基于稀疏表示与加权核范数最小化的图像去噪算法

王成钢 孔斌 张彩露

摘 要：为解决一部分纹理数据在运用加权核范数最小化处理低秩矩阵逼近时出现丢失的问题，提出一种基于稀疏表示与加权核范数最小化的图像去噪算法。稀疏表示用于輔助重构清晰图像，加权核范数最小化用于图像块样本的低秩矩阵逼近。通过分析纹理数据找出熵较大的非平滑块，运用一种奇异值维纳滤波，从其差异矩阵中找出丢失的部分纹理信息，并将其与低秩去噪结果融合。实验结果表明，该算法能够保持图像的细小纹理，去噪效果更好，具有良好的鲁棒性与泛化性。

关键词：稀疏表示;加权核范数最小化;图像去噪;图像特征;维纳滤波

DOI：10. 11907/rjdk. 182239

中图分类号：TP312

文献标识码：A文章编号：1672-7800（2019）006-0075-05

Abstract：To solve the problem that some texture structures will be lost when weighted nuclear norm minimization is used to deal with low rank approximation， an image denoising algorithm based on sparse representation and weighted nuclear norm minimization is proposed. Sparse representation is used to reconstruct the clear image. Weighted nuclear norm minimization is used to low rank matrix approximation of image. Smooth patches which have larger entropy can be found by analyzing texture of patches. Missing texture of the image was obtained by using the proposed Wiener filter based singular value from the difference matrix of non-smooth patches to have the integration and result of low rank denoising. Experimental results show that the proposed algorithm can maintain the fine texture of the image and have better effect of denoising and robustness and generalization performances.

Key Words：sparse representation; weighted nuclear norm minimization; image denoising; image feature; Wiener filter

0 引言

图像去噪是计算机视觉中的一个经典问题，其目的是改善存在噪声干扰的图像质量。图像去噪是一个去除噪声并保留原始信息的过程，因此如何既能够平滑处理图像中的噪声，又能尽可能多地保留图像细节信息，是图像去噪过程中面临的主要问题。

目前大多数去噪算法都是针对灰度图像设计的，旨在从含有噪声的样本图像[Y=X+N]（[X]表示图像原始矩阵，[N]表示均值为0、方差为[σ2n]的高斯噪声）中恢复出干净的原始图像[X]。目前已有的图像去噪算法主要分为两种：空域滤波和变换域滤波。前者主要针对图像像素灰度值，常见的有均值滤波（Average Filter，AF）[1]、基于稀疏表示与字典学习的KSVD[2-3]方法、基于块的局部最优维纳滤波PLOW[4-5]等;后者将图像从空域转换到变换域，处理完变换域中的变换系数后，再逆变换回空域中以达到去噪效果。常见的变换域滤波方法包括小波变换方法[6-8]、三维块匹配滤波BM3D[9]等。近年来，非局部均值与稀疏模型在图像处理领域得到了广泛应用。由于图像结构的自相似性，非局部均值采用对图像块加权平均的方法达到去噪目的[10]，而稀疏模型是利用一组基函数或字典中的少量原子线性组合表示信号[2]，但忽视了图像块的非局部信息，其核心在于设计出模型字典以稀疏表示样本。随着稀疏模型的发展，如主成份分析法（PCA）和加权核范数最小化算法（WNNM）等一系列新算法应运而生。PCA[11-12]采用低维空间特征描述高维空间特征，对图像进行降维以达到去噪目的，虽然可以保留图像细节，但在高噪声条件下，去噪效果逐渐下降;WNNM[13-14]是一种约束矩阵奇异值稀疏性的低秩算法，在NNM理论基础上增加了核范数权重，有效利用了自然图像的先验信息并提高了核范数的灵活性。

虽然WNNM算法在一定程度上具有较好的图像去噪效果，但其仍有不足之处。在自然图像统计中，会有很多图像块之间表现出较强的相关性，也即在图像中某个图像块总是能找到若干相似图像块，称为图像非局部自相似性（Nonlocal Self-similarity，NSS）[10，15-16]。当噪声较大时，可能对相似块的获得产生影响，使相似块之间存在较大差异。如果仅考虑将相似块间的低秩部分作为去噪结果而忽视了差异部分，会影响算法在强噪声下的去噪结果。

因此，为克服上述缺陷，本文提出一种基于稀疏表示与加权核范数最小化（WNNM）的图像去噪算法。稀疏表示用于辅助重构清晰图像，加权核范数最小化用于图像块样本的低秩矩阵逼近;通过分析纹理数据找出熵较大的非平滑块，运用一种奇异值维纳滤波从其差异矩阵中找出丢失的部分纹理信息，并将其与低秩去噪结果融合，以弥补用WNNM算法解决低秩矩阵逼近问题时易丢失部分纹理结构信息的缺点，使其在去噪的同时可有效保留细节信息、提高去噪质量，使其具有很好的鲁棒性和泛化能力。

1 相似块在强噪声下的差异

3 基于稀疏表示与加权核范数最小化的去噪算法

为了解决传统加权核范数最小化算法在用于低秩矩阵逼近时丢失部分纹理结构信息的问题，本文提出一种基于稀疏表示与加权核范数最小化的图像去噪算法。稀疏表示用于辅助重构清晰图像，加权核范数最小化用于图像块样本的低秩矩阵逼近。通过分析纹理数据找出熵较大的非平滑块，运用提出的一种奇异值维纳滤波从其差异矩阵中找出丢失的部分纹理信息，并将其与低秩去噪结果融合，从而进一步提高了图像去噪质量。

3.1 图像块模式分类

通过实验分析图像块结构信息，发现相似图像块多出现在平滑区域，因此在进行图像块低秩矩阵逼近时，由于相似矩阵的秩很小，因而得到的误差很小，而在非平滑区域的图像块中找到的相似块差异较大。这是由于平滑区域的图像块结构简单，在图像中可相对容易地找到相似块，而非平滑区域的图像块结构复杂，且欧式距离不考虑图像块结构信息，因此有必要分析图像块结构特征。

由于奇异值分解相当耗时，一般可以用特征值代替奇异值。本文进行非局部块匹配，在搜索窗内寻找[yni]k个最相似的图像块，即得到集合[ynij，j=1，？，k]，建立相似性矩阵[Si]。将相似性矩阵[Si]分解成3部分：[Si=Ai+][Mi+Ni]，其中[Ai]是低秩公共部分，[Mi]是稀疏差异部分，[Ni]是对应噪声。当图像块为非平滑块时，利用WNNM算法提取最平滑的公共低秩部分[Ai]，然后将获得的具有结构信息的残差矩阵[Si-Ai]进行PCA变换，得到系数集合[anij，j=1，？，k]，之后对PCA系数进行式（25）所示的阈值收缩，得到逼近真实信息的PCA系数，并对获得的稀疏系数进行逆变换，得到逼近差异矩阵[Mi]的组估计，即得到不含噪声的相似集合数据的差异信息，最后将低秩去噪结果与差异信息融合，得到非平滑块的去噪结果。

4 实验测试

为了验证本文提出的基于稀疏表示与加权核范数最小化的图像去噪算法的有效性，选择10幅标准测试图像，使用KSVD、维纳滤波（Wiener Filtering）与WNNM作为对比算法，并分别计算使用各方法去噪后图像的PSNR与SSIM评分。其中PSNR为峰值信噪比，用于评估去噪后图像与原图像质量，其值越高，表示图像去噪后的失真度越小;SSIM為结构相似度，用于评估去噪后图像与原图像相似度，其值越高，表示结构越相似。本文所有实验都是在Windows 7系统下进行的，开发环境为Matlab 7.0。

实验中对所有图像人工施加5种浓度级别的噪声，噪声浓度[σ]分别为10、20、30、40和50，仿真结果见表1、表2。为了更加直观地表现算法去噪效果，使用上文所述的3种对比去噪方法与本文提出的去噪方法分别对噪声浓度为30的Lena和peppers图像进行去噪处理，去噪结果如图1、图2所示，并给出不同去噪方法对不同浓度级别Lena噪声图像的PSNR和SSIM评分，通过将主观视觉评价与客观量化指标相结合，分析本文提出算法的去噪性能。

5 结语

本文提出一种基于稀疏表示与加权核范数最小化的图像去噪算法。稀疏表示用于辅助重构清晰图像，加权核范数最小化用于图像块样本的低秩矩阵逼近。通过分析纹理数据找出熵较大的非平滑块，运用提出的一种奇异值维纳滤波从其差异矩阵中找出丢失的部分纹理信息，并将其与低秩去噪结果融合，以弥补采用WNNM算法解决低秩矩阵逼近问题时会丢失部分纹理结构信息的缺点，从而提高图像去噪质量。实验结果表明，本文算法得到的去噪图像具有更高的结构相似度与峰值信噪比，并能够保持图像的细小纹理，去噪效果更好，具有良好的鲁棒性和泛化性。然而，该算法也存在一些不足，本文主要针对相似块的相似矩阵进行研究，但若遇到相似块很少的情况将直接影响低秩逼近效果。通过基于不变量技术的特征检测，考虑对某些变换保持不变的局部特征描述算子，如旋转、缩放等，并通过一些变换得到原图像中不存在的相似块，将是下一步的研究方向。

参考文献：

[1] 周绍光，贾凯华，王港淼，等. 一种改进的去噪阈值混合滤波算法[J]. 测绘科学，2013，38（4）：77-79.

[2] ELAD M，AHARON M. Image denoising via sparse and redundant representations over learned dictionaries[J]. IEEE Transactions on Image processing， 2006， 15（12）： 3736-3745.

[3] AHARON M，ELAD M，BRUCKSTEIN A. K-SVD： an algorithm for designing overcomplete dictionaries for sparse representation[J].  IEEE Transactions on signal processing，2006，54（11）：4311-4322.

[4] CHATTERJEE P，MILANFAR P. Patch-based near-optimal image denoising[J]. IEEE Transactions on Image Processing，2012，21（4）： 1635-1649.

[5] CHATTERJEE P，MILANFAR P. Patch-based locally optimal denoising[C]. Image Processing （ICIP）， 2011 18th IEEE International Conference on. IEEE，2011： 2553-2556.

[6] 焦李成，侯彪，王爽，等. 图像多尺度几何分析理论与应用：后小波分析理论与应用[M]. 西安：西安电子科技大学出版社，2008.