小学数学建模的方法和意义

邵建国

[摘 要]用数学的语言做表述，并用数学符号、式子、图形等对抽象的数学知识进行简单而又简洁的刻画，这就是建立数学模型的重要意义，这些意义随着新课标的提倡成为每一位小学数学教师在教学中深思的问题。

[关键词]小学数学;建模;方法

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0091-02

数学建模随着《义务教育教学课程标准（2011年版）》的倡导，日益渗入小学数学教学的领域。什么是数学模型，如何有效引导小学生建立数学模型，在小学推广建模有什么重要意义？这是本文要探究的问题。

一、数学模型和数学建模的概念初探

模型这个概念其实并不深奥，《现代汉语词典》解释：模型是依照实物的形状和结构按比例制成的物品，多用来展览或实验。将模型迁移到数学上来，就是用数学的语言对客观事物（或者是一部分）进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。接着数学领域又由模型这个概念发展了另一个概念——建模。其实就是建立模型。

不同的人对于建模这个概念都有不同的认识。例如《普通高中数学课程标准》中认为，数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育的重要内容和基本内容。叶其孝在《数学建模教学活动与大学数学教育改革》一书中认为 ，数学建模就是应用数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些规律建立有变量和参数的数学问题（也可称为一个数学模型），并解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。有人又对这两个定义进行了比较，想仔细分析它们之间的不同。其实没有这个必要，这两个概念大同小异，就是“运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程”。数学的公式、定理本身就是一种模型。但是有一点值得注意，模型是联系实际问题与结果的桥梁，模型从实际问题中归纳、提炼而来，最终为生活中的实际问题服务，它是解决实际问题的工具。

二、让小学生充分体验数学建模的过程

著名数学家华罗庚认为：“我们在进行教学时，对于书本上某些原理、定律、公式等，不能只让学生记住，还要让他们明白这些内容是怎么来的。”其实这就是数学建模的过程。学生只有经历了这样的探索过程，数学思想、方法才能沉积、凝聚，从而发挥更大的智慧价值。

例如，在进行“圆锥体积”公式教学时，笔者给学生提供了多个圆柱形、长方体、正方体和圆锥形的空盒（其中圆柱和圆锥有等底等高关系的，有不是等底等高关系的，圆锥与其他盒子形体没有等底或等高关系的）、沙子等学具，让学生分小组动手实验。笔者引导学生自主探究、合作交流，对学习材料、学习发现、学习过程主动归纳、提升，最终构建数学模型。学生在建模的过程中发现“圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的[13]”这一模型。之后笔者让学生再进行操作验证这一模型。

在整个教学过程中，笔者作为教学活动的组织者和引导者，负责必要的帮扶工作。学生需要从提供的材料中通过实验进行建模和验证。学生通过不断猜测、验证、修订、再猜测、再验证的过程逐步以抽象概括方式自主总结出圆锥体积的计算公式。这样的教学不仅发展了学生的统筹能力，更让学生体验到数学建模的思维过程，同时在时而独立思考、时而小组合作中体会到数学学习的乐趣，发展了数学素养。

三、运用模型进行数学问题的求解

模型一旦建立之后，就会发挥巨大的智慧价值。教师在课堂上可以引导学生把模型的价值充分利用起来，这能起到启迪智慧、培养数学素养的功效。

例如，在几何图形应用的练习题中，第一题：如图1所示，正方形的面积是16平方米，求圆的面积。第二题：如图2所示，一个正方形的顶点都在一个圆上，正方形的面积是40平方厘米，这个圆的面积是多少平方厘米？第三题：如图3所示，已知正方形面积是40平方厘米，如果在正方形里面畫一个最大的圆，这个圆的面积是多少？

经过笔者的引导，学生思考动手建立模型后，针对第一题，学生得出圆的面积=π×正方形面积。这样，建模的过程就完成了，学生只要建立一个计算模型，再利用这个模型就可以求出一些几何图形的变形题或者拓展题。针对第二题，可以画出正方形互相垂直的两条对角线，然后把其中一个小三角形中与另外一个小三角形合并成一个小正方形，这样这个小正方形与圆就形成了一个新模型，从而能够利用新模型进行求解。运用同样的思想方法，第三题可以经过圆心分别画出垂直于正方形两条边的垂线段，这样就把一个大的正方形划分为4个小正方形，而每一个小正方形与圆就构成了图1的模型，再利用模型来解答，就不难求出第三题的答案了。

这个案例充分说明了用模型求解的重要意义。一旦教师引导学生探究出一个数学模型后，它的思想价值是非常巨大的。在解题时，只要学生认真观察、善于发现、善于联系转化，就能够利用模型进行求解，从而获得巨大的学习乐趣。

四、数学模型在生活中的实际应用

新课标指出：义务教育阶段的数学课程处于公共基础的地位，教师要着眼于提高学生的整体素质，促进学生全面、持续、和谐发展。课程设计要满足学生未来生活、工作和学习的需要。从这个方面讲，数学学习最终的目的就是解决实际问题，因此在运用数学思想进行建模的时候，最后还是要以在生活中的实际应用为标准。

例如，当教师指导学生建立了路程、时间和速度三者的关系模型之后，就可以让学生利用骑自行车的方法测量从家到学校的距离，甚至还可以通过自然规律来判断高跟鞋的高度为多少适合。大家都知道，自然规律中有一个黄金比例，这个比例在很多时候都于无形中发挥着作用，例如，什么样的身材才能给人赏心悦目的感觉呢？答案就是人的下半身长度与身高之比应符合黄金比例。这时候可以引导学生用L代表身高，用h代表下半身长度，用x代表高跟鞋的高度，即当h+x[∶]L+x=0.618的时候，身材最完美。这个等式就是一个身材模型。用这个模型可以在生活中指导女士挑选适合自己身材的高跟鞋。

诸如此类的问题还有很多，例如，根据一辆轿车的占地面积与轿车的数量，估算出一个停车场大致的面积;用按揭贷款的模型去思考买房中的数学问题;用统计中的模型快速统计出班干部选举的结果……从这些内容中不难发现数学建模在生活中的重要意义，教师要善于用数学模型引导学生在生活中发现数学，从而培养学生学习数学的兴趣和素养。

总之，小学数学建模对于学生的生活有着重要的意义，教师要以新课标理念为指导，充分调动学生的积极性，用科学的方法引导学生建立数学模型，并让学生在课堂和课后生活中运用模型解决问题，以提高小学数学教学的效果。

（责编 覃小慧）