盘点中考中具有生活气息的“圆”

吴国庆

摘要：圓作为日常生活中常见图形，是中考命题的一个热点.本文从生活出发，以数学的视角，例析现实生活中的圆（弧）在中考中出现的一类试题.

关键词：生活;圆（弧）;中考

生活中的圆（弧）图形比比皆是，其在各地中考试题中也频频出现，现分类例析如下：

1 图案与对称

例1 （山东青岛中考题）下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）.

解析在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形;在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，故选A.

评析生活中有很多与圆（弧）相关的美丽图案，利用轴对称图形和中心对称图形的定义可以判断其对称性.

2 破镜与圆弧

例2（江苏常州中考题）如图1，把直角三角板的直角顶点0放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM= 8cm，ON= 6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）.

A. √10cm

B.5cm

C.6cm

D.lOcm

所以该圆玻璃镜的半径是1/2MN=5cm.故选B.评析利用90°的圆周角所对的弦为直径及勾股定理求直径，从而求出半径.

3 拱桥与圆弧

例3（贵州六盘水中考题）赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图2，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=

米.

解析 根据垂径定理，得AD=1/2AB=20米.设圆的半径是r，根据勾股定理，得R²=20²+（R -10）²，解得R=25（米）.故答案为25.

评析 利用圆中垂径定理.构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理进行有关的计算.

4 管道（门）与圆形

例4 （四川乐山中考题）如图3是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB= CD =0. 25米，BD =1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）.

A.2米 B.2.5米 C.2.4米 D.2.1米

解析 取门的圆心为点O，门与地面切点为点M，连接MO并延长，交圆于点E，连接AC，交OM于点Ⅳ，连接OA，则这扇圆弧形门的最高点离地面的距离为EM.由条件MN=0.25米，AC=1.5米，设OA =r，在△OAN中，有r²=0.75²+（r -0.25）².

所以r =125米，EM =2.5米，故选B.

评析 将管道截面、圆弧形门中相关问题转化为半径、半弦、弦心距三量关系，利用勾股定理建立方程即可解决.

5 弯道与圆弧

例5（湖北孝感中考题）如图4，一条公路的转

弯处是一段圆弧AB.

（1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心0（要求保留作图痕迹，不写作法）;

（2）若AB的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB所在圆的半径，

解析（1）如图5，连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点0;

（2）连接OA，oc，OC交AB于D，如图6，根据垂径定理的推论，由C为AB的中点得到OC⊥AB，AD=BD= 1AB =40，则CD =20.

设00的半径为r，在Rt△OAD中由勾股定理得r²=（ r -20）²+40².

解方程得r =50m.

所以AB所在圆的半径为50m.

评析 问题考查了尺规作图，同时也考查了勾股定理和垂径定理.

6 折叠与圆形

例6（山东聊城中考题）如图7，点0是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是oo面积的（ ）.

A.1/2 B.1/3 c.2/3 D.3/5

解析 如图8，作OD⊥AB于点D，由折叠知OD= 1/2AO.连接AO，BO，CO，则∠OAD =30°.

所以∠AOB =2 ∠AOD= 120°.

所以∠AOC= 120°，S阴影=S扇形AO，=1/3S○o.

故答案为B.

评析 本题主要考查了圆的折叠问题，解题的关键是确定∠AOC= 120°，计算面积时用到割补法.

7 雨刷与圆弧

例7 （山东青海中考题）如图9，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO =45cm，CO =5cm，当AC绕点0顺时针旋转90。时，则雨刷器AC扫过的面积为___cm2（结果保留π）.

解析 由旋转性质知OA= OA，OC= OC.AC=A'C，所以△AOC≌△A'OC，可得雨刷AC扫过的面积=S扇形AOA'- S扇形coc=500π，

评析问题涉及到旋转性质及不规则图形面积计算（割补方式）.

8 工件与圆形

例8 （四川南充中考题）如图10，是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线Z是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是____ mm.

解析 如图11，设圆心为0，连接AO，CO.

又直线l是对称轴，所以CM =30，AN =40.

又CM²+ OM²=AN²+ ON²，即30²+ OM²= 40²+（70 - OM）²，解得OM= 40，OC =50.即能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm.

评析 利用对称及圆内接四边形的性质，借助两组半径、半弦、弦心距建立方程.

9 扇形与圆锥

例9 （山东淄博中考题）现有一张圆心角为108°，半徑为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为______..

解析由扇形底面半径是10cm，可知展开图扇形的弧长是20πcm.根据弧长公式20π=nπ·40/180，解得n= 90°.剪去的扇形纸片的圆心角为108°- 90°=18°故答案为18°.

评析问题中要抓住圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，依据这些关系进行扇形和圆锥的相关计算.

10 圆环与投影

例10（湖南永州中考题）圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图13所示的圆环形阴影.已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（）.

评析 问题考查中心投影，其实是利用“A”形相似图构造相似进行计算.

11 健身与圆弧

例11 （甘肃省白银市中考题）图15是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图16是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图.已知AC=0.66米，BD=0.26米，a=

（1）求AB的长（精确到0.01米）;

（2）若测得ON =0.8米，试计算小明头顶由点Ⅳ运动到点M的路径MN的长度（结果保留π）.

解析（1）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，解直角三角形可以求出AB≈1.17米;

（2）可求∠MON= 110°，由弧长公式求出路径MN的长度为22/45π（米）.

评析 问题为解直角三角形的应用，弧长的计算，要求学生能够从实际问题中抽象出数学问题.12等宽曲线与圆形

例12（山东威海中考题）阅读理解：如图18，⊙0与直线a、b都相切，不论⊙0如何转动，直线a、b之间的距离始终保持不变（等于⊙0的直径），我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”.图19是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进.据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的.

拓展应用：如图20所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”.如图21，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c，d之间的距离等于2cm，则莱洛三角形的周长为____ cm.

评析 问题主要考查新定义下弧长的计算，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键.

13 三角板与圆形

例13 （江苏盐城中考题）如图22，△ABC是一块直角三角板，且∠C =90°，∠A =30°，现将圆心为点0的圆形纸片放置在三角板内部.

（1）如图22，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线捌CO（不写作法与证明，保留作图痕迹）;

（2）如图23，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC =9，圆形纸片的半径为2，求圆心0运动的路径长.