从系统的观点看一元二次方程的解法教学设计

王红权，李 馨



从系统的观点看一元二次方程的解法教学设计

王红权1，李 馨2

（1．杭州市基础教育研究室，浙江 杭州 310003；2．杭州市青春中学，浙江 杭州 310003）

从知识的发生和发展的视角，从系统的观点分析一元二次方程不同解法的内在联系，需要突出降次解法中的转化思想，基于学生的认知基础，把配方法作为解一元二次方程解法的重点方法，这是合理的，但这还不够，还需要用解一元多项式方程之因式分解降次的思想来统一认识其他的解法，为学生今后学习奠基，让学生体会与方程研究相关的数学文化．

系统观点；一元二次方程；配方法；因式分解；教学设计

“解方程是好的数学”[1]，教好方程事实上就是要让学生明白什么是“好的数学”．方程教学的首要任务是学习解具体的方程，同时感悟解方程过程中所承载的数学思想和方法．具体地说，如何处理好一元二次方程的解法教学，作为教师首先要理解教材对方程内容的编排，明确不同方程的教学在不同学段所要表达的不同思想方法，也就是说，不同的方程教学具有完全不同的价值取向；其次还要了解多项式方程解决的历史发展，从解具体方程到形成伽罗瓦理论，再到解决一系列古典难题的过程中所展示的人类理性文明的一次又一次胜利．所以在这个意义上说，这个单元学习的知识是全新的，学习的方法是陌生的，学习的目的也迥然不同于以前．作为初中末端知识的一元二次方程教学需要在平方根概念的基础上设计教学，更要在思想方法上为将来学习解复杂方程解法和方程理论奠基．

1 教学内容分析：数学视角

一元二次方程的教学位于初中方程知识教学的末端，学生已经经历了学习方程的概念、方程根的概念，具备解一元一次方程和二元一次方程组的经验，同时也初步体会了方程作为刻画某些实际问题的模型所体现出来的优越性．

一元一次方程的教学一般安排在7年级上学期，在学习了实数和代数式的运算后．这样安排的目的有3个方面．首先，体现实数和代数式运算及其运算律在解方程时所展示的统一性，让学生感受算术和代数的本质区别；其次，在归纳解决问题一般步骤的过程中，渗透算法思想，进一步强化规则的重要性；第三，方程作为模型的表达合理性和普适性[2]．

二元一次方程组的教学一般安排在7年级下学期，并不安排在一元一次方程后教学．这主要是因为两者在教学中所承载的功能不同所致，如果把两者安排在前后一起教学，有可能会冲淡解二元一次方程组教学所承载的处理多元问题的思想（消元）．这种思想在初中阶段是其它数学内容所无法替代的，所以二元一次方程组解法教学的目的不单纯是得到解，而要在这个过程中感知消元思想的意义，把一个多元问题转化为已经学过的一元问题．

对于一元二次方程的教学，教材一般的教学顺序安排为：引入→解法→根与系数关系（当前课标为选学）→应用，一元二次方程的引入方法与前面所学的方程类型类似．通过现实问题引入研究对象，让学生理解一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，让学生体验到一元二次方程应用的广泛性．和其它方程的引入类似，并没有给出这章内容的研究思路和方法，如：从什么视角来研究的？研究的一般方法是什么？研究方法中哪些具有局限性，哪些具有一般性？而这些问题的回答都需要建立在解法教学的基础上．通过解法的适当教学，不仅能回答这些问题，而且可以进一步发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，实现解法教学的育人功能．如果没有用系统和整体的观念来设计解法教学，学生难以体会求解方程的因式分解降次的一般观念，本内容教学的数学育人功能就会打折扣．

初中阶段讲数系的扩充常常用生活的需要来解释，或者从度量的视角来阐述，这种说理的途径很难讲清楚数系扩充的内在动力．只有回到数学内部的需要这条路子上来，从解方程的需要来看这种扩充，才会变得自然和顺利．因此，在方程内容的教学中，补充方程求解研究与数系扩充的联系，有利于学生体会数学内容的本质关联性，体会数系扩充的数学文化内涵．

2 数据统计与分析结果

2.1 从系统的观点分析本内容的教学系统

系统观点也就是整体的观点、联系的观点，即要素与要素、要素与相关要素、要素与环境3方面的关系．从系统的观点分析该内容的教学，得到如下结论：一元二次方程的“要素”是方程所对应的系数和解；从教学的视角看“相关要素”是“4种解法”的关联，从一元二次方程内在的视角看，是根与系数的关联（求根公式）；“环境”之一是教学目标和学习者目的以及考试纲要3者之间的关联；“环境”之二是数学理解、学生基础和教法之间如何三位一体；其功能结构是建立求解一元二次方程的求根公式，更为一般的功能结构是构建解决高次方程的一般模式（分解降次），这一功能需要由要素、结构和环境3者共同决定，图1表明了它们之间的关系．

图1 一元二次方程要素与结构及环境关系

2.2 从整体和联系的观点看4种解法的教学设计

该单元的解法教学介绍了直接开方法、配方法、公式法和因式分解法，其中直接开平方法由平方根的定义而来，所有教材都首先介绍，符合初中生认知的一般规律，配方法作为直接开平方法的进一步也是顺理成章的事，由此导出求根公式，获得解决一元二次方程的一般公式解，是理性思维的结果．人类探索方程的历史清楚地表明：从人类获得一元二次方程公式解的那一刻起，数学家的下一个目标是更高次方程的公式解．教学中如果没有这样的疑问设计是遗憾的．在数学教育中，强调其思想本源“以法通类，以类相从”[3]．这为介绍因式分解法的必要性和普适性提供基础，分解降次是解决更高次方程的一般思路．但应该注意到因式分解法的技巧性，需要在教学设计时把握“度”，避免陷入技巧的泥潭．

由此，从整体和联系的角度，从代数运算视角分析4种解法的联系，可以得到一元二次方程解法的逻辑结构联络图（如图2）．

图2 一元二次方程解法逻辑结构

从图中不难发现，不同解法在教学设计中需要达成的教学功能有两个：一是帮助学生建立解决一元二次方程的一般模式（求根公式）；二是渗透一种解决一元多项式方程求解的一般思想方法（分解降次）．当然建立求解“模式”和渗透一般思想，并不是要在教学过程中强调因式分解法，只是认为可以在传统的课堂中增添一些“新”的元素，让学生获得更多的数学思考．

2.3 从层次结构的视角看解法的教学设计

纵观初中阶段整个解方程教学，3类方程解法的层次结构非常清晰．从技术操作层面看：一元一次方程解法教学的价值在于“验证应用”，即运算律的应用，是算术和代数的分水岭；二元一次方程组解法教学的价值在于如何处理多元问题，即消元思想的渗透（代入消元和加减消元）；一元二次方程解法教学的价值之一是如何处理高次问题，即降次思想的渗透（分解降次），其二是获得一般方程的公式解，为问题的进一步推广和深入研究提供样例．从思想方法层面看：3类方程解法都具有很好的解题步骤，这是规则教学的良好素材，是渗透算法思想不可多得的好例子；3类方程最后其实都形成公式解，即都有解决问题的统一模式，为问题的进一步推广提供可能（Cream法则、3次或4次方程求根公式），也是数学家的追求，是数学地思考问题的一种方法，值得渗透；数学解决问题的最高境界是形成理论体系，历史表明伽罗瓦理论就是人们在寻求多项式方程公式解的过程中逐渐形成的一门数学分支，不仅解决了方程问题，同时解决了一系列古典问题（如三等分角问题），这种由具体解某个方程到归纳得出一般模式，继而指导解决具体问题的思想方法就是数学的一般观念．两者相辅相成，共同促进学生对解方程教学的认知提升．

从技术层面看，补充：①范德蒙（A. T. Vandermonde，法国数学家）的解法，其解法的洞悉在于把方程的根用方程所有的解表示，史称“根的对称式表示法”：

更进一步，还可以补充：②拉格朗日（J. L. Lagrange，法国数学家）的解法．

用根的对称式表达方程解和强调方程解与根的置换关系[5]，是人类在研究方程历史上走出的正确的第一步，对日后形成方程理论意义非凡．

一般没有必要补充古希腊时的所谓“几何解法”[6]（当然作为拓展课呈现未尝不可），不仅因为其解法具有很大的局限性（也得不到负根），而且繁复，在古希腊也仅仅是某些几何量的某种关系的几何表示，并非真正意义上的解代数方程，对推动方程理论的形成并没有带来积极的作用．

3 教学设计的若干注意点

3.1 认识4种解法的内在逻辑关系

国内使用的各版本教材中，用配方法（含直接开平方法）解一元二次方程部分内容的课时、例题数量、练习数量等信息如表1所示．浙教版和苏科版教材比较强调配方法，这与调研结果较为一致，都设计了“探究”“合作学习”“做一做”等栏目，说明掌握配方法并非易事，部分教材对作业阶段是否使用配方法未做出限制，强调用适当的方法．

表1 一元二次方程配方法（含直接开方法）各种教材内容细目

注：括号内的数字表示全部小题总数．

3.2 从中外数学史发展认识“配方法”的地位

3.3 高观点下统一认识解法蕴含的思想方法

用因式分解降次体现了一元多项式方程解法研究的一般观念，一个方程能不能解，最终都归结为是否能分解成若干个一次式的积．用公式求解就是统一求解，历史上众多数学家为了寻求多项式方程的公式解而孜孜以求，因为一旦找到解决问题的公式，便一劳永逸．从一元一次方程到一元四次方程人们都找到了公式解，对于一般五次以上方程，人们也找到了统一的理论一并解决（其解不能用根号表示），而高次多项式方程的公式解的研究中，借助的就是这种因式分解降次的思想．因此，需要在思想观念层面重视这种思想方法的教学，具体的教学策略用这种思想统一一元二次方程的4种解法，让学生在学习不同解法的基础上用高观点统一地认识它们，实现更高层次的抽象，而不是过分训练具体因式分解解法技巧，因为一般多项式的因式分解可以用插值法．

4 结束语

能否灵活运用教科书，超越教科书的固有设计，除了能正确理解教科书的设计意图外，一个重要前提是教师对学科知识的把握[12]．相比于其它学科，数学教学可能更加依靠教材[13]．如果在教材设计中能够强调系统地、整体地、联系地看待问题，把握好整体性，那么教师在教学中就能对内容的系统结构了如指掌，心中有一张“联络图”，从而把握教学大方向，就能使教学有的放矢．也只有这样，才能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识[14]．解法教学要实现知识、技能，整体、联系的完美统一，教师必须避免将不同解法的讲授割裂，应注重解法之间内在联系的揭示，让学生能更好理解、接受和掌握解法，真正把握数学知识的脉络．需要老师对所教内容有系统地理解和整体地把握．这样的教学设计在学生素养的生成、情感的培养以及思维习惯与方法的形成等方面发挥着独特作用[15]．

从“会的”到“不会的”是创造学的机会；从系统的观念到数学的一般方法是提供学的方法；从学会一种方法到回归方法的本源是学会学的途径；从一招一式到普遍联系是学有所成的开始，教师应当为此而努力．

致谢：感谢杭州师范大学叶立军教授的悉心指导．

[1] 韩雪涛．好的数学（方程的故事）[M]．长沙：湖南科学技术出版社，2012：1．

[2] 王红权，应佳成．二元一次方程教学设计的几点建议[J]．中学数学杂志，2016（12）：24-27．

[3] 孙旭花．中国数学教育优势：隐性的代数教学设计模型[J]．数学教育学报，2016，25（5）：5-8．

[4] 陈蓓，喻平．哲学数域下的数学教育研究——“第二届全国数学教育哲学暨数学教育高层论坛”综述[J]．数学教育学报，2016，25（5）：99-102．

[5] 冯承天．从一元一次方程到伽罗瓦理论[M]．上海：华东师范大学出版社，2012：26．

[6] 范宏业．一元二次方程的六种几何解法[J]．数学教学，2005（10）：25-27．

[7] 范良火．义务教育教科书·数学（八年级下册）[M]．杭州：浙江教育出版社，2013：31-35．

[8] 沈志军，洪燕君．“一元二次方程的配方法”：用历史体现联系[J]．教育研究与评论，2015（10）：38-42．

[9] 李迪．中国数学史简编[M]．沈阳：辽宁人民出版社，1984：72．

[10] 欧几里得．几何原本[M]．兰纪正，朱恩宽，译．西安：陕西科学技术出版社，2003：48-49．

[11] 王红权，任敏龙．穿越千年寻本源“四探”定理为育人[J]．中学数学教学参考，2016（8）：18-21．

[12] 严家丽．试析影响教师使用教科书水平的因素——基于15位小学数学教师的调查[J]．数学教育学报，2016，25（6）：51-55．

[13] 范良火，熊斌，李秋节．现代数学教育中的教材研究：“概念”“问题”和“方法”[J]．数学教育学报，2016，25（5）：1-4．

[14] 章建跃．从整体性上把握好数学内容[J]．中小学数学·高中版，2010（3）：封底．

[15] 吕世虎，吴振英，杨婷，等．单元教学设计及其对促进数学教师专业发展的作用[J]．数学教育学报，2016，25（5）：16-21．

A Systematic View on the Teaching of Quadratics Solving

WANG Hong-quan1, LI Xin2

(1. Hangzhou Institute of Fundamental Education Research, Zhejiang Hangzhou 310003, China;2. Hangzhou Qingchun Middle School, Zhejiang Hangzhou 310003, China)

In order to analyze the internal connection of different solutions to quadratic equations as a whole, and from the perspective of the formation and development of knowledge, we need to highlight the idea of reducing the power of x. Based on students’ cognitive ability, we considered the method of completing the square as being the key method to solve quadratics. This was considered proper, but not sufficient. It was necessary to unify the understanding of power reduction by factoring, which was often used in polynomial equations. Through the basic idea of solving single variable polynomial equations, students would acquire the foundations for future study, and experience the mathematical culture regarding equation research.

systematic view; unary quadratic equations; completing the square; factorization; didactical design

2019–01–29

2016年浙江省教研立项规划课题——“一核二心”的初中数学发展性课堂教学设计研究（01475）

王红权（1970—），男，浙江杭州人，特级教师，主要从事数学教学研究．

王红权，李馨．从系统的观点看一元二次方程的解法教学设计[J]．数学教育学报，2019，28（3）：94-97．

G633.6

A

1004–9894（2019）03–0094–04

[责任编校：张楠、陈汉君]