高温防护服温度分布数学模型的建立与模拟

汪明珮 郑立飞

（西北农林科技大学理学院，陕西杨凌712100）

近年来，随着社会的快速发展，产生了许多需要在高温环境下作业的危险工作，关于高温作业专用服装的研发与设计工作也逐渐火热。①有对防护服着装舒适性、隔热性能等的研究：张忠彬（2011）应用热平板仪、人工气候室和暖体假人等研究设备，对高低温防护服的隔热性能进行研究［1]；周书林（2013）在对常用高、低温防护服隔热性能研究基础上，从防护服的面料、结构和工艺等角度，对服装的舒适性进行研究［2]；田苗（2013）对国内工业中普遍应用的3类高温防护服，进行穿脱便捷性、工效学和穿着生理负荷测试，探寻对人体造成灵活性限制级生理负荷的原因，并对高温防护服提出结构设计优化策略［3]。②有对防护服设计常用的高温防护方法和机理的研究：马菡婧（2018）从高温防护方法和设计模式角度，介绍了热功能防护服防护机理［4]。③有对高温防护服材料的评价标准、影响因素等的研究：张超（2013）通过人体模型模拟人体生理功能，建立遵循“人体—服装—环境”系统观点的热防护服装防护作用评价方法标准［5]；冯倩倩等（2016）阐述了热功能防护服装的防护原理、种类、测试标准及影响因素［6]；李紫含（2018）从客观评价和主观评价两个方面，构建了高温高湿环境下热防护服降温效果评价指标体系［7]。④有对防护服材料的热传导和温度分布的研究：Ahmed Ghazy等（2012）建立有限体积模型，考虑了服装层之间、服装与皮肤之间的气隙中传导——辐射传热的联合作用，论证了准确模拟空气间隙对预测防护服性能的重要性［8]；卢业虎（2013）对衣下空气层对织物内热湿传递性能的影响进行研究［9]；杨杰（2016）将人体热反应模型作为假人的控制系统，建立假人耦合系统，可预测人体核心温度及皮肤温度，也可用于防护服隔热及隔湿性能测试［10]；索昊（2018）建立内部恒温型假人皮肤表层温度与外界高温环境之间热防护服三层织物材料和空气型的热传导数学模型，根据材料间的传热方式，确立各阶段温度分布方程［11]；刘畅（2019）借助多元非线性回归方法，对高温环境下经过热防护服传热到假人皮肤的整个热传导模型进行研究［12]。⑤有借助热传导等机理对高温防护服厚度优化设计进行研究的：贾宇航（2018）依据傅里叶定律以及能量守恒定律，构建出不同材料层中的热传递偏微分方程模型，通过熵权法线性加权，将双目标优化模型转换为单目标优化函数，确定出Ⅱ层的最优厚度［13]；王伟伟（2018）基于Fourier导热定律和有限差分方法，建立高温防护服的热传导模型，对最优厚度的设计建立指标体系，并运用粒子群算法求解［14]；罗鑫锦（2019）利用MATLAB三维立体图模拟假人的人体构造，预测假人皮肤温度变化，利用估算法求极值确定专用服装的最优厚度［15]；张文远（2019）借助BP神经网络对假人皮肤温度与作业时间进行拟合，建立热传递偏微分方程，结合寻优算法，得到最优厚度［16]；黄新运（2018）、张 烨（2019）、成 知 宁（2019）、崔 荣升（2019）、沈禹（2019）等依据傅里叶热传导定律和热量守恒定律对专用服装的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ分别建立偏微分方程模型，选用有限差分法求解［17-21]。

本文围绕2018年全国大学生数学建模竞赛A题“高温作业专用服装设计”展开研究，依据传热学理论详细分析高温环境下专用服装的传热方式，建立高温防护服传热模型，计算出高温环境中专用服装随时间变化的温度分布，并与实验数据对比，验证模型的合理性和准确性，为高温防护服更进一步的研究奠定基础。

1 数学模型

1.1 基于传热学理论分析的模型描述

传热的基本方式有：热传导、热对流和热辐射。实验中专用服装由假人穿着，将体内温度控制在37°C的假人放置在实验室的高温环境。假人不会有出汗，于是忽略模型中的质交换，如此本模型就是单纯的传热问题。实验中热量由高温环境通过三层织物材料制作的专用服装和Ⅲ层与皮肤之间空隙层（Ⅳ层）传递到假人皮肤外侧，传递形式如图1：①Ⅰ层与外界高温环境间既发生自然对流换热，又发生辐射换热。因为外界环境空气没有受外力迫使它流动，故为自然对流；外界环境温度又较高，故辐射换热不能忽略；②热量通过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ层是以热传导的方式进行的；③Ⅰ层与Ⅱ层、Ⅱ与Ⅲ层因为是密切接触，热量也是以热传导的形式传递，且接触面上没有温差；④Ⅲ层与空隙层Ⅳ层间发生的热量传递形式是对流换热，空气在缝隙中不受外力作用，故对流换热为自然对流换热；⑤空隙层Ⅳ层与假人皮肤外侧间发生的热量传递形式也是自然对流换热，道理同④。

图1 每一层织物或空气层发生的传热模式

1.2 模型假设

（1）构成专用服装的三层织物材料之间密实接触没有缝隙，可忽略其接触热阻，于是各层接触面间没有温差；

（2）模型中各层材料物质均匀，各向同性，故其物理性质参数密度、比热、导热系数均为常数；

（3）环境中的空气和IV层的空气的物理性质参数密度、比热、导热系数也均为常数；

（4）外界高温环境里的空气无外力作用，其速度为零，于是I层与外界环境间的换热为自然对流换热；

（5）高温防护材料外层都会作防辐射处理，所以辐射换热可以忽略不计；

（6）因空气速度为零，假人表皮与IV层的空气间的换热为自然对流换热；

（7）实验中使用的假人迎风面为平面。

1.3 模型的建立

（1）热传导模型建立

如图1，沿各层厚度方向建立直角坐标系，令x1、x2、x3、x4分别表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、IV层的厚度，则其数学表达式为：

其中，δI为Ⅰ层的厚度，δII为Ⅱ层的厚度，δIII为Ⅲ层的厚度，δIV为Ⅳ层的厚度，单位均为m。

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ层的热量传递是热传导形式，在研究时间内，此三层的温度随时间发生变化，所以温度场是非稳态的，且三层织物材料均无自发热，没有内热源。因此，由能量守恒定律和傅里叶定律，无内热源的非稳态热传导公式为：

其中，ρi表示各层材料的密度（kg/m3），ci表示各层材料的比热（J/(kg·K)），λi表示各层材料的热传导率（W/(m·K)），T表示温度（K），τ表示时间（s）。

因为专用服装三维尺寸中长度方向和宽度方向上的尺寸远远大于厚度方向的尺寸，于是在厚度方向上的温度梯度远远大于另外两维方向上的温度梯度。因此，可将模型简化为一维问题，即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ层的无内热源的非稳态的一维直角坐标的热传导模型为：

由上述分析可知，Ⅰ层与外界高温环境间发生的是自然对流换热。因为外界环境空气没有受外力迫使它流动，故为自然对流。Ⅲ层与空隙层Ⅳ层间发生的热量传递形式是对流换热，空气在缝隙中不受外力作用，故对流换热为自然对流换热。同理，空隙层Ⅳ层与假人皮肤外侧间发生的热量传递形式也是自然对流换热。

（2）边界模型的建立

通过边界对流换热的热流量又以热传导的形式在Ⅰ层的边界导入Ⅰ层内部，于是高温环境侧对流边界条件为：

其中，h环高温环境与Ⅰ层之间自然对流换热系数高温环境温度（K）。

间隙层与假人皮肤侧对流边界条件为：

其中，TⅣ为间隙层空气温度（K），T皮为假人皮肤温度（K），hⅣ间隙层与假人皮肤之间自然对流换热系数

I与II层间的边界条件为：

I

I与III层间的边界条件为：

III与为IV层间的边界条件为：

（3）初始条件模型的建立

已知将体内温度控制在37°C的假人放置在实验室为75°C的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度，于是初始条件为：

2 模型的简化分析

由于以上模型由多种换热方式复合而成，模型结构较为复杂，求解困难。因此，考虑单种换热方式对模型计算结果的影响程度，对模型进行简化分析。

有限空间自然对流换热时，但高度尺寸远远大于缝隙厚度尺寸时，换热以热传导为主，而热对流很弱，可以忽略［22]。本题中专业服装长度为1m，间隙厚度为0.6～6.4mm，长度远大于厚度，于是间隙层由热传导和热对流复合而成的自然对流换热仅考虑热传导而不考虑热对流。

于是间隙层传热方程为：

其中，ρIV间隙层空气密度kg/m3，CIV间隙层空气比热J/(kg·°C)，λIV间隙层空气热传导率W/(m·°C)。

从上述讨论可知，间隙层空气的流动不存在，那么间隙层空气与假人皮肤之间就只存在热传导，不存在热对流。于是，间隙层与假人皮肤侧的边界条件就不再是对流换热边界条件了，而是温度边界条件。因此，温度边界条件为：

综合整理，得到高温防护专用服装数学模型为：

Ⅰ层的热量传递方程：

Ⅱ层的热量传递方程：

Ⅲ层的热量传递方程：

IV层热量的传递方程：

高温环境侧对流边界条件：

假人皮肤侧温度边界条件：

I与II层间边界条件：

II与III层间边界条件：

III与为IV层间边界条件：

初始条件：

3 模型的求解

根据计算流体力学和传热学的基本思想，用控制容积热平衡法［3]将温度场区域进行离散，即将温度场区域划分为一系列不重复的控制容积，并使每个网格点周围有一个控制容积，用控制容积中心节点的温度值代表控制容积的温度值。由能量守恒定律和傅里叶定律，将传热微分方程变为差分方程，建立中心节点与周围节点的能量平衡差分方程，以及控制容积边界节点的差分方程，运用元胞自动机算法对差分方程进行编程计算，可以得到数值解。

利用控制容积热平衡法，将热量传递微分方程离散化，则中心节点和边界节点分别为：

元胞自动机（Cellular Automata，简称CA）模型是由计算机科学家Von Neumann于19世纪50年代提出［23]，在物理、生物、计算机等众多领域均有重要应用。元胞自动机是一种能够将时间、空间、状态都离散，其中相互作用和因果关系为局部的网格动力学模型，具有模拟复杂系统时空演化过程的能力，适合物理学的热扩散研究。利用元胞自动机算法则可实现差分方程的求解。元胞自动机的规则是由中心元胞当前的状态和周围邻居状态决定下一时刻中心元胞的状态，故在执行规则之前，必须定义元胞的邻居模型。在一维元胞自动机中，通常以半径r等于1或2作为邻域，为了简化计算，此处选用r等于1的邻居形式进行求解，相邻层交界处的元胞看作紧密连接。本计算中，热传递元胞自动机采用三元组(C,τ,A)形式表达元胞状态（τ为时间）。先获取当前元胞及其邻居元胞的元胞标识码C，然后通过C进一步获取，元胞标识码C表示每个元胞的坐标，其中T(x)表示中心元胞的标识码。元胞的状态值A表示当前元胞的温度值。在元胞状态值获取时，根据元胞的标识码，通过遍历手段将三元组集合检索一遍，找到当前元胞标识码及对应的属性值即可。

随后，根据上文中离散后的差分方程设计热传导元胞自动机的演化规则，得到中心节点和边界节点的具体表达式：

本实验中专用服装材料相关参数见表1。

表1 专用服装材料的参数值

通过MATLAB编程求解，得到环境温度为75°C时的温度分布。

4 结果分析

将其生成的温度分布可视化，得到各层温度随时间的二维和三维分布情况（如图2）。

图2 高温状态下防护服随时间变化的温度分布图

图3 各层交界面处温度随时间的变化

由图2和图3可知，随着时间的增加，各层温度均有所上升。但不同层之间仍有较明显的温差。可以看出此类高温防护服具有良好的防护效果，符合实际情况。

在与实验相同的条件下，将模型求解得到的假人皮肤外侧温度与实验获得数据进行对比，得到图4。

从图4可以直观地看出模型的拟合结果与实际结果极为接近，且拟合优度判定系数R2接近于1，说明模型具有较高的准确度。经过计算得出误差率为2%，表明模型效果良好，贴合实际，可以推广使用。

图4 拟合与实际对比图

5 结论

本文根据已有的实验数据，结合传热学的理论，对高温防护服每一层织物间的热交换进行分类，建立防护服的热传导模型。首先用控制容积平衡法对模型进行离散，再用元胞自动机的算法并借助MATLAB编程对模型进行求解，得到高温环境下高温防护服的温度分布，并将计算结果与实验数据进行对比，验证了模型的合理性和准确性。但对于现实复杂的高温作业环境而言，模型忽略了一些因素，如人体运动出汗或者运动时空气流动对高温环境下热交换的影响，由于人体的皮肤温度变化不尽相同导致的人体散热（即质交换）不同的影响。该模型能够推广至高温防护服及消防工作服等各类与传热学相关的服装产品的模拟、检验与制作优化，将会达到减少实验次数、降低研发成本、缩短研发周期的目的。