逐次定数截尾下Rayleigh分布的贝叶斯分析

李 琼,武 东

(1.徽商职业学院 电子信息系,合肥231201;2.安徽农业大学 理学院,合肥230036)

0 引言

关于Rayleigh分布产品的可靠性统计分析,王晓红等[1]对定时截尾样本下的Rayleigh分布进行了贝叶斯(Bayes)估计。肖世校等[2]对逐次定数截尾样本的Rayleigh分布给出了Bayes收缩估计。刘银萍等[3]对定时截尾样本下的Rayleigh分布给出参数的极大似然估计,并证明参数估计的强相合性和渐近正态性。刘银萍等[4]在对称损失函数下对定数截尾样本的Rayleigh分布进行了Bayes估计。王婷婷等[5]研究了逐步增加II型截尾下Rayleigh分布的Bayes分析,并给出了不同损失函数下分布参数、可靠性函数和失效率函数的Bayes估计和可信区间。但以上未讨论平方损失函数、熵损失函数和对称熵损失函数场合逐次定数截尾下Rayleigh分布的Bayes分析。因此,本文对此问题开展相关研究,主要分为3个部分：① 描述逐次定数截尾寿命试验方案和逐次定数截尾的Rayleigh分布参数的最大似然估计(maximum likelihood estimator,MLE);② 讨论各种损失函数下基于逐次定数截尾的Rayleigh分布参数的Bayes估计;③ 利用蒙特卡洛方法产生了Rayleigh分布逐次定数截尾样本,并对MLE和各种Bayes估计进行了比较分析。

假设产品的寿命X服从Rayleigh分布,其概率密度和分布函数分别为:

式中,θ为Rayleigh分布的刻度参数。

通常进行Bayes分析时,还需要综合考虑3个要素：先验信息、样本信息和损失函数[6]。选取不同的损失函数对Bayes参数估计有一定的影响,损失函数按对估计结果的影响是否对称可分为对称和非对称损失函数。对称损失函数主要有平方损失函数和加权平方损失函数;非对称损失函数主要有LINEX损失函数[7]、熵损失函数[8]和对称熵损失函数[9]等。为了比较对称和非对称损失函数在Bayes估计中的差异,选取平方损失函数、熵损失函数和对称熵损失函数作为研究对象,它们的数学公式分别为:

式中,d为θ的估计量。

引理1[6]在平方损失函数下,θ存在唯一的Bayes估计,

引理2[8]在熵损失函数下,θ存在唯一的Bayes估计,

引理3[9]在对称熵损失函数下,θ存在唯一的Bayes估计,

1 模型描述

逐次定数截尾试验方案[10-12]的具体安排可按下述方法进行:首先依据随机抽样原则抽取β个测试样本进行寿命试验,观测到第1个测试样品失效时刻x1:n时,然后从剩下的(n−1)个测试样品随机取走R1个产品,剩下的(n−R1−1)个测试样品继续进行试验;观测到第2个测试样品失效时刻x2:n,再从剩下的(n−R1−2)个测试样品随机取走R2个产品,剩下的(n−R1−R2−2)个测试样品仍然进行试验;按以上描述进行下去,直至观测到m个测试样品失效时刻xm:n时试验结束。最后的[Rm=n−R1−R2−···Rm−1−(m−1)]个测试样品全部取走。据此可得m个失效测试样品的寿命数据分别为

根据文献[10],易知基于式(6)的似然函数为

式中:C∗=n(n−R1−1)···(n−R1−···−Rm−1−m+1),n为测试样本个数;i表示第i个测试样本;m表示失效数。

2 MLE

对于测试样品的寿命服从Rayleigh分布,得到逐次定数截尾试验数据,R1,R2,···,Rm是试验中按序被取走的测试样品个数。将式(1)和(2)代入式(7),可得逐次定数截尾下Rayleigh分布的似然函数为

式中:data={xi:n|i=1,2,···,m}。

对式(8)取对数,得到对数似然函数为

3 Bayes估计

按文献[5],θ的共轭先验为逆伽玛分布IG(α,β),其概率密度为

式中,α和β为分布的超参数,且α>0,β>0。如果α=0,β=0,此时为无信息先验。

利用Bayes定理,由似然函数式(8)和先验分布式(9),可得参数θ的后验分布为

很显然式(10)所描述的后验分布就是逆伽玛分布

在平方损失函数、熵损失函数和对称熵损失函数下,θ的Bayes估计分别为:

4 模拟比较

以上基于3种损失函数对逐次定数截尾下Rayleigh分布参数进行了Bayes估计,利用蒙特卡洛方法产生逐次定数截尾下Rayleigh分布的随机数,具体操作可按下述步骤进行:

(1)从标准化指数分布产生m个相互独立的随机数Z1,Z2,···,Zm,这个变量可以利用逆变换Zi=−ln(1−Ui)完成,Ui是相互独立且均为标准化均匀分布随机变量。

(2)令

则得到逐次定数截尾下标准化指数分布随机样本;式(14)中,n为试验的测试样品总个数;m为逐次定数截尾随机样本的个数;R1,R2,···,Rm−1为试验中按序被取走的测试样品个数。

(3)令

则X1,X2,···,Xm是来自Rayleigh分布的逐次定数截尾随机样本。

为了考察各种损失函数下的Bayes估计的精度,现取Rayleigh分布参数θ=3,如果对先验的超参数一无所知,可采用无信息先验作为先验分布,这里使用未知参数的共轭分布作为其先验,其中分布的超参数均取为α=1,β=1,从该分布产生m个逐次定数截尾样本x1:n,x2:n,···,xm:n。每种方案产生1 000组模拟样本并分别计算估计的相对偏差与均方误差,具体试验安排与估计结果见表1。表1中估计方法有MLE、基于平方损失函数的Bayes估计(Squared)、基于熵损失函数的Bayes估计(Entropy)和基于对称熵损失函数的Bayes估计(Symmetric)。

表1列出的逐次定数截尾下Rayleigh分布的试验方案和各种参数估计结果,由平均绝对差(MAE)和均方根误差(RMSE)可以看出:相对于MLE而言,其他损失函数下的Bayes估计精度较高;在其他3种Bayes估计中,Entropy相对较优;Symmetric是Squared和Entropy的几何平均;随着样本量的增大,各种估计的精度也随之提高。

表1 逐次定数截尾下Rayleigh分布的试验方案与估计结果Tab.1 Tests scheme and estimation results for Rayleigh distribution under progressive

5 结语

讨论了在各种损失函数下基于逐次定数截尾Rayleigh分布参数的Bayes估计。关于先验分布的选取采用了共轭先验分布作为Rayleigh分布刻度参数先验,由模拟比较分析可得出,基于熵损失函数的Bayes估计较优。