有砟轨道结构弹性波传播特性研究

易 强，王 平，赵才友，盛 曦，卢 俊

(1.西南交通大学高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川成都 610031；2.西南交通大学土木工程学院，四川成都 610031)

铁路轨道结构直线段通常设计为相同的基本单元沿线路纵向规则排列，对于有砟轨道，基本单元由一个扣件间距内钢轨、扣件系统、轨枕、道床以及下部基础组成，因此铁路轨道结构可视为周期结构。近代固体物理学研究表明周期结构具有重要的物理特性，即弹性波带隙特性。弹性波在周期结构中传播时会产生一系列特殊的物理特性，周期结构具有能够抑制弹性波传播的频率范围，这些频率范围称为带隙[1]。另一方面，结构振动噪声产生的本质原因通常可归结为结构中弹性波传播效应以及结构弹性波与周围介质的相互耦合作用[2]，因此分析研究弹性波在轨道结构中的传播特性对于轨道结构振动噪声控制具有重要的意义。固体物理领域提出的声子晶体概念为周期结构中弹性波的研究工作提供了新的研究思路，声子晶体是一类由特殊设计的人工结构单元周期排列构成的新材料或新结构[3]，属于人工周期结构范畴。因此可以从轨道结构周期特征出发，基于声子晶体基本理论和基本方法研究弹性波在轨道结构中的传播特性。

目前针对人工周期结构的研究已取得较多成果，最初的研究主要关注实际工程中广泛应用的结构，如周期性梁杆结构和板壳结构。文献[4]研究周期性梁、板结构的振动特性，提出传递矩阵法、空间谐波法等计算方法，并首次给出无限周期梁板结构的弹性波带隙特性。文献[5]研究周期性Timoshenko梁中压缩波、扭转波、弯曲波的耦合振动特性。文献[6]提出声子晶体概念后，声子晶体具有的带隙特性得到广泛关注。国内外学者针对带隙产生机制、带隙计算方法以及声子晶体的应用等方面开展大量研究工作[2]。国防科技大学温熙森教授团队将声子晶体带隙原理引入典型机械结构减振降噪设计中，开展弹性波在周期性结构中传播特性及控制的研究。文献[7]采用平面波展开法研究弯曲波在局域共振梁结构中的传播特性，实现宽频带隙设计。文献[8]针对薄板结构分别通过理论和试验测试验证声子晶体带隙在控制低频振动方面的能力。文献[9-10]将声子晶体理论引入充液管路系统设计中，利用带隙特性实现充液管路的减振设计。

对于铁路轨道结构，也有大量学者从周期特征出发开展相应的研究工作。文献[11]针对周期弹性点支撑轨道结构提出广义状态矩阵以求解其导纳函数，并进行试验验证。文献[12]将轨道结构划分为周期尺寸为10 mm的单元，并将钢轨截面通过有限单元描述，以得到50～5 000 Hz范围内的轨道振动特性。文献[13]针对连续弹性支撑梁模型、周期离散点支撑梁模型以及考虑钢轨截面变形的连续支撑模型分别进行计算分析，结果表明横向振动特性与钢轨截面变形密切相关，采用考虑截面变形的轨道模型能够有效预测横向振动，而垂向振动则需考虑轨道结构周期性。文献[14]分析周期性轨道结构的振动响应特性，并指出在较宽且明显的衰减域内钢轨噪声辐射较小，且pinned-pinned振动可以在周期性支撑的钢轨中自由传播。文献[15]采用多梁模型模拟钢轨截面，运用格林公式和叠加原理计算有限长离散支撑钢轨横向振动，得到较准确的结果。文献[16-17]利用2.5维有限元法计算移动荷载下周期性轨道结构的动力响应以及振动传播常数随频率的变化曲线。文献[18]在计算周期性轨道结构垂向导纳以及振动衰减率特性时，在pinned-pinned共振频率附近发现了振动传播的阻带(带隙)，但并未对这一特征进行深入分析。

有砟铁路轨道是典型的无限周期结构，目前，周期性轨道结构动力响应方面的研究已取得了大量成果，但有关弹性波在轨道结构中传播特性的研究尚待深入。本文结合声子晶体基本理论研究弹性波在普通有砟轨道结构中的传播特性，并利用功率流方法分析周期性轨道结构中的能量传播问题。

1 有砟轨道结构弹性波带隙特性

以有砟轨道结构为例，轨道结构的弹性主要由扣件系统以及道床提供，如图1(a)所示。此时将轨道结构简化为由钢轨、扣件、轨枕、道床组成的无限周期结构，并建立双层弹性点支承轨道结构动力学模型，如图1(b)所示。

图1 有砟轨道主要组成及其计算模型

当弹性介质受到外力作用时，并非弹性介质中所有部分都立刻产生位移、应力和应变，而是外力作用开始之后，在作用处产生变形，使该点处质点产生振动并通过质点之间的相互作用在介质内由近及远向外传播，这种振动状态在弹性介质中的传播过程，称为弹性波。对于均匀、连续、线性介质中弹性波的传播，其波动方程可表示为[19]

(1)

式中：u为位移分量；ρ为介质密度；C11和C44为弹性模量元；p=x，y，z。

研究弹性波在周期结构中传播时，基于Bloch定理，对于任意一个给定的Bloch波数k，可以求出一系列对应的本征值和相应的本征矢，每一个本征值和本征矢都对应一个频率和相应的运动状态。波数k取遍整个不可约Brillouin区，得到本征频率随波数k的变化曲线，称为频散曲线，也叫作能带结构图，其包含了弹性波传播的相位关系及幅值衰减关系。

根据Bloch定理，周期结构中的弹性波在每个周期的响应与相邻周期相关[2]。

um+1(x,t)=e-iklum(x,t)

(2)

轨道结构中钢轨采用Timoshenko梁进行描述，因此钢轨自由波动方程可表示为[19]

(3)

式中：G为钢轨剪切模量；A为钢轨横截面积；κ为剪切因子；E为钢轨弹性模量；I为钢轨截面惯性矩；ρ为钢轨密度；v为钢轨垂向位移；φ为钢轨弯曲转角；u为钢轨纵向位移。其自由波解为[19]

(4)

式中：V为垂向位移振幅；Vψ为转角振幅；U为纵向位移振幅；kn为自由梁中波数。转角位移比值关系为

(5)

此时，弯曲波中存在2对互为相反数的波数，纵波中存在1对互为相反数的波数，因此位移响应可写为

(6)

钢轨状态向量可表示为

ψ=[qf]=[vφuQMN]

(7)

式中：q为位移向量，包括垂向位移v、弯曲转角φ、纵向位移u；f为力向量，包括剪力Q、弯矩M、轴力N。

即可得到相邻周期单元之间的传递矩阵为

T=Tl·Ts

(8)

式中：Tl为弹性波传播距离为l时的状态向量传递矩阵；Ts为扣件两端钢轨状态向量传递矩阵

其中：kv、kl表示钢轨下部支撑动态刚度。

En为状态向量因子

结合Bloch定理可得周期性轨道结构弹性波传播特征方程为

|T-e-iklI|=0

(9)

式中：k为沿周期性轨道结构传播的特征波(包括弯曲波和纵波)的波数，也称Bloch波数，实部表示弹性波相位改变，虚部表示弹性波阻尼，即波的传播衰减系数。求解式(9)可得波数k与频率f之间的关系，即频散特性。由于周期单元之间通过垂向位移、弯曲转角、纵向位移3个自由度耦合，因此通过求解上述特征方程，可得周期性轨道中三种特征波的频散特性曲线。

1.1 轨道结构频散特性

轨道结构参数取值见表1。

表1 有砟轨道结构参数

图2 周期轨道结构中弯曲波频散曲线

图3 周期轨道结构中纵波频散曲线

周期性轨道结构中弯曲波频散曲线如图2所示，纵波频散曲线如图3所示，灰色区域为带隙范围。

由图2和图3可知，在不考虑阻尼情况下，弯曲波和纵波在周期性轨道结构中的传播存在明显的通带、禁带特征。钢轨中弯曲波由两类特征波组成[20]：第一类弯曲波在全频段内波数虚部均不为0，即全频段均为带隙范围，因此第一类弯曲波为近场波；第二类弯曲波则在0～1 500 Hz范围内存在3个带隙，分别为0～129 Hz、182～262 Hz、1 080～1 125 Hz，因此钢轨中弯曲波带隙特性由第二类弯曲波决定。纵波在0～300 Hz范围内存在两个带隙，分别为0～24 Hz、44～80 Hz。在这些频率范围内，轨道结构中弹性波波数虚部均不为0，因此在传播过程中快速衰减。

1.2 轨道结构参数对带隙特性的影响

弹性波带隙特性是周期性轨道结构的固有属性，轨道结构参数直接影响其带隙特征。扣件、道床垂向刚度以及扣件间距对轨道结构弯曲波带隙的影响如图4所示，不同颜色代表带隙对弹性波传播的衰减能力。由图4可知，随着扣件刚度增加，带隙宽度逐渐增大；随着道床刚度的增加，第一阶带隙宽度逐渐增大，第二阶带隙宽度逐渐减小，而第三阶带隙位置与宽度均保持不变；随着扣件间距增加，第一阶和第二阶带隙宽度略有减小，第三阶带隙逐渐向低频移动但带隙宽度保持不变。因此可以通过改变扣件刚度、道床刚度以及扣件间距等措施，控制轨道结构中振动的传播。

图4 轨道结构参数对弯曲波带隙的影响

周期性轨道结构频散关系表明弹性波在轨道结构中的传播具有带隙特性，带隙范围内弹性波的传播受到抑制，弹性波在通带范围内可自由传播。弹性波在轨道结构的传播过程中必然会向外界传播振动或辐射噪声，对于钢轨振动，可以设计轨道结构带隙，将其限制在局部位置，抑制振动的传播，进一步通过阻尼耗能等措施实现振动的控制；由于钢轨振动辐射的噪声与振动衰减特性密切相关[18]，利用带隙特性可实现振动的衰减，从而降低钢轨噪声。另一方面，由于弹性波在轨道结构中的传播过程实质上是振动能量的传递过程，因此有必要从能量的角度出发，进一步深入分析周期轨道结构中弹性波的传播。

2 周期性轨道结构动力响应

单一的力或位移传递率不能有效地评价结构中的能量传递，功率流方法综合了力和速度响应的大小及相位关系，给出了振动传输的一个绝对度量[21]。通过对功率流分析可以更加深入地研究弹性波能量在轨道结构中的传播，揭示振动传输机制。

功率流分析前需要得到轨道结构的动力响应结果，因此首先计算周期性轨道结构动力响应。由于轨道结构具有明显的周期性，弹性波在周期性轨道结构中的传播具有带隙特征，且不同成分的弹性波具有不同的传播性质。因此根据周期结构中弹性波的传播特性，利用弹性波叠加原理，即可求得周期性轨道结构在荷载作用下的动力响应。无限长自由梁在集中力荷载作用下的系统动力响应可表示为[22]

(10)

式中：F为外力荷载；xr为响应位置；x0为荷载激励位置。

图5 无限长周期支撑梁

在钢轨上方作用外力F0时，如图5所示，将周期支撑视为支反力作用于无限长钢轨上，根据Bloch定理，支反力满足周期条件[5]

(11)

式中：Fsr为激励右侧第s跨处支反力；Fsl为激励左侧第s跨处支反力；s为正整数；u为周期结构中的传播常数。传播常数与Bloch波数之间的关系为[5]

u=-ikl

(12)

将式(11)代入式(10)，通过计算在所有支反力和外力作用下无限长梁的位移响应，利用弹性波叠加原理即可得到轨道结构某一位置处的位移。因此，在受载跨内xr处位移响应可表示为[23]

(13)

式中：0≤|xr|≤l且将坐标原点设置为0l扣件所在位置。

式(13)中的两个无限级数由轨道结构中自由跨支反力组成，由于满足周期条件，可简化为

(14)

对于周期性轨道结构，将钢轨简化为Timoshenko梁，钢轨弯曲波沿正负方向存在两种不同的传播常数±u1、±u2，因此每个支反力需要分为两个部分，分别对应不同成分的弹性波。在扣件处支反力和钢轨位移满足以下平衡条件

-Fs/kv=v(xs)

(15)

式中：Fs为第s个支撑点作用力；kv为轨下等效动刚度；v为该支撑点处钢轨位移。两类弯曲波成分引起的扣件支反力可表示为

(16)

第s个支撑点处总反力为

(17)

将式(17)代入式(14)可得受载跨内任意位置的钢轨位移响应

(18)

此时响应函数中存在6个未知变量：F0l、F0r、F11l、F12l、F11r、F12r，需要6个平衡条件才能求解。选择支撑位置为2r、1r、0r、0l、1l、2l处力和位移平衡条件，即可求得6个未知数，从而得到轨道结构动力响应。以0r处平衡条件为例：将xr=l带入式(18)并结合力和位移平衡条件(式(15))，可得到0r处平衡方程

(19)

同理可写出其他位置处平衡方程，求解得到F0l、F0r、F11l、F12l、F11r、F12r并代入式(18)即可求得无限长周期轨道结构在简谐荷载作用下的动力响应。

以表1中有砟轨道结构参数为例，得到无限长周期轨道结构在简谐荷载(幅值为1 N)作用下钢轨原点的导纳函数，如图6所示。由于振动的本质为弹性波在结构中的传播，因此周期性轨道结构固有频率与其弹性波带隙频率一一对应。同时建立有限长轨道结构模型(由160个元胞组成)，采用有限元方法计算得到扣件跨中位置处原点的导纳函数，如图7所示。可以看出，两种方法基本能够得到一致的结果。但对于有限长轨道结构，当频率处于通带范围内时，由于此时弹性波传播距离较远，边界处的反射将使计算结果不准确；带隙范围内弹性波在较短距离内衰减，采用有限长轨道结构即可准确描述。

图6 无限长周期性轨道结构钢轨导纳函数

图7 有限、无限长轨道结构钢轨导纳函数对比

3 周期性轨道结构功率流分析

若某点所受简谐力为Feiωt，该点对应的速度响应为Veiωt，功率流计算公式为[21]

(20)

式中：下标i为节点编号。

将钢轨考虑为Timoshenko梁时，钢轨中弯曲波功率流可分为剪力和弯矩分别携带的功率流两部分。当在钢轨跨中位置以及1/4跨位置施加单位简谐垂向激励时，钢轨剪力和弯矩响应如图8、图9所示。在跨中激励时，钢轨剪力保持不变，始终为输入力幅值的一半，而弯矩则在轨道结构固有频率处出现极值。在1/4跨位置激励时，钢轨剪力和弯矩均在固有频率处出现极值。

图8 跨中位置施加激励时产生的剪力和弯矩

图9 1/4跨位置施加激励时产生的剪力和弯矩

在钢轨跨中位置施加单位简谐激励时，输入轨道结构功率流以及钢轨传播功率流如图10所示。由计算结果可知，输入轨道结构中的功率流也存在带隙特性，在禁带范围内不能向轨道中输入功率流，且在通带范围内，输入系统的功率流一半沿正向传播，一半沿负方向传播。当考虑轨道结构阻尼后，通带内输入的功率流变化不明显，而带隙范围内可向轨道结构输入功率流。

图10 输入轨道结构功率流(灰色区域为带隙范围)

在不同位置处激励时，轨道结构输入功率流随频率的变化曲线如图11所示。由图11可以看出，在第一带隙、第一通带和第二带隙范围内，不同位置的激励输入轨道结构的功率流大小基本相同；当频率处于第二阶通带频率范围内时(258～1 013 Hz)，靠近跨中位置输入功率流较大；但在第三阶通带频率范围内则靠近扣件位置输入功率流较大。这是由不同频率下轨道结构的振动模态决定的，当作用在跨中位置时，可激励产生pinned-pinned共振，此时输入钢轨和传播的功率流达到最大。

图11 不同位置激励时输入轨道结构功率流(考虑阻尼情况)

当在扣件上方激励时，输入功率流、传播功率流以及激励位置处轨枕功率流如图12所示。由图12可知轨枕振动能量主要集中在300 Hz以内。而在第二阶带隙范围内，轨枕功率流接近钢轨功率流，此时轨枕发生共振，轨枕作为局域振子能够吸收大量振动能量。弯曲波功率流在周期性轨道结构中的传播系数随频率的变化如图13所示，其中传输系数的参考值为激励位置处的钢轨功率流。从图13可以看出，弯曲波功率流在轨道结构中的传播呈明显的带隙特征，在带隙频率范围内弯曲波能量的传播得到明显的抑制。

图12 钢轨、轨枕功率流(扣件上方激励)

图13 弯曲波功率流沿钢轨纵向传播情况

在不同的轨道结构参数下，在钢轨跨中激励时输入轨道结构功率流如图14所示。与轨道结构参数对带隙的调控规律类似，当增加扣件刚度时，第一带隙范围内功率流降低，且峰值向高频移动，在第二带隙范围内整体向高频移动，增加扣件刚度导致第三带隙拓宽；增加道床刚度则对第一带隙范围改变明显，对第三带隙没有影响；改变扣件间距对第一和第二带隙峰值略有影响，但主要影响第三带隙的位置。因此，通过设计合理的轨道结构参数可对弹性波传播进行调控，达到振动噪声控制的目的。

图14 轨道结构参数对功率流影响

4 结论

本文从轨道结构周期特性出发，以有砟轨道结构为例，结合声子晶体基本理论，开展弹性波在周期性轨道结构中传播特性的研究。基于Bloch定理并结合传递矩阵法，得到周期性轨道结构频散曲线及其带隙特征；基于弹性波叠加原理并结合周期特征求解无限长周期轨道结构在简谐荷载作用下的动力响应，利用功率流方法分析振动能量在轨道结构中的传播特性。得到以下结论：

(1)周期性轨道结构具有明显的带隙特性，在0～1 500 Hz范围内，钢轨弯曲波存在3个带隙，纵波存在2个带隙，带隙范围以内弹性波的传播受到抑制。

(2) 对于有限长轨道结构，当频率处于通带范围内时，由于弹性波传播较远，在边界处反射将造成计算结果不准确；带隙范围内弹性波在较短距离内衰减，采用有限长轨道结构即可准确描述。

(3) 周期性轨道结构中功率流传播同样存在通带、禁带特性。在禁带频率范围内，振源不能向轨道结构输入功率流；在通带范围内能够输入功率流且输入的功率流中一半正向传播，一半负向传播。

(4) 轨道结构参数对弹性波传播特性产生明显的影响，因此可以通过设计合理的轨道结构来调控弹性波在轨道结构中的传播，为轨道结构减振降噪设计提供参考。