三角形基本图，三角形中位线定理基本图，所有和条件有直接关系的基本知识和图形都能想到，但还是解决不了问题，这就促使学生深入思考：有没有与基本图形的性质派生出的结论和条件相结合形关联的基本图呢？数学基本知识扎实的学生就想到了直角三角形斜边上的中线基本图形，于是想到连结AF、CG使问题得到了解决。用基本图形分析法分析比较复杂的几何间题，可以锻炼学生的思维广泛性和深刻性。解决问题后，学生的身心愉悦，有相当强的成功体验，成为学习数学的无穷动力。

图16

4.通过基本图形培养学生学习几何的热情

在教学时引导学生结合图形理解记忆基本知识，学生只要根据图形用自己的语言把意思表达清楚就可以了，学生易于接受、容易落实。在参与课堂讨论的时候，某些学生虽然没有找到解决问题的办法，但总能说出自己的部分想法，想到了哪些基本图形、哪些基本知识，经常在讨论中使问题得到解决。学生也很少再为答不出问题而感到差愧，增强了学生学习数学的信心，更愿意参与到课常中来。调查显示所教班级中(36人)有32对数学很感兴趣了，其中有10人原来对数学不感兴趣，现在对数学兴趣很浓厚了。学生以基本图形的形式建立几何知识索引的效果较好，有专家在他的教育研究中指出学生看到陌生题目不会做的原因是他们按照题目条件在头脑中不能建立知识索引，或者建立的知识索引不够清晰。即看到题目首先想到的是这个题目有没有做过，而不是想如何根据已有的知识方法分析它。知识索引是指学生把基本的知识通过加工储存在头脑中。本研究是通过基本图形与基本知识相关联的形式进行储存，引导学生看到题目中的条件就想到相应的基本图形和知识点。利用这种方法分析问题时，即使不能找到解题方法，学生也进行了一定的数学活动，也会有所收益。以基本图形的形式建立知识索引，是“块状知识”的索引，即信息加工理论中的“组块”，或者是图式理论中的“图式”，便于学生需要这些知识时从头脑中提取出来。

总之，对初中数学基本图形的归纳与应用，对初中数学教学起到很大的帮助，更对学生学习初中几何起到指路引领的作用。基本图形对于中下程度的学生掌握基本知识效果较好，学生不用死记硬背基本知识，只要联想到基本图形，看图形说出大概意思，然后能进行简单的应用就行，但是对于他们分析较难的综合同题，有时效果不明显。毕竟，思维能力的培养需要一个过程；基本图形对提高优秀学生的解题能力效果明显，且明显缩短丁思考时间，减少了尝试一失败的次数，且很容易激发学生的学习兴趣，促使学生自主探究较难的问题；在复习课中系统的实施基本图形分析法，建立完备的基本图形库，帮助学生进行减负高效的数学学习。