余弦形预制双曲梁非线性隔振器的隔振性能

2019-08-07任晨辉杨德庆

上海交通大学学报 2019年7期

任晨辉，杨德庆

(上海交通大学海洋工程国家重点实验室；高新船舶与深海开发装备协同创新中心；船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240)

船舶的各种动力设备(如主机、发电机、空气压缩机)以及不同用途的泵等在运行过程中都会引起船舶的振动并产生噪声[1].合理控制振动，是保证设备正常运行与人员居住舒适度的前提，对于军事舰艇，还能够增强其隐蔽性，提升作战性能.目前，广泛使用的隔振手段是在动力设备与船体之间安装弹性装置，即机器与筏架、筏架与基座之间用隔振器相连接，常用的隔振器主要有钢丝绳隔振器、空气弹簧和橡胶隔振器等.钢丝绳隔振器具有结构简单、安装方便、质量轻等优点，在机械、交通、船海等领域得到了广泛应用[2-3]，但钢丝绳隔振器的减振机制涉及钢丝之间摩擦阻力与恢复力的迟滞效应，是一个复杂的力学系统，在研究和设计模型的过程中需进行简化；空气弹簧的体积庞大、造价高昂，且需要辅助系统，使其应用范围受到了限制；橡胶隔振器的材料容易发生老化，使其刚度和阻尼参数逐渐偏离设计值，因此，有必要采用新型的材料与结构制造实用的隔振器，以用于船舶设备的隔振.

图1 跨中受压的余弦形曲梁及其前3阶屈曲模态示意图Fig.1 Schematic diagram of prefabricated cosine beam under lateral force at midpoint and the first three buckling modes

余弦形预制曲梁在曲率较大时具有良好的承载能力，且其刚度易于分析，可作为一种非线性隔振器元件.因此，本文在研究余弦形曲梁跨中受压特性的基础上，利用3D打印成型技术设计并加工了一种余弦形双曲梁非线性隔振器，拟用于船舶设备的隔振.同时，采用谐波平衡法求解隔振系统振动微分方程的近似解析解，并与龙格-库塔方法的数值解进行比较，以验证其合理性.另外，根据解析解给出振动传递率的表达式，并作为衡量隔振器性能的指标，分析了不同非线性刚度系数、激励幅值和阻尼系数对隔振器隔振性能的影响，以期为余弦形预制双曲梁隔振器的设计和应用提供参考.

1 余弦形预制双曲梁非线性隔振器的动力学建模

1.1 余弦形预制曲梁

图1所示为余弦形曲梁及其前3阶屈曲模态示意图.其尺寸参数包括梁的两约束端距离l、梁截面厚度t、梁截面宽度b、初始时刻梁轴线中点距两端点连线的垂直距离(拱高)h等.在跨中受到垂直向下的作用力f时，根据梁的几何特性，f与梁中点的位移d的关系可分别描述为

(1) 当Q=h/t较小时，下压过程中垂向力与跨中位移的关系为f1=f1(d).

(2) 当Q=h/t较大、下压过程中梁轴力小于i阶屈曲力时，垂向力与跨中位移的关系仍为f1=f1(d)，此时的力与位移变化方向一致，整体结构呈“正刚度”；当梁轴力达到i阶屈曲力时，垂向力与跨中位移的关系可表示为fi=fi(d)，此时的力与位移变化方向相反，结构呈“负刚度”(对于限制2阶屈曲模态的梁，取i=3；当不限制2阶屈曲模态时，取i=2).

Qiu等[4]引入无量纲量Fi=fil3/(EIh) (i=1,2,3)、D=d/h、Q=h/t，以推导以上的力-位移关系，所得无量纲的作用力Fi(i=1,2,3)如下：

(1)

对应的有量纲形式的作用力fi(i=1,2,3)如下：

(2)

式中：E为弹性模量；I为截面转动惯量.

当f1取极大值时，对应有

式(1)中的3种力-位移关系可用图2表达.

图2 不同几何特性的余弦形曲梁的力-位移关系Fig.2 Different solutions of normalized force-displacement relationship for pre-fabricated cosine beam

由图2可见：随着位移增加，垂向力的值总是先增加到最大(该峰值称为正向屈曲力)，而后，随着位移增加而减小，出现“负刚度”区域，最后，垂向力从最小值开始又随着位移增加而增大；当Q=1.65 时，F1与F2相切；当Q=2.31时，F1与F3相切，且与F=0的水平线相切.

本文利用余弦形预制曲梁的力-位移关系中“正刚度”区域来设计制造一种新型非线性刚度隔振器，拟用于船舶设备的主动与被动隔振.为保证隔振器的初始刚度以及满足变形过程中侧向稳定性的要求，避免下压时出现余弦形曲梁的2阶屈曲变形，将2个相同的余弦形曲梁的中部和两端固结[5]，如图3所示，从而保证曲梁在极限载荷作用下直接由1阶屈曲形状转变为3阶屈曲形状而不发生侧向翻转.

图3 单余弦形曲梁与并联双余弦形曲梁Fig.3 Single cosine beam and centrally-clamped cosine beam

余弦形预制双曲梁非线性隔振器的设计包括梁的两约束端距离l、梁截面厚度t、梁截面宽度b、中心拱高h等几何参数.设计时，先根据实际应用场景确定梁外形的长度和宽度，再依据隔振器在给定参振质量下的静变形与最大允许振幅，由式(2)反复核算来确定t、h，以保证刚度与振幅满足使用要求.所设计的非线性隔振器外形与应用场景如图4所示.隔振器材质为丙烯腈-丁二烯-苯乙烯(ABS)树脂，其弹性模量为 1.8 GPa，泊松比为 0.39，密度为 1.04 g/cm3，抗拉强度为50 MPa.采用3D打印成型技术一体成型，设计参数可变范围较大，且避免了金属材料的焊接缺陷与残余应力等影响.

图4 余弦形预制双曲梁非线性隔振器Fig.4 Centrally-clamped cosine-shaped beam as a nonlinear vibration isolator

1.2 非线性隔振器系统的动力学方程

在设计余弦形预制双曲梁非线性隔振器时，采用足够大的Q=h/t，有利于提升隔振器的承载性能.由图2可以看出，当Q=h/t>2.31，即9h2>48t2时，曲线F(D,Q)与F=F3有3个交点，交点横坐标D的有量纲值为

(3)

其中：d=d1时所对应的有量纲垂向力为

(4)

但是，Q的增幅是有限度的.随着h增大，尽管垂向最大允许载荷会增加，但垂向刚度也随之增大，使得系统的固有频率将增大而不利于隔振.

图5 两种不同的隔振系统模型Fig.5 Active and passive vibration isolating system

根据振源的不同，通常将隔振分为两种不同的模型，即主动隔振与被动隔振[6].如图5所示，主动隔振是将振源与基础隔离开，以避免或减小系统的振动向基础传播；被动隔振则是避免或减小基础运动对系统或设备的激励.

对于主动隔振，所建立的动力学微分方程为

k3(x+Δ)3=F+mg

(5)

Δ满足k1Δ+k2Δ2+k3Δ3=mg，故有

(k2+3k3Δ)x2+k3x3=F

(6)

与式(5)相比，式(6)更容易求解.

对于被动隔振，所建立的动力学微分方程为

k2(x-u+Δ)2+k3(x-u+Δ)3=mg

(7)

令z=x-u，u为基础位移激励，则有

(8)

形如式(6)和(8)的非线性振动微分方程称为Helmholtz-Duffing方程[7-8]，可用谐波平衡法求解[9-10].具体方法：将隔振系统激励项和方程的解都利用傅里叶级数展开；然后，将其代入隔振系统的运动微分方程中，令同阶谐波项的系数相等，即可将原方程转化为一系列的代数方程；通过求解代数方程即可确定傅里叶级数的系数，从而获得隔振系统的解析解.本文分别利用谐波平衡法求解式(6)和(8)的近似解析解.

2 非线性隔振系统响应

2.1 主动隔振系统响应求解

对于主动隔振系统动力学方程(式(6))，假设

(9)

式中：ω为圆频率；t为时间；ε为相位；a0为非线性响应常数；a1为响应谐波.

将式(9)代入式(6)，其等号左边可精确展开成不同阶次谐波的线性组合.然后，令等号两边的常数项、sinωt、cosωt的系数相等，则有

(10)

式中：

(ca1ω)2=f2

(11)

(12)

式(11)与(12)反映了主动隔振系统非线性隔振模型的圆频率-振幅响应特性，其相位ε满足

(13)

2.2 被动隔振系统响应求解

对于被动隔振系统非线性动力学方程(式(8))，假设

(14)

式中：Λ为基座加速度激励幅值；φ为被动隔振系统的相位；b0、b1分别为被动隔振系统非线性响应常数和响应谐波.

式(14)的求解过程与主动隔振系统类似，最终可得

(cb1ω)2=(-mΛ)2

(15)

(16)

将z(t)代入x=u+z，可得

x=u+z=

-(Λ/ω2)cos(ωt+φ)+b0+b1cosωt

(17)

式(15)～(17)反映了被动隔振系统非线性隔振模型的圆频率-振幅响应特性，相位φ满足

(18)

2.3 数值解验证

式(6)和(8)对应的微分方程可用多种方法求解.由于广泛用于工程中的龙格-库塔方法具有精度高、收敛性好、稳定、易于程序实现的优点，所以本文利用4阶5级龙格-库塔方法求解非线性振动微分方程，并与谐波平衡法的解析解进行对比.隔振器的尺寸设计参考船舶中常用的BE-120橡胶隔振器，其长度为140 mm、宽85 mm，其余参数的选取依据隔振器在给定参振质量时的静变形与最大允许振幅条件.本文所设计的非线性隔振器参数的设计自由度大、选择范围广，所选主动隔振系统计算参数：l=0.14 m；b=85 mm；h=14 mm；t=5 mm；ζ=0.005；m=300 kg；f=100 N；Δ=1.14 mm；d1=6.08 mm；振动频率fr=10 Hz.被动隔振系统计算除fr=20 Hz、加速度的激励幅值Λ=1.96 m/s2外，其余参数与主动隔振系统计算一致.当系统达到静平衡时，根据k1Δ+k2Δ2+k3Δ3=mg所得隔振器变形量Δ=1.14 mm，由式(3)计算所得最大允许振幅为 6.08 mm，最大静载荷为 8.543 kN.

图6和7分别示出了主、被动隔振模型的振动位移与响应相迹图，包括谐波平衡法求得的近似解析解与利用龙格-库塔方法所得数值解.

图6 主动隔振系统响应的谐波平衡解析解与数值解Fig.6 Analytical and numerical solutions of the active vibration isolating system

图7 被动隔振系统响应的谐波平衡解析解与数值解Fig.7 Analytical and numerical solutions of the passive vibration isolating system

由图6和7可见，谐波平衡法得到的近似解析解与龙格-库塔方法所得数值解基本吻合，从而验证了谐波平均法求解的有效性.

图8所示为式(12)对应的主动隔振系统的非线性响应常数a0与响应谐波a1的幅频特性曲线.可以看出，非线性隔振系统的响应曲线的顶端向左倾斜，即呈现出“渐软”式非线性隔振系统的幅频曲线特征，这与图2中垂向力变化曲线的斜率(刚度)逐渐减小的变化规律一致，且随着载荷幅值的增加，幅频曲线的倾斜程度增大.

图8 主动隔振系统响应的幅频特性曲线Fig.8 Frequency response curves of the active vibration isolating system

3 余弦形预制双曲梁隔振器的振动传递率

对于主动隔振系统，由于输入载荷是外力，所以选用力传递率作为衡量隔振器性能的参数[11]，能够较好地反映隔振器效率.非线性隔振系统的力传递率和线性隔振系统的力传递率有着相同的意义[12]，均表示传递到基础上的动态力幅值与激励力幅值的比值.

对于主动隔振系统的力传递率，首先计算传递到基础上的动态力，即弹性力Fres与阻尼力Fdam，两者的相位相差90°，其计算公式为

如果仅考虑动态力，则力传递率的表达式为

TF=

对于被动隔振系统，选取位移传递率作为衡量隔振器性能的参数.系统的振动位移传递率定义为系统绝对位移响应幅值与基础位移幅值的比值，系统绝对位移的表达式为

如果仅考虑动态位移，则位移传递率的表达式为

其中：被动隔振系统的相位φ由式(18)得出.

4 参数对隔振器隔振性能的影响

4.1 非线性刚度系数对振动传递率的影响

4.2 激励幅值对振动传递率的影响

增大激励力的幅值(对于被动隔振系统，增大激励加速度的幅值)，所得不同激励幅值下的振动传递率曲线如图10所示.其中，输入载荷按照工作区域振动加速度上限为 0.286 m/s2，对应的主动隔振系统激励力为 85.8 N，分别取该加速度或激励力的120%，100%，80%，50%，其余参数同上.由图10可见，在大部分频率范围内，改变激励幅值并不影响振动传递率，而在其响应幅值有多个取值(“不稳定”区域)时，激励力或激励位移的增大会增强振动传递率曲线向左倾斜的程度，使系统具有更加明显的非线性特征.

图9 不同h下的振动传递率曲线Fig.9 Vibration transmissibility curves of the isolators with different h

图10 不同激励幅值下的振动传递率曲线Fig.10 Vibration transmissibility curves under different excitation amplitudes

4.3 阻尼系数对振动传递率的影响

选取隔振系统的黏性阻尼比ζ=0.005，0.010，0.020，0.050，0.080，0.100，其余参数同上，以分析阻尼系数的影响，所得不同黏性阻尼比条件下的振动传递率曲线如图11所示.可见：随着ζ值增大，共振点的力和位移传递率明显降低，且存在一条明显向左倾斜的“脊骨线”贯穿曲线族峰值点，由非线性刚度系数和激励幅值所决定，而ζ对曲线骨架没有影响；随着ζ值变小，振动传递率曲线逐渐向频率较小的方向倾斜，系统的不稳定性逐渐增强.