化归思想在中学数学方程中的运用

黄美玲 韦宏

【摘要】以中学数学中的方程问题为例，论证化归思想在解决方程问题中的普遍适用性，以此强调中学数学教师在方程教学过程中，向学生渗透化归思想的重要性。

【关键词】化归思想 中学数学 方程

【基金项目】本文系广西职业教育教学改革研究立项项目“中职教师品牌培训项目设计、开发与实施研究”（课题编号：GXZZ JG2016A138）的阶段性成果。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）25-0134-02

“化归”，即转化和归结之意。“化”就是对原问题的转化而并没有改变原问题的本质。“归”就是把原问题归结到自己会解决的问题。化归即把有待解决的问题，归结到已有的知识结构中，使其变得更容易解决的方法。化归思想的基本流程如图1，若将化归过程扩展为一般模式即图2：

图1 化归模式1 图2 化归模式2

实现化归的关键是利用化归方法去转化问题。常见的化归方法主要有代换法和消元法等。无论采用哪种方法，即原理都是把未解决的问题，转化为我们熟悉的问题，使其更加容易解决。

数学家波利亚认为，数学解题的过程即是问题转化的过程。从他的“怎样解题”表中可以看出，很多重要的数学思想都蕴含在数学解题的过程中，这些数学思想既来源于数学知识，揭示了数学知识的本质，却又高于具体的数学知识。在中学数学方程解答过程中，有的教师对化归思想理解不清、方法不当。出现了教师侧重于方程知识与解题技能的讲解，就题解题，解题方法多，共性提炼少的现象，导致学生“只见树木，不见森林”，教学效果不佳。因此，为了合理有效地将化归思想挖掘和渗透到方程教学中，笔者先整体厘清中学数学方程的主要知识结构，再详细举例说明化归思想在方程解题内容上的运用。

一、分式方程整式化

初一学生面对刚接触到的分式方程，该如何将分式方程规范化为小学阶段已学过的简易方程形式呢？这就需要教师善于引导学生发现这两者的区别与联系：只要适当变形去分母，转化为熟悉的整式方程，求解验根即可。

例1：（2015福建，中考）解方程：1+ =

运用化归方法表示为S：问题：解分式方程，通过两边同时乘以（x-2），即化归为已解决的问题S？鄢：解一元一次方程（x-2）+3x=6。

二、無理方程有理化

无理数纳入到实数的定义之后，它也具备有理数的运算性质。教师引导学生把无理方程变为有理方程，是初二学段较常用的教学方法。

例2：解方程：3- =x

运用化归方法表示为：问题S：解无理方程，通过移项、乘方去根号，即化归为已解决的问题S？鄢：解一元二次方程x2-8x+12=0即可。

三、函数零点与方程

有关函数零点的个数、存在性或所在区间等问题，常需将其转化为方程的求根问题。如果其中涉及到参数，为了达到化归的目标，需要先分离参数，使原问题S转化为没有参数的函数零点问题S1。

例3：（2017课标全国Ⅲ）已知函数f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零点，则a=（ ）。

解答分析：这道题属于已知函数的零点个数求参数问题。当函数的因变量y取0时，函数便通过等号与方程建立对应的联系。于是，本题的函数f（x）有唯一零点，即对应方程x2-2x+a（ex-1+e-x+1）=0有唯一解。因为指数函数值恒大于0，所以，转化为分离参数a，得到问题S1：a= 。为了结构的简洁化，令t=x-1，得到关于t的函数：h（t）= 。易知，h（t）为偶函数。则关于x的方程x2-2x+a（ex-1+e-x+1）=0有解，就再次转化为函数h（t）与直线y=a有唯一的交点（横坐标为0），解出X2，还原为解答X1，再还原为原问题的解答X：a= 。

四、不等式组化方程

由于不等式（组）的解法与方程类似，因而在解决线性规划的有关问题时，往往转化为解二元一次方程组，求出对应点的坐标，代入目标函数即可。

例4：（2015课标全国Ⅰ）若x，y满足约束条件x-1≥0，x-y≤0，x+y-4≤0， 则 的最大值为____。

解答分析：类比二元一次方程Ax+By+C=0表示该直线上的点的集合，对应的二元一次不等式Ax+By+C≥0（≤0）则表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。由约束条件画出可行域（图略）发现，很难在可行域内找出一个y和一个x，使代数式 取最大值。这时，在化归思想指导下，应该转化为整体理解 的几何意义，即可行域内的某一点（x，y）与原点O连线的斜率。再转化为联立方程求出该点的坐标。还原解答X1，再还原解答X即可。

五、圆锥曲线代数法

圆锥曲线这类几何问题，可以直接利用图像性质和几何特征来解决。若解题的条件或结论的几何特征不明显时，教师通常需将几何问题转化为代数问题，例如建立不等式、函数或方程模型等。

例5：（2016全国Ⅱ）已知椭圆E： + =1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA。当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围。

解答分析：由于直线AM与AN有一定的数量关系，且它们的几何特征不明显，在化归思想下，可转化为代数问题来解决。由题意t>3，k>0，A（- ，0），将直线AM的方程代入椭圆方程，一次转化得关于x的一元二次方程：（3+tk2）x2+2 ·tk2x+t2k2-3t=0，根据韦达定理求出|AM|和|AN|的值。由 2|AM|=|AN|，得 = 分式方程转化为整式方程，即（k3-2）t=3k（2k-1）。当k= 时上式不成立，因此分离参数t，三次转化为t关于k的函数，又因为t>3，解出不等式 -3>0还原解答即可。

六、参数方程消参法

利用消参方法转化时，应将变量取值范围保持一致。

例6：（2018课标全国Ⅱ）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为x=2cosθy=4sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为x=1+tcosαy=2+tsinα （t为参数）。

（1）求C和l的直角坐标方程。

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率。

解答分析：化归思想在这两题的运用过程分别为：（1）求普通方程，通过三角函法消参，则转化为已解决的问题S？鄢：cos2θ+sin2θ=1，解出X？鄢，检验还原即为原问题的解X。同理，可得直线l的直角坐标方程。（2）由题意，将l的参数方程代入C的直角坐标系方程，此时转化为关于t的一元二次方程（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0，利用根与系数的关系可求解，解出X？鄢：t1+t2= =0，进行检验还原，可得原问题的解为：k=tanα=-2。

在解决中学方程问题的过程中，我们发现，由于一元二次方程ax2+bx+c=0被我们视为已解决的或容易解决的问题S？鄢，因此与一元二次方程横向关联的分式方程、无理方程、圆锥曲线方程和参数方程和与其纵向联系的函数、不等式（组）都可以化归到一元二次方程的有关问题去求解。可见，化归思想在中学方程解题上的普遍实用性。

参考文献：

[1]张雄，李得虎.数学方法论与解题研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]金莹杰.化归思想在方程中的应用[J].课程教育研究，2013.01.

[3]董磊.初中数学主要思想方法的内涵及层次结构[J].中学数学教学参考， 2018（9）：67-70.

[4]刘永强.数学史中的数学思想方法与数学教育研究[J].邵阳学院学报（自然科学版），2018（01）：10-14.