角接触球轴承动刚度的影响因素分析

2019-07-22孙宏浩杜劲松杨旭褚云凯

轴承 2019年12期

孙宏浩，杜劲松，杨旭，褚云凯

(中国科学院沈阳自动化研究所智能检测与装备研究室，沈阳 110016)

随着机床主轴特性向高速、高精度、高刚性方向发展，主轴的动态特性在其设计过程中需加以考虑。角接触球轴承作为机床主轴的核心零部件，其刚度特性直接影响主轴整体性能，故有必要对轴承刚度特性进行分析。

国内外专家学者对轴承刚度做了大量研究，文献[1]基于Hertz理论分析了滚动轴承在简单载荷下的变形及刚度计算；文献[2]分析了角接触球轴承的载荷分布，并在此基础上计算了轴承的瞬时刚度；文献[3]基于滚动轴承受力分析的拟静力学模型，计算了电主轴轴承的动态刚度。

上述文献对轴承刚度做了大量研究，但对轴承动刚度的影响因素未进行分析，鉴于此，以某角接触球轴承为研究对象，建立了轴承动刚度计算模型，并分析了转速和球材料对轴承动刚度的影响。

1 角接触球轴承拟静力学分析

如图1所示，以角接触球轴承中心为坐标原点建立坐标系，轴承外载荷可表示为

FT=[Fx,Fy,Fz,Mx,My]，

(1)

式中：Fx,Fy,Fz分别为轴承在x，y，z方向的作用力；Mx，My分别为轴承绕x，y方向的力矩。

图1 轴承受载示意图

内圈在外载荷作用下的位移为

δT=[δx,δy,δz,γx,γy]，

(2)

式中：δx，δy，δz分别为内圈在x，y，z方向的位移；γx，γy分别为内圈相对于x，y方向的角位移。

建立球圆柱坐标系(图2)，内圈与球接触点坐标为(zp,rp,φ)，接触力可表示为

QT=[Qr,Qz,T]，

(3)

接触点(zp,rp,φ)位移可表示为

uT=[ur,uz,θ]，

(4)

接触力与位移的关系可表示为

Q=Q(u)。

(5)

式中：Qr，Qz分别为球与内圈接触点在r，z方向的作用力；T为球与内圈接触点的作用力矩；ur，uz分别为球与内圈接触点在r，z方向的位移；θ为球与内圈接触点的角位移。

图2 球圆柱坐标系

位移u较小，可由轴承内圈整体位移δ通过坐标变换得到，即

u=Rφδ，

(6)

式中：φ为球的角位置(x正方向为0°位置)。

接触力Q乘以坐标变换矩阵，变换为作用于内圈的等效力，即

(7)

式中：Fbx,Fby,Fbz分别为球作用于内圈的等效力在x,y,z方向的分量;Mbx，Mby分别为球作用于内圈的等效力矩在x,y方向的分量。

轴承整体受力平衡方程为[4]

(8)

式中：Z为球数；j代表第j个球。

由(7)，(8)式可得

(9)

(9)式为一组非线性方程，方程中未知参数δx,δy,δz,γx,γy通常采用数值法求解，采用Newton-Raphson法将(9)式转化为一组线性方程，即

(10)

Δδ=δi+1-δi，

(11)

ΔδT=[Δδx,Δδy,Δδz,Δγx,Δγy]，

式中：Δδx，Δδy，Δδz分别为内圈在x，y，z方向的位移变化量；Δγx，Δγy分别为内圈在x，y方向的角位移变化量。

在轴承运转过程中，球与内、外圈沟道会发生接触变形，球心由Ob移动到O′b，内沟曲率中心由Oi移动到O′i，如图3所示。

图3 球与内、外圈沟道相对位置示意图

由图3所示的几何关系可得

(12)

(13)

li=[(l0icosα0+ur-vr)2+(l0isinα0+uz-vz)2]1/2,

(14)

le=[(l0ecosα0+vr)2+(l0esinα0+vz)2]1/2，

(15)

δi=li-l0i-Δi，

(16)

δe=le-l0e-Δe，

(17)

式中：α0为初始接触角;αi,αe为球与内、外圈沟道的接触角；li，le分别为发生变形后球心与内、外沟曲率中心的距离;l0i，l0e分别为发生变形前球心与内、外沟曲率中心的距离;δi，δe分别为球与内、外圈沟道的接触变形；Δi，Δe分别表示球与内、外圈沟道之间的初始间隙。

球受力平衡方程为

(18)

式中：Qi，Qe分别为球与内、外圈的接触载荷；ci，ce可参考文献[5]计算。

球受到内圈的接触力为

(19)

未知参数球中心位移向量(vr,vz)采用Newton-Raphson法求解，定义(Δvr,Δvz)为下步迭代中未知量变化量，(18)式可转化为

(20)

对(20)式求导可得

(22)

2 角接触球轴承动刚度计算

(24)

为方便计算，定义接触力向量Q-、内沟曲率中心位移向量u-和球位移向量v-分别为[5]

(25)

(26)

(27)

其中w-=u--v-。

推导可得

(28)

定义

(29)

(30)

(31)

球受力平衡方程可表示为

(32)

(20)式中的Jacobian矩阵可表示为

(33)

即

JB=JBi+JBe。

(34)

(32)式对u-求导可得

(35)

(35)式可转化为

(36)

w-对v-求导，可得

dw-=-dv-，

(37)

联立(25)—(37)式可得

(38)

联立(21)，(22)，(23)，(30)，(31)式可得

(39)

(40)

通过迭代求解可得接触刚度矩阵为

(41)

3 实例分析

表1 角接触球轴承主要结构参数

3.1 转速对轴承动刚度的影响

内、外圈材料为GCr15Z，球材料为Si3N4,在不同预紧力Fz下轴承刚度随转速的变化如图4所示，由图可知:随转速增大，轴承轴向和径向刚度先减小后趋于稳定；当转速小于1.7×104r/min时，预紧力对轴承轴向和径向刚度的影响较大，当转速大于1.7×104r/min时，预紧力对轴承径向和轴向刚度的影响较小。

图4 转速对轴承刚度的影响

3.2 球材料对轴承刚度的影响

轴承套圈材料选用GCr15Z，球材料分别为Si3N4，GCr15Z，ZrO2及SiC时,轴承刚度随转速的变化如图5所示。由图可知：1)球材料变化时，轴承轴向和径向刚度随转速的变化曲线随之改变，但总体变化趋势相同；2)球材料为Si3N4，SiC时，轴向和径向刚度随转速的变化曲线比较接近，球材料为GCr15Z，ZrO2时，轴向和径向刚度随转速的变化曲线比较接近；3)当转速小于2.0×104r/min时，球材料为Si3N4，SiC时轴承的轴向和径向刚度比球材料为GCr15Z，ZrO2时的要大，当转速大于2.5×104r/min时，球材料为GCr15Z，ZrO2时轴承的轴向和径向刚度比球材料为Si3N4和SiC时的大。这是由于材料密度会影响物体的惯性力矩及质量，材料弹性模量和泊松比会影响两物体接触形变量，从而影响轴承刚度。