追本溯源，让教学有“据”可依

顾卫 朱自梅

[摘  要] 核心素养是指以人的先天生理特点为基础，在后天的环境和教育影响下形成并发展的心理方面的稳定属性. 教育要以培养学生的核心素养为目标，追求稳定性与长远性是新时期、新教育的基本理念. 在核心素养的践行过程中，高中数学有其特有的学科特色和学科魅力，教师要善于充分挖掘学科价值，凸显学生主体，两者相互交融、进阶提升.

[关键词] 核心素养;高中数学;路径;能力

对于普通高中数学学科而言，核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析这六个维度. 数学教师应将关注点置于如何将核心素养的培养落实到教学中以凸显它的价值. 笔者认为，理解核心素养的实质及它的形成路径是发展学生核心素养的基础，下面结合实际谈谈自己对此的理解.

■让概念进阶突破抽象瓶頸

数学抽象是数学哲学中的一个概念，是指从具体事物中抽取出具有数学属性或特征的对象，得到数学研究对象的思维过程. 狭义地来说，就是从具体问题中抽象出数学概念及数学关系，并用数学知识解答. 对于高中数学而言，主要包括两个方面的抽象：数量与数量的关系、图形与图形的关系. 同时，数学抽象也是高中数学的基本思想，是形成逻辑思维的重要基础. 在教学实践中，概念教学可以成为生成数学抽象能力、突破抽象瓶颈的一种途径.

例如，在进行圆锥曲线教学，学生初次接触“椭圆”这一概念时，会对其从直观上进行定义. “把一个圆的两头拍扁就变成了椭圆”“食堂里的大饼形状就是椭圆”是笔者在进行新授课教学时听到的学生口中所描述的椭圆，由于生活经验和年龄特征，学生对于几何图形依旧倾向于从它的外观、形状进行定义. 在进行概念教学之后，学生学会了从数学角度来刻画椭圆. 椭圆的两大定义“到两点的距离之和等于定长的点的集合”“到定点的距离与到定直线的距离之比是常数”都是单纯从数的角度来刻画椭圆的，并且舍弃了其他方面的特征，这个过程就是一个数学抽象的过程.

高中数学以知识的运用及方法的总结为主，因此概念的教学有时被教师忽略了，其实概念并非我们想象得如此简单，简短的一句话中包含的是数学思维和数学方法，承载的是数学素养的形成过程. 重视概念及命题的教学，让学生理解、把握事物的数学本质，培养数感，逐渐养成数学思维，形成数学抽象能力.

■让思维循序提升逻辑推理

逻辑推理是数学中的一种思维，是指从事实和已知命题出发，依据逻辑思维及推理规则得出另一个命题的过程. 主要包括合情推理和演绎推理，简单来说就是从特殊到一般和从一般到特殊的两种推理方式. 逻辑推理能力是学习数学的重要能力，主要体现在进行数学活动时的思维过程中.

如数列中求数列的通项公式中所用的归纳法就是由特殊到一般的思维过程，属于演绎推理;立体几何中线与线之间的关系由相交到垂直再到异面的刻画过程是由一般到特殊的思维，属于合情推理;由指数函数、对数函数、幂函数的探究推广到一般函数模型是演绎推理;二倍角的三角函数公式的实质就是两角之和的三角函数，在新授课中先探究两角和差的二次函数，再进一步学习二倍角，这也符合演绎推理的逻辑思维.

在高中数学学习中，逻辑推理过程有时候很明显地存在于数学思维中，学生自己可以感知到，但更多时候是真实存在却无法感知的. 在教学中教师要注重让学生自己经历逻辑推理的过程，在论证命题时能掌握思维循序的基本形式，形成逻辑推理的过程;在构建新知时能理解知识之间的内涵与联系，融会贯通成完整的知识框架;在解决问题时能够想成有依据、有条理的思考过程. 只有这样才能塑造合乎逻辑的思维品质，增强逻辑推理的素养. ？摇

■让问题突破尽显建模价值

数学建模是指用数学的“眼光”来看待实际问题，对现实问题进行数学抽象，建立数学模型而使问题得到解决的过程. 从实际情境中出发，以数学作为视角，数学建模的一般步骤包括“提出问题→分析问题→构建模型→求解模型→验证结论”. 对高中数学而言，数学建模不仅是一种数学素养，在高中数学中更是一种重要的思想，在解决问题的过程中可以得到总结与运用.

如实际问题：某食品厂生产甲、乙两种食品，已知生产1吨甲食品需要A种原料4吨、B种原料3吨，生产1吨乙食品需要A种原料5吨、B种原料10吨，每1吨甲种食品的利润是7万元，每1吨乙种食品的利润是12万元，工厂在生产这两种食品的计划中，要求消耗A原料不超过200吨、B原料不超过300吨，则甲、乙两种食品各应生产多少，才能使利润总额达到最大？

这是一个方案最优化的问题，经过条件分析，约束条件有：①消耗A原料不超过200吨;②消耗B原料不超过300吨;③生产出甲食品的数量为正数;④生产出乙食品的数量为正数.而利润总额为目标函数，由此建立函数模型. 设甲种食品生产x吨，乙种食品生产y吨，利润总额为z元，建立目标函数z=7x+12y，作出如图1所示的可行域，移动直线7x+12y=0，即可得到最优解x=20，y=24.

数学模型是推动数学发展与社会进步的动力，它是连接数学知识与现实世界的桥梁，也是用数学知识解决实际问题的基本手段. 以发展高中学生数学建模素养为目的教学要引导学生注重用数学知识解决实际问题经验的积累，从实际情境中提出和发现问题，运用数学知识储备构建模型，并学会基于现实背景完善和验证模型，以提高数学的应用能力和创新意识.

■让空间想象提升直观思维

直观想象是一种数学核心素养，也是一种能力，同时还是一种心理品质. 狭义地说，直观想象就是数学中的想象能力，是指借助图形和想象感知事物的形态特征与变化规律，利用几何直观和空间想象来理解和解决数学问题的过程.

向量是高中数学用来更形象地刻画位移、速度、力等即有方向又有大小的量，不仅能够刻画距离，也能表示方向，空间向量是对向量的扩充，也是初步涉及立体几何的基础，对培养学生的直观想象能力有着促进作用;立体几何是培养学生直观想象能力更直接的路径，通过感知空间物体的形状、位置、大小等形成空间意识、发展想象能力.

直观想象不仅是几何与图形问题中的品质，同时也是分析和解决其他数学问题的重要过程，是探索和形成正确方法的思维基础. 空间想象是提升学生直观思维的基础，在培养几何直观和空间想象能力的过程中，学生能够进一步增强数形结合的能力，促进直观想象核心素养的形成.

■让综合计算训练运算能力

数学运算是一种行为，是通过已知量的可能组合，获得新的量的过程，在高中数学学习中，运算更多地倾向于代数运算，是指在明晰运算对象的基础上，依据一定的运算法则解决数学问题的过程. 主要包括找准运算对象、探究运算方向、确定运算方法、设计运算程序、求得运算结果这几个步骤.

显然，运算素养的形成是在算法算理中积存的. 对于高中数学而言，运算不仅仅是简单的“加减乘除”，而是一个宽泛的概念. 如数、代数式、向量都是运算对象;运算顺序、等式和不等式的顺序是运算法则;运算在数学中的运用和运算在实际中的运用属运算应用;运算与推理、程序化的运算方法是运算的思想方法. 例如，“算法初步”给学生诠释了计算机运作的基本算理和算法，让学生初步对算法的定义有所了解，领会了数学运算是计算机解决问题的基础.

数学运算是数学活动的基本形式，也是描绘生活的一种方式. 算法的过程是解决问题的过程，它依靠有效的程序化方法形成了解决问题的一般思路，发展学生的思维. 在综合计算的训练中，学生不仅能够进一步提高数学运算能力，而且能够更进一步养成严謹的科学态度，形成数学意识，促进数学运算核心素养的形成.

■让学以致用积淀分析素养

数据分析是指用准确的统计分析方法对一定的数据进行分析与描绘，从而提取出有用信息，最终形成结论的过程. 简言之，就是“收集数据→整理数据→分析数据→获得结论”的过程. 数据分析不仅是数学中的一种方法，更是生活中常用的一种处理数据的方式.

在高中数学中，数据分析素养的形成通常是在实际问题中积淀的，因为数据分析的对象往往是实际问题. 如统计中的抽样方法的分类、总体分布的估计、总体特征数的估计都是对实际问题的描述;概率中的古典概型、几何概型、互斥事件等都是对生活中的事件发生可能性大小的刻画. 生活是数学的本源，用数据来描绘生活中的实际应用问题是培养学生数据分析素养的主要途径.

在进入大数据时期的当下，数据分析已深入到生活和生产的方方面面. 对于学生而言，在学习与生活中增强以数据来表达现实问题的意识，提升处理数据的能力，养成通过数据思考问题的习惯，形成数据分析核心素养，这对学生现在及未来的学习和生活都有着积极的意义.

寻找知识的根源、追求知识的本质是学习的基本原则，也是教学的基本依据. 基于核心素养进行教学是时代发展的需求，也是未来人才培养的基本路径，因此它是新课改背景下教学的必然要求. 在基于发展学生核心素养的教学中，了解它的生成路径是基础，追本溯源方能有“据”可依.