反思数学约定 驱动深度学习
2019-07-17丁洪
丁洪
[摘 要]反思是一种意识、习惯和态度。符合认知规律的反思行为，往往由表及里、由浅入深，能用火热的思考融化冰冷的约定，驱动学生达到深度学习。在“2、3、5倍数特征的再认识”的教学中，立足学生实际，激发学生反思的需求，教给学生研究方法，从而培养学生的反思能力和反思意识，促进学生深度学习。
[关键词]反思;深度学习;数学化
[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0009-03
弗赖登塔尔明确指出，反思是一種重要的“数学态度”。对比教学现场可以看出，没有反思的数学教学，往往就事论事、浅尝辄止，导致过程不完整、理解不透彻和价值不明确。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标的“问题解决”和“情感态度”中分别提出“初步形成评价与反思的意识。”“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。” 把这些要求整合起来，不难发现，从反思意识到反思习惯，最后形成稳定的反思态度，恰好为现实教学指明了操作路径和努力方向。
下面以“2、3、5倍数特征的再认识”的教学为例，论述如何对部分倍数判断的数学约定进行反思，以驱动学生实现深度学习。
一、初步反思，提出问题
师：喜欢玩游戏吗？
生（齐）：喜欢。
师：看！三个彩蛋对应三位数，怎么砸？
生1：砸蓝色的蛋，得个位上的数。
师：嗯，满足你的愿望！（砸出数字0）
生1：是5的倍数。
师：还是几的倍数？
生2：2的倍数。
师：3的倍数呢？
生3：要砸剩下的两个彩蛋才知道是不是。
师（砸出十位上是5，百位上是4）：有结果了吗？
生4：因为4+5+0=9，9是3的倍数，所以450就是3的倍数。
师：从“个位”看，其实是一种局部思考。而看这个“各位”，需要整体把握。怎么看就怎么砸！
师：关于“个位”和“各位”，你能提出什么问题？
生5：为什么2和5的倍数只要看个位，而3的倍数就要看各位呢？
5的倍数，
3的倍数，][为什么？][怎么看？][局部
整体][理一理]
师：对原来熟悉的数学约定进行反思，往往就从“为什么”开始。就让我们在“为什么”的追问中，开始“再认识”的探究之旅。
【思考：首先创设砸蛋游戏情境，换一种方式来复习旧知，能让学生积极参与其中，梳理出“个位”和“各位”两种约定模型;接着引导学生观察、对比和反思模型，鼓励学生大胆质疑，帮助学生使用规范的数学语言，实现从“怎么看”到“为什么”的跨越。】
二、逐步反思，深入研究
1.找准起点，有序推进
师：对于5的倍数，哪些数位不用看？
生1：十位、百位……都不用看。
师：为了验证你的论点是否正确，我们需要开展研究活动。研究的起点很重要，你准备从哪一位开始呢？
生2：我会选择十位，它是最低位的。
生3：十位比较简单，应该容易发现规律。
师：行，先从十位研究起。
（出示活动要求：判断5的倍数，十位上的数“不用看”的道理是什么？引导学生先独立思考，组再小交流。）
师：好的开始是成功的一半，先请研究十位上是1的同学汇报。
生4：十位上是1，就是1个十，10是5的倍数。（动画配合：把十个算珠，5个5个的分）
师：跟你们想象的一样吗？
生（齐）：一样。
师：十位上还有一些数，你能说清楚吗？
生5：接着就是20、30…它们都是10的倍数，所以也没有剩余。
师：回头看，红蛋为什么不用砸？
生6：红蛋表示几个十，都是5的倍数。
师：百位上的数又有什么特征呢？
生7：一百是5的倍数，所以几百都是5的倍数。
生8：百位上的数表示几百，几百都是10的倍数，所以也是5的倍数。
师：真好！能用联系的思维进行推理，十位不要看，百位就不要看……以此类推，这些地方就是确定区。那唯独剩下谁？
生（齐）：个位。
师：个位就是待定区，等待你去确定。这样，通过抽象、推理，我们成功建立了5的倍数的模型。
【思考：反思虽然主要依靠学生，但是，由于年龄特征、认知习惯等多种因素的干扰，还需要教师的引导和帮助。首先，确定从十位研究起，建议从1开始列举，有意识地渗透反思技巧;接着，概括十位上的情况，确定几十都是5的倍数，再引导学生推理到其他数位，着重培养学生的反思能力;最后，对比确定区和待定区，实现对5的倍数特征的再认识，着力提升反思实效。】
2.抓住本质，巧妙迁移
师：哪个数的倍数和5差不多？
生（齐）：2。
师：能有序地说清楚吗？
生1：几十都是2的倍数。
生2：几百都是2的倍数。
师：几十、几百……以此类推，这些都是确定区。唯独哪里需要待定？
学（齐）：个位。
师：其实，确定区的数都是2和5的公倍数，所以看似不同的问题，却有着相同的模型结构。
【思考：上一环节是“扶”，这里主要是“放”。首先，引导学生自主探究和表达，但是在学生遇到困难时，教师仍然引导学生回到思维的起点，因为学会思考比知识获得更重要;然后，着重对比模型内在的结构，找到判断方法相同的根本原因，贯通“2和5倍数特征”的再认识。】
3.问题驱动，对比建模
师：以18为例，个位上有8个算珠，记下8，这个很好理解。再看十位上，一个十竟然约定记下1，为什么10变成了1？这里到底藏着什么道理和秘密呢？
（出示活动要求：十位上的1表示10个算珠，为什么在“1+9=10”的算式中变成1个？在图中圈出“10”变成“1”的过程。引导学生先独立思考后再小组交流。）
生1：因为10可以分为3个3余1，而3个3等于9，9已经是3的倍数，也就是说可以把9忽略了，10就是剩下了1。
师：品出其中的数学道理了吗？
生2：10分成两部分，一部分是9，它是3的倍數，确定的就不要看了，另一部分是还剩的1，不能确定要记录。
师：一十记下1，几十就记下几，如果十位上是c，对应记下几？
生（齐）：c。
师：以此类推，如果百位上是b，千位上是a呢？如果觉得有困难，从几想起？
生3：一百记下1，几百就记下几，如果百位上是b，对应记下b。
生4：一千记下1，几千就记下几，如果千位上是a，对应记下a。
师：这样就把a个千、b个百、c个十、d个一，就转化成a+b+c+d的和，以和的待定，判断原来的数是不是3的倍数。看似复杂的问题，在智慧的对比中被解决了。
【思考：首先，在复习旧知中提出新的问题，并从特例入手，放手让学生在圈画中探究“记录1”的道理;接着，引导学生将10解构成9和1，正向迁移确定区和待定区，使复杂的情况得以简单表示，逐渐重构“几十就记录几”的数学约定;最后，顺势用字母概括抽象的数，并以此类推到其他数位，完成所有数位上的数的转化，引导学生体验数学约定的魅力和价值。】
三、运用反思，变模成块
师：在判断平年和闰年时，对于4的倍数，为什么百位和千位不用看？
生1：100和1000是4的倍数，几百和几千就是4的倍数，是确定的，所以不用看。
师：为什么判断9的倍数时，各个数位上的数都要看？
生2：10除以9余下1，几十除以9余下几，百位上也是几百除以9余下几，这些余下的“几”都是待定的，所以都要看。
师：今天这节课，你有什么收获和体验？
生3：我会用“为什么”来提出问题。
生4：我知道了这些倍数特征形成的真正原因。
生5：我知道思考问题有时候要从局部去思考，但有时候要从整体去思考。
生6：复杂问题可以从简单情况开始。
师：反思可触摸数学本质，智慧可实现深度学习。数学约定，简洁，不简单！
【思考：这里的练习不是简单的模仿，而是有针对性的变模训练。这是对反思技能的检查，也是对反思态度的检阅。如从再认识2、5的倍数特征出发，到反思4的倍数;从再认识3的倍数特征出发，到反思9的倍数。在这样的变模训练中，学生的思维得到适度拓展，更为重要的是，在变与不变中，学生不但触及知识的本质，还体验到数学的魅力。】
【评析】
苏教版教材是借助百数图，调用学生已有的倍数知识，先计算和圈画相关的几倍数，然后观察和对比这些倍数的特例，发现其存在相同的外形特征，最后顺势归纳出2、3、5倍数特征的一般结论。这种学习主要聚焦于倍数的外形特征，以发现其外部规律为主，显然没有深入特征的内部。如果把倍数判断的方法当成后续学习的工具，点到为止倒也无妨。问题是，什么时候才有机会揭开数学约定的神秘面纱呢？
1.立足学生实际，激发反思需求
“再认识”是建立在“已认识”的基础之上，所以要想“再认识”能够顺利启动，就必须考虑学生的实际情况。就本节课而言，学生已经掌握判断2、3、5倍数的外形特征，并能“以学备用”，将其迁移运用到高度相关的问题情境中。但是，学生的反思意识淡薄，反思质疑的习惯缺失，再加上反思意味着深入思考，需要面临更大挑战，使本来就枯燥的数学变得让人“望而生畏”。弗赖登塔尔认为，当“数学味”过于浓郁时，可以用“生活味”积极调和。于是，在“砸蛋”的游戏中，就通过“怎么砸”回顾整理，“为什么不用砸”质疑反思。显然，这样就用游戏的感性直观调和了数学的理性抽象，同时，也用认识闭合的内需驱动了主动反思的可能。
2.教给研究方法，提升反思能力
从课堂观察可以看出，没有过程经历和方法帮扶的反思行为，费时、费力和费事，效果难以达到预期，而且容易使学生滋生负面情绪。因此，想要把事办好，这几点不能忽视：首先是确定起动点，如以5的倍数特征为样本，从十位研究起，并有意从一个十的情况开始汇报，归纳概括后类推到其他数位，以简驭繁，层层深入;其次是梳理联动点，如用“确定区”和“待定区”的分类，将三种数的特征串联起来，使知识的探究有机置于方法的框架之内，有序推进，凌而不乱;最后是感悟相同点，如遇到困难从简单想起，这是明确的，而基于“十进制计数法”的运算环境，则并未点破，方法要适合，反思也要适度。显然，学生经历了反思的“关键步子”，就容易形成反思的“关键能力”。
3.变模训练思维，渗透反思意识
一般练习的目的是巩固新知，熟能生巧是衡量其效果的标准。但是，如果练习的情境单一、结构相同，再多的努力也只是简单搬运，结果生巧未必，生厌倒是可能。而“思前想后”的题组训练，可以改变机械练习的旧况。“思前”想到的是判断年份时特殊的方法，“思后”想到的是“单元整理与复习”中9的倍数特征的初步探究。首先，将它们合理归置，形成变模题组，如4的倍数归属于2的倍数，9的倍数归属于3的倍数。然后，引导学生经历知识解构、方法迁移和模型重构的全过程，逐步解开“习以为常”，但“不明事理”的4的倍数特征，慢慢揭开初获结论，但“雾里看花”的9的倍数特征。应该说，这样的练习更具开放性、灵活性和启发性，学生的思维得到全方位训练，反思意识的渗透有效而且无痕。
看来，反思不仅仅是“大家再想想”那样简单，因为敷衍了事，肯定难以持续和深入。因此，要想反思成为常态，要做到“即时反思”和“专题反思”相映成趣，要关注“反思方法”与“反思意识”的同步推进，还要注重“激趣反思”与“适度反思”的辩证统一，等等。纵观课堂，这种“悱愤状态”下获得的“再认识”是贴近学生实际需要的，富有生命力的，且学生形成的数学态度能持续影响后续的学习。
[本文系南通市“十三五”教育科学规划2016年度青年专项课题“基于问题驱动的数学化过程的研究”阶段性成果（课题编号：QN2016012）。]
（责编 金 铃）
