基于修正模态法的支路串联谐振识别

艾永乐，韩朝阳，李 帅，姜志彬，武稼祥

(河南理工大学电气工程与自动化学院，河南 焦作 454150)

随着电力电子技术的快速发展，大量的新兴电力电子装置以及传统的铁磁元件、电弧炉等非线性用电设备也在冶金、化工等领域得到了大量应用。这些非线性设备的存在使得电网中不可避免的存在着大量的谐波，即存在着谐振激励源。电力系统正常运行时，系统阻抗呈感性，考虑到无功补偿电容器和高压输电线电容的存在，因此系统中存在串并联谐振点。当激励源与谐振点合拍时，电力系统将会发生谐振现象，危害系统的正常运行和电力设备的安全[1-3]。因此，全面、快速、准确识别串并联谐振点，对于电力系统谐波谐振分析有重大意义。

目前，国内外普遍认为解析法和频谱分析法是准确识别串并联谐振存在并确定串并联谐振点的通用方法[4-5]。对于目前的复杂电力网络，解析法无法适用。文献[6-7]提出了谐振模态分析法(Resonance Mode Analysis，RMA)，通过对网络节点导纳矩阵特征值的分解，得到相应模态的阻抗、模态电压和模态电流，解耦了各节点之间的耦合，很好地识别出并联谐振并分析了相关谐振的信息。但是，该方法无法识别和分析串联谐振。文献[8-9]提出了回路模态分析法分析串联谐振；但，该方法仍不能识别支路串联谐振点。文献[10]提出了一种将模态法与虚拟支路法相结合的串联谐振分析方法；该方法通过在各节点添加虚拟支路，从而保证网络结构不变，同时借用模态法使用特征值分解的思想，进而识别出了串联谐振；但是，在复杂网络中很难建立回路阻抗矩阵。同时，添加虚拟支路成倍的增加了回路阻抗矩阵的规模。文献[11-12]提出了支路法分析串联谐振，但是其识别的谐振点与模态分析法(RMA)的相同，仍是并联谐振。文献[13]通过对谐波源进行戴维南-诺顿等效变换，提出了改进的虚拟支路法，该方法使用节点导纳矩阵分析串联谐振，避免了重新建立回路阻抗矩阵，减少了计算量；但该方法仍需建立支路导纳矩阵和支路节点关系矩阵，且它是从单条支路出发考察串联谐振。而，并联和串联谐振都是由几条支路元件的相互作用引起的，单单从单条支路识别串联谐振将会无法进一步分析谐振性质。文献[14]提出了一种利用电容器扫描识别并联谐振的方法，为无功补偿电容器避免谐振安装提供了理论依据。本文从串并联的定义出发，分析指出了电力系统网络中的串联谐振应分为回路串联谐振和支路串联谐振。同时，通过针对电力系统网络回路串联谐振和并联谐振的分析，发现：由于电力系统输电线路的特性，即线路阻抗比(R/X)较小，导致回路串联谐振点和并联谐振点几乎重合。最后，利用修正节点导纳矩阵的模态法，通过添加虚拟支路识别支路串联谐振。

1 模态法谐振识别分析

1.1 模态法基本概念

由文献[7-8]可知：模态法(RMA)假设在频率为f时，系统发生并联谐振；由式(1)可求得该频率节点电压向量中的某些元素会出现的极大值。

(1)

式中，Yf为系统在频率f下的节点导纳矩阵；Uf、If分别为系统在频率f下的节点电压向量和节点注入电流向量。为了简便，以下将省略下标f。发生并联谐振会导致某些节点电压非常大，意味着形成的节点导纳矩阵接近奇异。因此，可以使用特征值分解技术研究接近奇异的节点导纳矩阵。将矩阵Y进行特征值分解，如式(2)所示。

Y=LΛT

(2)

式中，Λ为特征值矩阵；L、T分别为左、右特征向量矩阵，且L=T-1。将式(2)代入式(1)得：

U=LΛ-1TI⟹TU=Λ-1TI

(3)

定义Um=TU为模态电压向量，Im=TI为模态电流向量，Zm=Λ-1为模态阻抗矩阵。因此，式(3)可以表达为：

(4)

1.2 节点导纳矩阵法进行模态分析

当系统存在频率为f的并联谐振时，只要在相关节点(母线)注入很小的该频率谐波电流，就会引起非常大的谐波电压，且此时对应的模态阻抗矩阵Zm=Λ-1中有一较大值。如图1所示的三节点测试系统，其各支路参数均已标注在系统图中。建立其节点导纳矩阵，利用模态法分析其并联谐振。所建立的模态阻抗曲线如图2所示。由图2可知，系统存在三个并联谐振点，分别为4.58、18.96和29.54。通过搭建matlab/simulink仿真电路进行阻抗频谱扫描，得到的并联谐振点与模态法一致。

图1 三节点测试系统Fig.1 Three node test system

图2 模态阻抗曲线Fig.2 Modal impedance curve

1.3 回路阻抗矩阵法进行模态分析

由谐振理论可知，电路等效导纳最小时发生并联谐振，引起过电压；电路等效阻抗最小时发生串联谐振，引起过电流。由于电流的产生离不开回路，串联谐振过电流的产生意味着某一回路阻抗出现了最小值，因此串联谐振与系统回路密切相关，而非仅与母线(节点)和支路相关。因此，使用模态法进行串联谐振分析时，要建立系统的回路阻抗矩阵，其对应的等式为：

(5)

式中，Zloop为回路阻抗矩阵；Iloop为回路电流向量(后面为简便将省略下标loop)；E为回路电压向量。

针对图1所示的三节点测试系统，所建立的回路阻抗矩阵以loop1、loop2和loop3为基本回路，且基本回路的电流方向为图中所标注的方向。利用模态法分析其回路串联谐振，其模态等式为：

(6)

式中，Jm为模态回路电流向量；Ym为模态回路导纳矩阵；Vm为模态回路电压向量。由式(6)可以看出，回路各模态之间同样实现了“解耦”。同时，若某一模态导纳(如λ1)非常小或等于零，这时即使施加很小的模态电压(vm1)，也将会引起很大的模态电流(ZL=jXL)。利用这个特性，根据式(6)建立模态导纳曲线，如图3所示。由图3可知，系统存在三个回路串联谐振点，分别为4.58、18.96和29.54。

图3 模态导纳曲线Fig.3 Modal admittance curve

2 理论分析

2.1 单节点系统模型

由图2-3可以看出，使用节点导纳矩阵分析识别的并联谐振点和使用回路阻抗矩阵分析识别的串联谐振点一样。下面，通过如图4所示的单节点系统说明该结果产生的原因。

图4 单节点系统Fig.4 Single node system

2.2 讨论与分析

假设图4中ZL=jXL、YC=jB、Zline=jXline，则loop回路在频率为时，对应的回路阻抗Zloop(h)为：

(7)

当回路发生串联谐振时，即|Zloop(h)|最小时的频率hseries为：

(8)

(9)

当节点发生并联谐振时，即|Ybus(h)|最小时的频率hparallel为：

(10)

由式(8)和(10)可知，当系统各支路参数仅有虚部项时，系统的并联谐振点和串联谐振点为同一谐振点。

(11)

(12)

假设hseries和hparallel分别对应着|Zloop(h)|和|Ybus(h)|最小时的频率，即hseries和hparallel分别对应着回路串联谐振频率和节点并联谐振频率。对于输电系统网络，图4中ZL对应着负荷阻抗，令XL=5Ω、α1=(0～10)；YC对应着无功补偿电容器，令B=0.1S；Zline对应着线路阻抗，令Xline=1Ω、α2=(0～1)。则hseries-hparallel与α1、α2的关系图如图5所示。

图5 hseries-hparallel与α1、α2的关系图Fig.5 A diagram of the relationship between hseries-hparallel and α1,α2

由图5可以看出，随着输电线路阻抗Zline的阻抗比α2增大，hseries-hparallel的值也越来越大，即串联谐振点与并联谐振点偏离越大，但总体来看最大差值不大于3%。对图1所示的三节点测试系统的参数进行修改，令Z1=3+0.3j、Z2=3+0.3j、X1=2+0.2j。同样，建立节点导纳矩阵，进行并联谐振模态分析；建立回路阻抗矩阵，进行串联谐振模态分析，对应的模态曲线如图6所示。

图6 模态阻抗和模态导纳曲线Fig.6 Modal impedance and modal admittance curve

由图6可以看出，由于增大了支路参数的阻抗比，使用节点导纳矩阵模态法识别出的并联谐振点与使用回路阻抗矩阵模态法识别出的串联谐振点已不重合。因此，使用回路阻抗矩阵模态法识别回路串联谐振的分析是正确的。经过以上三种情况的分析，可以得到如下结论：对于高压输电网络，因其线路阻抗比(R/X)较小，所以其对应的回路串联谐振点和并联谐振点将会重合，在这种情况下发生的谐振不仅会产生过电压危害，还会产生过电流危害，需要特别注意。

3 修正节点导纳矩阵的模态法

由第一节的分析可知，对于电力系统回路串联谐振的识别可以转化为节点并联谐振的识别。同时，电力系统中不但有回路串联谐振，也会存在支路串联谐振(也可称为端口串联谐振)。如图4中的端口a-b、支路Zline与负载形成支路串联回路，由于该“回路”并不是真正意义上的回路，若要分析其形成的支路串联谐振，则需在端口添加一条导纳值极大的支路(即理想导线支路)形成回路，然后才能分析其谐振现象。转化过程如图7所示。

图7 谐振转化识别流程图Fig.7 Flow chart of resonance conversion recognition

对于电力系统网络，可以通过修改其形成的节点导纳矩阵(Y)，来实现虚拟支路的添加，其修正节点导纳矩阵公式如式(13)所示。

(13)

式中，ykk为导纳矩阵的第k个对角元素；X1+B3为虚拟支路的导纳值；上标k表示虚拟支路X1+B2∥(Z2+B1∥Z1)一次连接在节点Z2+B1∥Z1，且每次计算虚拟支路Z2+B2∥(X1+B3)只能添加在一个节点与参考节点间。因此，本文所提方法与节点导纳矩阵模态法相比，在建立系统网络矩阵方面，基本没有增加任何工作量，仅增加了修正节点导纳矩阵这一步骤。同时，本文所提方法也可认为是模态分析法的一种拓展，它完善了模态法分析系统的串并联谐振体系。其中，修正节点导纳矩阵的算法流程如图8所示。

图8 算法流程图Fig.8 Algorithm flow chart

使用频谱分析法和本文所提方法分析图1所示三节点测试系统的支路串联谐振，结果如图9所示。

由图9可以看出，测试系统存在六个支路串联谐振点，使用本文所提方法识别出了六个支路串联谐振点；同时，由于系统阻抗比(R/X)较小，所以识别出的支路串联谐振点并没有误差，能准确识别。图9(b)中“branch 1 model 2”代表在该节点1与参考节点(地节点)之间添加虚拟支路，由模态2识别出的谐振点。由图9(b)可得到支路串联谐振点所对应的支路信息，如表1所示。

图9 支路串联谐振识别图Fig.9 Branch series resonance recognition diagram

谐振频率/(pu)模态峰值/(pu)相关支路6.04141.7Z2+B2∥(X1+B3)10.004e+8X1+B317.681032X1+B2∥(Z2+B1∥Z1)22.64384.1Z2+B1∥Z126.54809.9Z2+B2∥(X1+B3)29437.9X1+B2∥(Z2+B1∥Z1)

4 IEEE14节点系统仿真分析

为了进一步验证本文提出方法的可行性和有效性，选取IEEE14节点系统，利用matlab/simulink进行仿真。其中，IEEE14节点系统如图10所示，节点系统参数从文献[15]中获取；其中，基准容量为100 MVA，且各节点负载参数均按串联恒阻抗负载建模等效。

图10 IEEE14系统图Fig.10 IEEE14 system diagram

基于simulink中的阻抗频谱扫描功能，运用频谱法识别支路串联谐振。同时，用本文所提方法进行支路串联谐振识别，结果如图11所示。由图11知，用频谱法识别出了总共9个支路串联谐振，而通过本文所提方法识别出全部支路串联谐振，且最大误差为0.12。

图11 IEEE14系统支路串联谐振识别图Fig.11 Series resonance recognition diagram of IEEE14 system branch series

5 结 论

串并联谐振组成了谐振问题的两个分支，分析发现：电力系统中串联谐振可以分为回路串联谐振和支路串联谐振。通过对支路串联谐振识别进行研究，形成了以下结论：

1)使用网络矩阵模态法识别节点并联和回路串联谐振点时，其对应的串并联谐振点重合；且电力系统支路阻抗比(R/X)越小，对应的回路串联和节点并联谐振点重合度越高。

2)基于电力系统串并联谐振重合的理论，提出了基于修正节点导纳矩阵的模态法，并将之应用于识别支路串联谐振。对于支路串联谐振，可通过添加虚拟支路的方法，使支路串联谐振转变为回路串联谐振，进而运用识别并联谐振的方法识别支路串联谐振。最后，通过三节点系统和IEEE14节点系统的仿真分析，验证其可行性和正确性。