基于傅里叶余弦展开的期权定价方法评估

周欣涛　陈萍

摘 要：首先，从误差和时间复杂度两方面入手，分析如今主流期权定价方法的优劣，进而引出主体研究对象傅里叶余弦方法;其次，在Black-Scholes模型假设下进行傅里叶COS方法的欧式期权定价，对该方法的理论可行性进行详细的推导和证明;最终，通过运用风险中性定价原理，得到改进的COS方法定价公式，相对于原方法在运算速度上有一定提高。得到数值结果后，继续对影响COS方法定价效果的因素进行对比分析，先固定原参数不变，通过数值验证发现截断系数L对整体方法影响是非常大的，也把L的固定值修改为适应区间;其次转而分析参数影响，表明到期时间T和傅里叶展开项数N对L有较大影响。最后，尝试将BS模型上的COS方法推廣至Heston模型中，并解决一定的理论推导和数值分析问题。

关键词：期权定价;傅里叶余弦方法;特征函数;Black-Scholes模型;数值计算方法

中图分类号：F830        文献标志码：A      文章编号：1673-291X（2019）15-0090-06

期权定价问题一直是金融数学领域的核心课题之一，而对金融衍生品的定价研究中，期权定价模型也是应用最广泛的一个。近年来，众多基于傅里叶变换的定价方法研究开始涌现，如Fang和Oosterlee提出的Fourier-COS方法[1]。Ding[2]中对COS方法进行了变形，使其在多种交割价格的情况下更为迅捷。该方法对比之前影响力较大的Carr-Madan方法[3]和Lord等作者提出的CONV方法[4]等，COS方法将计算复杂度降低到线性水平，是目前已知的傅里叶相关算法中最快的[5]，该方法也被Fang应用于为提前行权和离散障碍期权定价[6]。

本文延续了对于COS方法的应用，将两者进行了对比归纳以及新的数值模拟，并补充了对于积分区间的选择。需要指出的是，之前文献对于该区间均没有提供证明或者灵敏性的检测，本文将对此进行探讨。

若使用参考文献[1]中的COS方法，可得到时间与误差（如下页表2所示）。

而使用参考文献[2]中的FCOS方法，可得到时间与误差（如表3所示）。

对比两表得知，COS方法和FCOS方法误差达到其收敛值所需的N值均为64，且误差数量级相同（均为E-14）。但FCOS方法将计算时间减少了将近一半，故其在面对多交割价格时有一定作用。

三、数值模拟与灵敏度分析

我们针对上文的BS模型，对L的取值范围进行敏感性分析，并对不同参数T和N进一步分析其对L的影响。故灵敏度分析分为两部分：一是固定T，分析L的变化浮动;二是变动T，对比L的适应范围。其次，我们再将定价模型改变为更贴近真实市场的Heston模型，将COS模型应用在Heston模型上。

（一）灵敏度分析及T变动影响

首先，分析L对BS模型的影响。若固定上文BS模型的其他参数不变（同表1，并取N=64），从固定L=10，变动到L=[5，25]。具体方式为：以[5，25]为区间，0.1为间距取201个点分别进行傅里叶变换定价，并计算出对应点的误差，绘制成图1。

结合图1与表2，若设E-13为可接受范围，则L的可接受范围可以缩减为[7.5，14]，以此为区间可做更精细的误差分析图2。

由图2可知，在L∈[7.5，14]时，误差处于E-13到E-14的水平，与L=10的误差相符。

接下来，讨论不同期限T下，L的适应范围变化。以T=1为临界点，将期权按到期时间分为中短期期权和中长期期权：对于前者，分别取T=0.1，0.25，0.5，1绘图，而对于中长期期权，则分别考察T=1，2，5，10。

对比图3和图4，不同到期时间的期权整体误差走势相近，且随着到期时间的增加，误差精度逐渐降低。当T≤1时，误差精确度较高，L的可适应范围也较大。类似地，当T≥1时，误差精度随着T的增大下降很快，方法对于L适应范围的要求也随之变高。T=10相比于T=0.1，不仅误差从E-13上升到E-11，L的可适应范围也从[7.5，14]缩减到[8，10]。可以看出，若从误差与容错率角度对比，COS方法更适应于中短期期权。

结合表3，可知N=64是误差刚达到收敛值时所对应的项数。在这种情况下，误差对于L的变化可能并不够稳定，后续研究需要排除这个不稳定因素。

（二）Heston模型的推广

BS模型假设波动率是常数，而在研究真实市场时，波动率变化会较为复杂。学界常用针对随机波动率的Heston模型[10]来应对此类问题。

四、总结

本文详细评估了两种基于傅里叶变换的期权定价方法，依据实验数据，通过变换L和T的取值，对模型进行了灵敏度分析。本文也克服了传统的BS模型依赖常数波动率的缺陷，将方法推广至Heston模型并提高了方法的估计精准度。

数值实验表明，一是FCOS算法对于多估计速度优于原始的COS方法，两者同样具有较好的精度和鲁棒性;二是在BS模型中，L的适应范围与T相关性较大。当T变大时，L的适应范围迅速变小，我们需要更准确的L值来实现COS算法。

对于傅里叶变换方法，尚未考虑其他主流定价模型如VG模型等，需要后续进一步完善;对于参数估计的实验数据相对较少，需要后续大量计算实验产生，尽可能覆盖所有可能影响计算结果的参数。

参考文献：

[1]  Fang F.，Oosterlee C.W.A novel pricing method for European options based on Fourier-cosine series expansions[J].SIAM Journal on Scientific Computing，2008，（2）：826-848.

[2]  Ding D.Efficient option pricing methods based on Fourier series expansions[C]//Journal of mathematical research and exposition，2011.

[3]  Carr P.，Madan D.Option valuation using the fast Fourier transform[J].Journal of computational finance，1999，（4）：61-73.

[4]  Lord R.，Fang F.，Bervoets F.，et al..A fast and accurate FFT-based method for pricing early-exercise options under Lévy processes[J].SIAM Journal on Scientific Computing，2008，（4）：1678-1705.

[5]  Hirsa A.Computational methods in finance[M].CRC Press，2016.

[6]  Fang F.，Oosterlee C.W.Pricing early-exercise and discrete barrier options by Fourier-cosine series expansions[J].Numerische Mathematik，2009，（1）：27.

[7]  Bailey D.H.，Swarztrauber P.N.The fractional Fourier transform and applications[J].SIAM review，1991，（3）：389-404.

[8]  John C.Options，futures，and other derivatives[J].2006.

[9]  Black F.，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of political economy，1973，（3）：637-654.

[10]  Heston S.L.A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options[J].The review of financial studies，1993，（2）：327-343.

Abstract：Firstly，this paper briefly introduces several main pricing methods at present，and analyses their advantages and disadvantages from two aspects of error and time complexity，then draws out the main research object of this paper-Fourier Cosine method.Secondly，under the assumption of Black-Scholes model，European option pricing based on Fourier COS method is carried out，and the theoretical feasibility of this method is deduced and proved in detail.By applying the risk-neutral pricing principle，the improved pricing formula of COS method is finally obtained，which is faster than the original method.After obtaining the numerical results，this paper continues to make a comparative analysis of the factors affecting the pricing effect of COS method.Firstly，we fix the original parameters unchanged.Through numerical verification，we find that the truncation coefficient L has a great impact on the overall method，and also revise the fixed value of L to the adaptive range.Secondly，we turn to analyze the influence of the parameters，showing that the option expiration date T and the number of Fourier expansion terms N have a significant impact on L.Finally，this paper attempts to extend the COS method on BS model to Heston model，and solve some theoretical derivation and numerical analysis problems.

Key words：Option pricing;Fourier Cosine method;characteristic function;Black-Scholes model;numerical method

[責任编辑 陈丹丹]