密集排水孔幕条件下圆形隧洞轴对称渗流模型数值分析

（贵州省水利水电勘测设计研究院，贵州 贵阳 550002）

1 研究背景

排水孔作为重要的渗控措施广泛应用于隧洞工程中。一般沿洞轴线方向交替间隔分布，具有一定的规律性，但数量众多，且径向尺寸与巨大的渗流模型尺寸相比极小，因此对每一个排水孔进行精确模拟较为困难。针对这一问题，王镭等［1-6］提出了一系列排水孔模拟方法，比较典型的有排水子结构法、杆单元法、以管代孔法、空气单元法、复合单元法等。排水子结构法理论较严密，计算精度较高，不足之处是需要定义子结构与排水孔之间的关系，会显著增加数据准备的工作量和计算的复杂度。其他几种方法则是寻求宏观等效方法，避免对排水孔进行物理上的直接模拟，因此也就难以精细反映排水孔的排水渗流特性。排水孔是人工设置在岩体中的圆形空心强导水通道，为渗流提供了一个相对开阔的空间，对渗流的阻力远小于周边的裂隙和岩块，这就使得裂隙和岩块中的水流从排水孔孔壁渗出［4］，其原理与地下水向各向同性介质中水井的稳定运动相同［7］，因此将排水孔的孔壁作为溢出面边界，按给定水头边界条件处理。Gurehgian将排水孔作为计算域内给定水头的边界条件，用有限元方法求解［1］。该方法的弊端在于排水孔内径非常小（直径5～10 cm），远远小于计算域尺寸，且隧洞排水孔众多，若将每一个排水孔作为内边界处理，会使网格过于复杂，但从精细模拟的角度考虑，排水孔应作为计算域的边界处理［8］。基于此，通过将排水孔圆柱面溢出边界等效为矩形溢出边界面，能有效降低网格的复杂程度；同时将计算域简化为平面轴对称问题［9-10］，并扩展为呈圆环体状空间模型，进一步简化了网格模型。基于固定网格，采用单元传导矩阵调整法［11］，可解决渗流自由面的求解问题。由此，按轴对称问题建立了密集排水孔幕条件下的圆形隧洞渗流模型，通过求解隧洞衬砌外缘的孔隙水压力（将其作为衬砌渗透力［9］，同时作用于衬砌外缘的外水压力）、排水孔的排水流量，达到深部隧洞工程的渗控目的。隧洞按轴对称问题求解不仅适用于圆形断面，同样适用于正方形断面、圆拱直墙断面和客专双线断面，只需要将非圆形断面按周长等效法换算成圆形隧洞尺寸即可［12-13］。除此以外，按轴对称问题求解的方法也可用于浅埋隧洞水压计算［13］，但应注意求解得到的水压为隧洞中心处水压，对断面较高的隧洞，应注意水压在高度方向的变化。

2 渗流模型的建立

2.1 圆形隧洞轴对称模型

在山区深部隧洞工程中，隧洞位置处的水深低于埋深。假定围岩为各向同性均匀连续介质，隧洞为圆形，衬砌内径为r0，外径为r1，远场稳定水头r2为地下水头；地下水头设为H，水流为稳定流，其运动规律服从Darcy定理，同时假定隧洞的排水通过衬砌均匀渗水实现（隧洞工程排水孔流量均匀分布到衬砌中［9］），衬砌渗透系数k1、围岩灌浆层渗透系数kg、围岩渗透系数kr，可简化为轴对称问题进行处理，简化计算模型见图1。

图1 圆形隧洞轴对称简化模型

由于衬砌厚度相对于地下水头较小，衬砌渗透力可简化为作用在衬砌外缘的表面力，该表面力取该处的孔隙水压力［9-10］。根据地下水动力学理论［14］，推导出圆形隧洞的排水量Q和衬砌外水压力P1的计算公式［9-10，12］：

式中，h1为衬砌外缘处水头；rg为固结灌浆圈半径；γ为水的容重。

2.2 排水孔模拟

2.2.1 排水孔溢出边界条件等效转换

排水孔的功能是将地下水排导至渗流计算域以外，对隧洞衬砌的水头分布影响非常大，是折减隧洞衬砌外水压力的重要手段［15］。排水孔的孔壁溢出边界一般为圆柱面，直径多为5～10 cm，若在空间模型中逐一建立排水孔的溢出边界，模型将异常复杂。为简化计算，可以按孔壁的周长等效为一个矩形面（见图2），将其作为内部边界条件考虑，使得空间三维曲面溢出边界转换为空间平面溢出边界，有助于对复杂排水孔幕建模。

图2 排水孔溢出边界条件等效转换示意

2.2.2 排水孔渗流行为模拟

（1）排水孔排水特性的模拟方法。尽管排水孔的内径较小，但其在环向、轴向的分布具有较强的规律性，可视为一系列排列有序的内部排水缝面，具体见图3。因此，在建立网格模型时，无需建立专门的排水孔单元，只需要结合排水孔周长的等效宽度b、伸入岩体的深度t、排水孔纵向间距L以及环向布置间距，在特定区域内进行网格剖分，而后按照矩形平面溢出边界的空间位置关系，将一系列对应节点作为内部边界条件来描述排水孔幕的排水特性。

（2）渗流自由面与排水孔渗流逸出点的计算。渗流自由面基于固定网格的单元传导矩阵调整法进行求解，对于被自由面穿越的单元，其渗透系数按体积加权法进行计算［11］。逸出点是渗流自由面上的特殊点，它处在渗流自由面和溢出面的交界处，既可作为渗流自由面的节点，也是未知的水头节点，同时也可作为溢出面的已知水头节点。计算时，首先假定排水孔溢出矩形面节点均为逸出点，并作为已知水头节点，求出渗流自由面上各节点的水头值，然后调整自由面；逸出点的位置根据与其临近自由面上节点位置加以修改，具体做法见文献［11］。该方法有效模拟了排水孔穿过自由面时的情况，即排水孔自由面以上边界为不透水边界，以下为定水头边界。

2.3 空间渗流模型

图3 隧洞复杂排水孔幕溢出边界示意

按轴对称问题对隧洞进行渗控分析是一种重要的解析方法，在理论研究和工程中都得以广泛应用［16-17］。其外部定水头边界为圆形，既能有效简化渗流模型网格的剖分，还能进一步对比分析有限元计算成果。

2.3.1 计算假定

从实用角度考虑对渗流计算作如下假定［12］：①隧洞围岩为均质、连续、各向同性介质；②渗流为稳定流并服从Darcy定理；③地下水位恒定，不因隧洞开挖、排水孔的排水而改变。

2.3.2 空间渗流模型

计算域内渗流岩体按轴对称问题进行简化，模型呈圆环面状。由于隧洞衬砌多为防渗混凝土，因此渗透系数极小［18］，近乎不透水，排水完全依靠排水孔，模型也不再考虑混凝土衬砌的作用。扩展为空间模型后，模型由围岩灌浆层圆环岩体、远场圆环岩体组成，见图4。

图4 圆环体隧洞排水孔空间渗流模型示意

由图4可知：空间模型两端部为无排水孔溢出边界端部圆环体（体3）；体3之间由有排水孔溢出边界圆环体（体2）和无排水孔溢出边界圆环体（体1）交替连续排列组合而成。体2在洞轴线方向的长度为b（可取排水孔周长），排水孔中心沿洞轴线方向的间距为L；体1在洞轴线方向的长度为（L-b）；体3在洞轴线方向的长度为（L/2-b/2）。具体建模时，纵向考虑布置5道排水孔断面，模型纵向长度与L有关，当L为2 m时，模型纵向长10 m；当L为3 m时，则模型纵向长15 m。

图5为渗流模型边界条件示意图，计算域圆环体外表面为给定水头H，排水孔为溢出边界，伸入岩体的长度为t。圆环体内表面（衬砌外表面）边界条件如图6所示，以不透水边界为主。将计算域简化为轴对称问题并采用排水孔等效矩形溢出边界后，既能准确反映排水孔幕渗流特性，又大幅降低了众多排水孔溢出边界三维隧洞渗流模型的建模难度，有效解决了网格复杂化的问题。

2.4 计算软件与方法

渗流场与温度场在基本理论、微分方程、初始边界条件3个方面具有极大的相似性，因此可以利用ANSYS热分析模块来分析渗流问题［11-12］，具体分析过程此处不予以介绍。

3 工程实例分析

3.1 工程概况

贵州夹岩水利枢纽及黔西北供水工程隧洞工程长2.75 km，最大埋深430 m，最大作用水头79.6 m（对隧洞中心）。由于采用圆拱直墙断面（断面尺寸12 m×16.5 m，顶拱中心角120°），水荷载作用下衬砌的力学性能远差于圆形断面，因此，外水压力的取值对衬砌结构设计影响巨大。隧洞按周长等效原则换算为圆形断面后，r0为8.46 m，r1为9.26 m；固结灌浆圈厚度结合灌浆管长度取6 m，r2为15.26 m；远场稳定水头r2=H=79.6 m，围岩渗透系数kr为1×10-6m/s（对应透水率5Lu），考虑到一般固结灌浆技术水平，围岩灌浆层渗透系数kg取6×10-7m/s（对应透水率3Lu）；t取2 m，b取排水孔周长，即0.157 m（孔径为5 cm）。

图5 渗流模型边界条件示意

图6 模型内表面（衬砌外表面）边界条件展开示意

3.2 衬砌外缘水头特征

排水孔的布置方式对衬砌外缘的作用水头影响较大。当排水孔夹角为30°（断面均布12根）、排水孔纵向间距为2 m时，衬砌外缘水头特征见图7；当排水孔夹角为40°（断面均布9根），排水孔纵向间距为4 m时，衬砌外缘水头特征见图8。

图7 排水孔夹角为30°、纵向间距为2m的衬砌外缘水头（单位：m）

排水孔布置越密集，衬砌外缘水头越低，最大作用水头并未出现在1/2排水孔纵向间距处断面，而是出现在排水孔中心处断面，位于相邻2根环向排水孔之间，图7中最大外水头为6.417 m，图8中最大外水头为22.101 m，这是排水孔幕空间渗流效应的具体表现之一。为进一步分析作用水头，沿衬砌外缘对水头进行积分，可求解出图7中排水孔中心处断面、1/2排水孔纵向间距处断面对圆心的平均水头分别为4.424 m、5.716 m；图8中两处断面平均水头分别为14.463 m、18.083 m。值得注意的是，衬砌外缘水头自拱顶至拱底逐步增大，但并非按照高差规律变化。以1/2排水孔纵向间距处断面为例，图7拱顶外水头4.72 m，拱底5.691 m；图8拱顶外水头15.253m，拱底20.901m。因此，隧洞设置排水孔幕后，衬砌受力计算时应按外水头实际分布进行加载。

图8 排水孔夹角为40°、纵向间距为4 m的衬砌外缘水头（单位：m）

3.3 排水孔布置及其影响

为进一步了解排水孔布置对排水量、衬砌外缘水头的影响，计算了排水孔夹角20°、30°、40°、60°、90°，以及与之相对应的排水孔纵向间距为2 m、3 m、4 m时的衬砌外缘水头。根据排水孔的夹角可计算出排水孔的环向间距，从而得到排水量与排水孔环向间距的关系，见图9。排水孔布置越密集，隧洞排水量越大，当排水孔夹角大于40°，隧洞排水量随夹角的增大（环向间距的增大）总体呈线性减小趋势。

图9 隧洞排水量与排水孔环向间距关系

选择1/2排水孔纵向间距处断面作为特征水头断面，分别计算出对圆心的平均水头，即可得到平均水头与排水孔环向间距的关系，见图10。作用于衬砌外水的平均水头随夹角的增大（环向间距的增大）而增大，随排水孔纵向间距的增大而增大。当排水孔夹角大于40°，水头随夹角的增大总体呈线性增大。该工程排水孔的环向间距应控制在5 m以内，纵向间距应控制在3 m以内，此时作用于衬砌外缘的平均水头可控制在10 m以内，将有效改善衬砌的受力。

图10 衬砌外缘平均水头与排水孔环向间距关系

根据计算得到排水量、衬砌外缘水头，两者关系见图11。衬砌外缘水头随排水量的增大而呈线性减小趋势，与按解析法（式1、式2）求解得到的关系一致。

图11 衬砌外缘平均水头与排水量关系

3.4 排水孔溢出边界等效宽度取值

为进一步研究计算中排水孔溢出边界等效宽度b取值对渗流计算成果的影响，假设b取1/2排水孔周长，设排水孔纵向间距为3 m，分别计算了排水孔夹角20°、30°、40°、60°、90°时的排水量与衬砌外缘平均水头（取1/2排水孔纵向间距处断面平均水头，计算方法同前），与b值取排水孔周长的对比如图12所示。当b值取1/2排水孔周长时，计算得到的排水量略小，最大偏差约1.7%，计算得到的衬砌外缘平均水头略高；当排水孔夹角为20°、水头为6.61 m时，较b值取排水孔周长时的水头（6.12 m）高出8.0%；当夹角为90°时，水头偏差随夹角的增大而减小，偏差为3.4%。就工程应用而言，该偏差值在接受范围内，对水头的折减作用已经非常明显。就具体计算而言，可通过进一步分析b取值对渗流计算成果的影响，合理选定衬砌外缘水头。

图12 排水孔溢出边界等效宽度b取值对渗流计算成果的影响

3.5 对比分析

根据前述渗流计算成果，按照排水量相等的原则，通过式（1）可计算出不同排水孔布置对应的衬砌等效渗透系数k1，按式（2）计算出衬砌外缘水头。将计算结果与有限元法结果进行了对比，详见表1。

表1中，衬砌外缘水头为对圆心的平均水头，采用有限元法计算得到的水头为排水孔中心处断面与1/2排水孔纵向间距处断面对圆心平均水头值的平均值作为特征水头。采用解析法计算时，当衬砌等效渗透系数k1≥1×10-4m/s（即k1/kr≥100）时，每延米隧洞排水量恒定为17.39 m3/d，衬砌外缘水头近乎为0，衬砌相当于全排。因此，当采用有限元法计算得到的排水量≥17.39 m3/d时，等效参数均按1×10-4m/s取值。

等效渗透系数随着排水孔环向夹角的增大而减小，排水能力也相应降低；但排水孔也并非越密集越好，当L=2 m、夹角≤30°时，有限元法计算得到的特征水头下降幅度不够明显，而解析法计算得到的特征水头近乎为0。值得注意的是，两种方法求解得到的排水量相同，但衬砌外缘特征水头却小于有限元法计算得出的水头，且排水孔布置越密集差异越大。解析法中的溢出边界条件是均匀连续的衬砌内缘，而排水孔幕的溢出边界实则间隔跳跃不连续，即使排水量相同，对水头的削减必然小于连续溢出边界，但结果真实可靠。

表1 解析法与有限元法衬砌外缘水头对比

4 结论

（1）通过将计算域简化为轴对称问题并扩展为空间模型，再将排水孔等效为矩形溢出边界，并采用一系列有规律的节点来描述其渗流行为后，大幅降低了密集排水孔幕条件下隧洞空间渗流模型的建模难度。计算中采用单元传导矩阵调整法求解渗流自由面，并根据自由面进一步调整排水孔渗流逸出点，有效模拟了排水孔穿过自由面时的情况。尽管采用的模型做了一定简化，但已相对精细地描述了密集排水孔幕条件下隧洞的渗流特征。

（2）结合贵州黔西北某隧洞工程实例，采用ANSYS软件建立了相应的有限元渗流模型，并应用ANSYS热分析模块进行了渗流分析，计算得到的衬砌外缘水头分布较好地反映了排水孔幕的空间渗流效应。排水孔布置对衬砌外缘的水头影响极大，布置越密集排水能力越强，作用于衬砌外缘的水头越低，且衬砌外缘水头随排水量的增大而线性减小，与按解析法求解得到的关系一致。排水孔溢出边界等效宽度取值差异对渗流计算成果的影响，就工程应用而言可以接受，但理论上仍需作进一步分析以确定衬砌外缘水头。

（3）按照排水量相等的原则，计算出不同排水孔布置对应的衬砌等效渗透系数k1，并按解析法求解了衬砌外缘的水头。通过比较后发现，解析法中k1随排水孔纵向、环向间距的减小而增大，即排水能力增大，衬砌外缘水头减小。但是在排水量相同的条件下，采用解析法得到的外水头均低于有限元法，说明有限元法中排水孔幕不连续的溢出边界条件对外水头的削减效果要差于解析法中连续的溢出边界，但更加真实地反映了排水孔幕对隧洞外水头的折减效应。因此，在采用解析法求解衬砌外水头时，有必要进一步研究排水孔不连续溢出边界对解析法计算公式的影响。