排列组合中几个情景化的问题

唐宁善

【摘   要】排列組合中情景化问题：一、加法原理与乘法原理;二、排列问题;三、组合问题;四、综合问题。

【关键词】高中数学;情景化;排列组合

时下，课堂改革正在如火如荼地进行。在任何学习中，兴趣都是最好的老师，如何激发学生的学习兴趣和热情始终是教学的永恒主题和最重要部分。在高中数学教学中，将问题情景化是激发学生学习兴趣的有效途径，同时能够培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，还可渗透其他学科及生活、工作中的有关知识，培养学生的综合的质，这与高中数学核心素养的要求也是一致的。

下面主要谈谈高中数学选修2-3中“排列与组合”中几个情景化的问题：

一、加法原理与乘法原理

例1：现在，有固定电话的家庭越来越少，大家了解它的编码规则吗？它的号码是由0、1、2、……、9十个数字组成，其中首位不能为0（可问学生为什么）。我们顺德的固定电话号码原来是7位的，问原来可有多少个电话号码？后来升到8位，问升位以后共增加了多少个号码？

略解：原来可有9×10×10×10×10×10×10=9000000个电话号码;升位后有9×10×10×10×10×10×10×10=90000000，共增加了90000000-9000000=81000000个电话号码。

上例通过情景化，可使学生了解电话号码的编码方法;知道为什么要升位;让学生感受到祖国日新月异的变化和时代前进的步伐，从而增加其使命感，激发起学生对学习的热情。

例2：顺德的汽车车牌是“粤Xxxxxx”，原来5位号码中只有第一位是英文字母，其余4位是数字，问一共可有多少个车牌号？随着汽车用户的日益增加，为了增加号码，5位号码中，第二位、第三位也用英文字母表示（只有一个英文字母），其余4位都是数字，问一共可增加多少车牌号？

略解：原来可有26×10×10×10×10=260000个车牌号;后来共增加了10×26×10×10×10+10×10×26×10×10=520000个车牌号码。

例2属于“可重复排列问题”，同时又是先分类后分步的综合题，难度比较大，但由于结合了现实生活，学生可以根据实际操作加以解决，同时又能激发学生学习的兴趣，也可培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

再问：现在顺德的汽车号码是怎样编号的？共有多少号码？（注：顺德汽车编码规则：前两位为大写英文字母，后三位为数字，共有26×26×10×10×10=676000个号码，这是比原来增加的！）

目的：让学生更多了解生活生产的实际，感受知识的力量。

二、排列问题

例3：“烽火连三月，家书抵万金”，我国古代用烽火台传递信号，在烽火台上燃起马粪或狼粪，表示有敌人来犯。而在西方沿海国家，常用旗子表示各种信号。思考下面问题：某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面或多面，并且不同顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

略解：P+P+P=15种。

例4：在运动会中（如校运动会），常会碰到这样的问题：有6名同学报名参加4×100米接力赛，下列情形中，体育委员可以怎样“排兵布阵”：1.6名同学实力相当，都可以跑任意一棒;2.甲同学爆发力较好，必须“打前锋”，乙同学速度快、心理素质好，必须“殿后”;3.甲、乙两同学必须“打前锋”或“殿后”。

略解：1.P=360; 2.P=12; 3.PP=24。

例3涉及语文和历史知识，能激起学生（特别是这两门学科较好的学生的）学习兴趣;而例4是“有条件限制的排列问题”，学生往往不知怎样入手，但通过情景化，学生比较容易想到怎样完成整件事情，从而得出处理此类问题的思路“先处理特殊位置或特殊元素”，而且让题目带上了一定的“情感色彩”，更能让学生兴趣盎然、跃跃欲试。

三、组合问题

例5：刚刚开幕的俄罗斯足球世界杯（第21届），比赛是按照下面的办法进行的：先将32支球队分成8个小组进行单循环比赛，每小组前两名出线，决出16强;再将16支球队进行淘汰赛决出8强，然后同样采用淘汰赛决出4强、决出2强、决出冠亚军;同时3、4名要进行一场确定名次的比赛。问一共要进行多少场比赛？

略解：8C+8+4+2+1+1=64。

例5与时事（热点）密切相关，又是实际中会碰到的问题，学生（特别是男学生）当然非常感兴趣。

四、综合问题

例6：我们班将进行班干换届选举，要求6名班干中至少有2名女生且至少有3名男生，问一共有多少种选法？

略解：假定本班有50人，男生30人，女生20人，则有CCP+CCP种选法。

上例是一类比较复杂的排列组合的题目，涉及到“至少”“至多”和“先组合后排列”以及“分类、分步”的问题，学生很难理清思路，而将其放到一个比较具体的事件中，只要让学生从实际操作中去思考，不难得出思路，老师再从中引导学生小结，以后再碰到类似的问题学生就懂得怎样解决。

例7：将陈光旭、蒋天乐、梁炜壕、李康4位同学平均分成2组，共有多少种分法？再加上李妮和王丽丽2位同学共6人平均分成2组呢？6人平均分成3组呢？

略解：（1） （2） （3）

上例是平均分组问题，学生理解起来有一定难度，教学时可让学生实际分一分，由于数字不是很大，学生应能找出分法的种数和计算的方法，以后印象也会比较深刻，有利于后面的学习。

笔者认为，如果可以，应将问题情景化尽可能地应用于数学教学，特别是引入课的教学中，这样既可以激发学生的兴趣，也可让学生认识数学源于生活，也高于生活。各章节都有一些范例，只要教师勤于思考和积累，定能找到并合理运用，上面所举例子只愿抛砖引玉。当然，并不是每一节课都要情景化，毕竟数学本身的内容才是最重要的，因材施教就好。