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三角形中位线的妙用

2019-08-07李杨

关键词:位线中线平行线

李杨

中图分类号:G633.64文献标识码:A文章编号:1992-7711(2019)14-046-1

北师大版《数学》在八年级删减了“平行线等分线段”及“平行线分线段成比例”定理,刚开始让我们老师有些茫然,但没想到正因为这一删减,在九年级上册第三章《证明》“三角形的中位线”,却收到了意想不到的结果。

传统教材与新教材对“三角形中位线”定理的证明,都是采用作辅助性构造平行四边形,再无新意。而初学新教材的学生却首次提出不作辅助性,利用三角形相似即可证明,让人眼前一亮。

定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半

已知:如图1中DE是△ABC的中位线

求证:DE∥BC,DE=1/2BC

证明:∵DE是△ABC的中位线

∴AD/AB=AE/AC=1

又∵∠DAE=∠BAC

∴△ADE∽△ABC

∴DE/BC=AD/AB=1/2

即DE=1/2BC

∴∠ADE=∠ABC

∴DE∥BC

同样,教材P87“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理,新旧教材仍均是采用构造矩形来证明的。但这种证明,学生,包括老师均难以想象,难以接受。学了“三角形的中位线”,学生的思维又不得不让你惊叹。

定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

已知:如图2中直角△ABC中,∠ABC=900,BE是AC边上的中线

求证:BE=1/2AC

证明:作AB的中点F,连接EF

∴EF是△ABC的中位线

∴EF∥BC

又∵∠ABC=900

∴∠AFE=∠BFE=90°

又∵AF=BF,FE=FE

∴△AFE≌△BFE

∴BE=AE

又AE=EC

∴BE=1/2AC

有了這种证明,你能想到它的逆定理的证明吗?

逆定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

已知:△ABC中,AE=CE,且BE=1/2AC

求证:∠ABC=900

证明:作AB的中点F,连接EF

∵BE=1/2AC,AE=CE

∴BE=AE

又∵BF=AF,EF=EF

∴△AFE≌△BFE

∴∠AFE=∠BFE=90°

又BF是△ABC的中位线

∴EF∥BC

∴∠ABC=∠AFE=90°

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