Shearlet变换在图像重建中的应用

权雪宁，何文章，冀东江

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

CT 层析成像技术是指通过从物体外部检测到的数据重建物体内部（横截面）信息的技术，也叫计算机辅助断层成像技术[1]。目前主要的CT 重建算法有解析法[2]和迭代法[3]。解析类重建算法具有较低的时间复杂度，但在投影数据不充分的情况下重建得到的图像质量非常差，滤波反投影算法（FBP）是解析重建算法中应用最广泛的一种。目前运用较多的迭代类重建算法有代数重建算法（ART）[4]、联合迭代重建算法（SIRT）[5]和联合代数重建算法（SART）[6]。Gordon 等[4]于 1970年提出ART 算法，该算法收敛速度快，但在数据不完全或有噪声的情况下，重建质量不佳；Gilbert[5]于1972年提出SIRT 算法，该算法收敛性好，但其收敛所需的迭代次数多，计算成本高；Andersen 等[6]于 1984年提出SART 算法，该算法是SIRT 和ART 的一种折衷，其迭代次数少，重建质量高[1]。近些年关于对图像重建进行去噪的研究也取得了一些成果[7-9]。相对于FBP 算法，SART 算法在有限角度下能较好地抑制图像中含有的伪影和噪声，然而却并不能完全去除重建图像中的噪声，进而影响了对图像的理解和分析。

针对这一问题，本研究利用Shearlet 变换对重建图像去噪。Shearlet 变换是近年来提出并逐渐成熟的超小波中的一种，克服了传统小波缺乏方向表达的缺点，同时能采用相同的方式处理离散和连续数据。Shearlet 变换是一种多尺度几何分析工具，可以看作是小波变换的一种改进。从本质上来说，Shearlet 变换存在着多尺度的规律，它能够对图像进行稀疏表示且产生最优逼近[10]。本文分别在[0°，150°]、[0°，160°]和[0°，170°]范围内，采用 SART 算法和 FBP 算法对经典Shepp-Logan 模型进行初步重建，对于FBP-Shearlet算法，就是将FBP 算法重建结果进行Shearlet 变换阈值去噪，得到更新后的重建图像；区别于FBP-Shearlet算法，SART-Shearlet 算法则需要将Shearlet 去噪后的重建图像作为SART 算法的初值继续交替迭代。本文将对Shearlet 变换阈值去噪和SART-Shearlet 算法进行详细介绍。

1 算法介绍

1.1 SART算法

CT 图像重建的实质是对线性方程组的求解，也可以表示为：

式中：A=aij为 M ×N 的系统矩阵，aij为第 j 个像素对第i 条射线投影值的贡献；p∈RM为探测器经过必要处理后采集的投影数据；f∈RN为被测对象的线性衰减系数。

SART 算法是一种联合代数重建技术，其迭代公式为[6]：

1.2 Shearlet变换

Guo 等[10]通过对仿射系统理论和多尺度分析理论的理解，提出合成小波的数学表达模型。从本质上来说，Shearlet 变换存在着多尺度的规律，对母函数做尺度调整以及平移，调整尺度参数以及平移距离的取值得出一组Shearlet 的基函数，利用基函数对信号进行处理，能对信号进行多尺度的分析。

当维度N=2，任取平方可积的连续函数f，即∀f∈L2（R2）时：

从而形成了Parseval 紧框架，所提出的φj，l，k（x）即为合成小波。在系统MAB（φ）中，矩阵Aj与尺度变换存在一定的联系，相当于小波变换中的尺度参数，而矩阵Bl与旋转剪切等操作存在相关性。

Shearlet 变换则是从上述模型中衍生出来的，若满足如下条件：

则系统MAB（φ）是Shearlet 变换的表达形式。

对于函数f∈L2（R2），定义其连续Shearlet 变换为：

可以通过Shearlet 系数进行反变换重构原始函数f：

1.3 SART-Shearlet算法实现步骤

采用Shearlet 变换阈值方法[11]对SART 算法重建图像结果进行去噪，称该方法为SART-Shearlet 算法。

其中Shearlet 变换阈值去噪方法的实质是将重建图像经过Shearlet 变换得到相应的Shearlet 系数，采用阈值函数去除较小的Shearlet 系数，保留较大的部分，从而达到去除噪声的目的。再对得到的新的Shearlet系数进行Shearlet 反变换，得到去噪后的图像。

②通过阈值函数对Shearlet 变换系数进行阈值化处理，保留大于阈值的Shearlet 变换系数，舍弃小于阈值的Shearlet 变换系数。处理过程如下：

其中，

③对阈值函数处理后的Shearlet 变换系数Cnew（j，l，k）进行Shearlet 反变换，恢复去噪后的有效数据 f′：

SART-Shearlet 算法有 2 个步骤：SART 步骤和Shearlet 变换去噪步骤。将这2 个步骤依次迭代得到去噪图像。SART-Shearlet 算法包括：

①初始化：

SART 步骤中将循环迭代次数记为N1，迭代指标K∈[1，N1]，松弛因子为 λ，f(1)=0。

②SART 步骤：

利用公式（2），对图像f 进行一次迭代。

③Shearlet 变换步骤：

将一次迭代结果代入式（9），经过Shearlet 正变换和阈值处理，得到新的Shearlet 变换系数Cnew（j，l，k），又经过Shearlet 反变换，得到去噪后的有效数据f′。

④交替迭代步骤：

将去噪后的有效数据f′返回步骤②、③，交替迭代，直到满足重建图像质量要求，停止迭代。

2 实验结果及分析

为了验证Shearlet 变换对有限角CT 重建图像去噪效果的可行性和有效性，本文对Shepp-Logan 头部模型进行仿真模拟，所有算法均采用Matlab 软件在PC 机（4.0 GB 内存，3.4 GHz CPU）上实现。为了评价Shearlet 算法在有限角重建图像中的有效性，在相同有限角度范围内对 FBP-Shearlet 算法和SARTShearlet 算法进行客观的对比评价。

本文选用峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）和均方误差（mean square error，MSE）作为评价图像质量的客观评价指标,其计算公式如下：

式中：MAXI表示原图的最大灰度值。显然，MSE 值越小，PSNR 值越大，表明重建效果越好（去噪效果越好）。

其中，MSE 的计算公式为：

式中：M×N 为图像的大小；f 和f^分别为参考图像和重建图像（去噪图像）的像素值。

2.1 SART算法和FBP算法重建结果比较

不同有限角度下SART 算法和FBP 算法的实验结果如图1所示。

图1 不同有限角度下SART 算法和FBP 算法的实验结果

仿真实验以Shepp-Logan 为原始模型，图像大小为 256 × 256，探测元个数设置为 256 个,在[0°，150°]、[0°，160°]以及[0°，170°]范围内均匀采样 150、160 和170 个投影数据，在SART 算法中，迭代次数设置为100 次，松弛因子设置为0.9；在相同有限角度范围内，采用FBP 算法进行重建。从图1可知，采用SART 重建结果要明显优于FBP 重建结果。

SART 算法和FBP 算法在不同有限角下的客观评价指标如表1所示。通过表1中数据可知，在有限角度范围内，SART 算法的均方误差小，峰值信噪比大，重建图像质量明显优于FBP 算法。随着投影数据的增多，2 种算法的均方误差变小，峰值信噪比增大。

表1 SART 算法和FBP 算法在不同有限角下的客观评价指标

2.2 SART-Shearlet算法和FBP-Shearlet算法比较

SART-Shearlet 算法经过SART-Shearlet 步骤实现交替迭代，得到重建图像。而FBP-Shearlet 算法，将FBP 重建结果通过Shearlet 正变换得到Shearlet 系数，舍弃小于设定阈值的Shearlet 变换系数，随后经过Shearlet 反变换得到更新后的图像结果，直接输出更新后的图像。为了获得更好的实验结果，将分解尺度设置为2，不同有限角度下SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法的实验结果如图2所示。

图2 不同有限角度下SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法的实验结果

直观上看，Shearlet 变换对SART 算法和FBP 算法的重建结果均有较好的去噪效果。SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法在不同有限角下的客观评价指标如表2所示。

表2 SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法在不同有限角下的客观评价指标

从图2的图像和表2的数据可知，在相同有限角度范围内，SART-Shearlet 算法的 MSE 小于 FBPShearlet 算法的 MSE 值，PSNR 值均大于 FBP-Shearlet算法的 PSNR 值。在[0°，150°]和[0°，160°]范围内，由于[0°，150°] 范围视角较少的原因，FBP-Shearlet 算法的去噪效果最差。而在[0°，170°]范围内，SART-Shearlet算法的MSE 值最小，PSNR 值最大。可见，相对于FBP-Shearlet 算法，经过交替迭代的SART-Shearlet 算法在投影数据多的情况下能够重建出高质量的图像。表2与表1比较，Shearlet 变换对 SART 算法和 FBP算法的重建结果均具有较好的去噪效果。

3 结 语

本文研究了在采集有限角度投影数据情况下的FBP-Shearlet 算法和SART-Shearlet 算法。为了评价有限角情况下这2 种算法的有效性，在相同有限角度范围内分别对 FBP 算法、SART 算法、FBP-Shearlet 算法和SART-Shearlet 4 种算法进行了对比实验。实验结果表明：在相同有限角度范围内，基于Shearlet 变换的FBP-Shearlet 算法和SART-Shearlet 算法要优于FBP算法和SART 算法。而FBP-Shearlet 算法和SARTShearlet 算法相比较，SART-Shearlet 算法在有限角度情况下能够重建出相对更高质量的图像。