基于Pareto最优均衡理论的商用车路径跟踪与抗侧倾协同控制研究*

李玉善，迟元欣，季学武，刘玉龙，武 健

（1.山东科技大学交通学院，青岛 266590； 2.清华大学，汽车安全与节能国家重点实验室，北京 100084）

前言

智能车辆因为具有降低驾驶员工作负担、提高汽车安全性等优点得到了快速发展，智能商用车相比于乘用车，由于行驶环境和运营方式的特点，在推广上显示出明显优势，已经开始吸引人们的关注［1-2］。智能车辆通过自动转向控制实现对期望路径的跟踪，称为路径跟踪横向控制［3］，而商用车质心位置较高，侧翻阈值和侧倾稳定性较低，横向与侧倾动力学相互耦合，转向过程中的侧翻事故屡屡发生。据统计，20%的商用车事故由侧倾和横向失稳导致，其中66%发生在转向过程中［4］，商用车的抗侧倾控制吸引了广泛的关注。

目前，关于商用车抗侧倾控制的研究主要集中于主动抗侧倾装置及其控制，如差动制动［5］、主动抗侧倾杆［6］、主动转向以及差动制动和主动抗侧倾杆之间的联合控制［7］，在控制方法上，针对模型参数的不确定性，张志勇等人基于线性矩阵不等式的鲁棒控制理论，提出了基于观测器的抗侧倾输出反馈控制方法［8］；Vu等人基于H∞控制理论设计了对车速和簧载质量鲁棒的主动防侧倾控制器［9］；Gaspar等人考虑车速时变特性，运用线性变参数（LPV）法进行了主动防倾杆和主动制动的联合控制［10］；Boada等人提出了一种基于神经网络的强化学习算法来提高商用车的侧倾稳定性［11］；靳立强等人基于零力矩点位置计算了侧翻时间，当侧翻时间小于设定门限值时，基于模糊PID控制策略对不同车轮施加制动力矩［12］。在这些控制器设计过程中，将车轮转角视为系统外界不确定扰动输入，基于相应抗侧倾性能指标设计抗侧倾控制器，并求得在前轮不确定扰动输入下保证车辆侧倾稳定性的控制输入。而实际上，车辆的横向动力学和侧倾动力学通过横向-侧倾惯性积相互耦合，在智能商用车上的表现为车辆的侧倾动力学受横向控制系统转角输入的影响，同时横向动力学也受抗侧倾系统控制输入的影响，仅将二者互为分散地设计横向与抗侧倾控制策略将忽略二者之间的相互作用。

动态博弈理论在处理多目标优化、多参与者存在相互交互的复杂系统问题上具有潜在应用［13-15］，针对商用车路径跟踪横向-侧倾控制过程中，转向子系统与抗侧倾子系统等多个子系统之间交联耦合又相互影响，各子系统控制输入彼此互相影响又共同对车辆横摆-侧倾动力学产生作用，因此，基于动态博弈理论设计商用车横向-侧倾稳定性控制器具有明显的优势。

本文中针对商用车路径跟踪横向与抗侧倾控制，提出了一种基于动态Pareto最优均衡的协同式最优控制策略，在路径跟踪-抗侧倾全局性能指标优化的基础上，横向控制器与抗侧倾控制器充分考虑彼此的控制输入，得到满足Pareto最优均衡的控制策略。为此，首先建立路径跟踪横向与抗侧倾控制智能车-道路闭环模型。其次基于最优控制理论，设计了分散式横向与抗侧倾控制器作为对比，基于合作式闭环Pareto均衡理论设计了横向-抗侧倾协同式最优控制器。最后进行仿真对比，结果表明，所设计的协同式最优控制策略能够降低系统横向-侧倾动力学之间的相互影响，在保证路径跟踪精度的同时有效提高了商用车侧倾和横向稳定性。

1 智能商用车-道路闭环模型

1.1 商用车横摆-侧倾耦合模型

为描述车辆转向输入对侧倾和操稳的响应，Segal最早建立了包含横向、横摆和侧倾运动的线性车辆3自由度模型［16］，为研究主动防侧倾装置，Tan等人建立了包含抗侧倾执行机构模型的车辆横摆-侧倾耦合模型［17］。主动转向、差动制动等防侧倾方法需要对前轮进行直接的横向或纵向控制，会对路径跟踪横向控制产生直接影响，因此本文中采用主动抗倾杆作为主动抗侧倾装置，建立抗侧倾控制车辆模型，如图1所示，将车辆分为簧载质量和前后非簧载质量3部分，仅考虑簧载质量的横向、横摆运动，以及簧载质量和前后非簧载质量绕车辆侧倾轴线的转动，建立簧载质量侧倾、横向、横摆以及前后轴非簧载质量侧倾动力学模型，如式（1）～式（5）所示，各符号详细描述见表1。

图1 商用车横-摆-侧倾耦合模型

表1 模型中的符号与描述

式中前后轴侧向力Fyi可由前后轴等效侧偏刚度表示为

在前后轴侧偏刚度较小的情况下，前后轴等效侧偏角可表示为

为了对路径跟踪的横向跟踪误差进行表达，首先需要描述车辆的实时横向位置和航向角，在车辆航向角很小的情况下，横向位置可表示为

根据式（1）～式（8），建立用于路径跟踪横向与抗侧倾控制器设计的车辆状态空间方程：

式中：x为系统状态向量；u为系统输入；y为系统输出。

根据矩阵A，B，C，D，利用MATLAB函数c2d可得到车辆离散状态方程：

1.2 智能车-道路闭环模型

Sharp等人［18］通过将预瞄点信息与离散车辆状态方程结合，得到多点预瞄路径跟踪模型，车辆前方的Np＋1个预瞄点的期望信息可通过道路移位寄存器矩阵表示为

式中：yd为当前时刻车辆前方Np＋1个点的期望横向位置yd0，yd1，yd2，…，ydNp-1，ydNp组 成的列向量；ydi为当前时刻输入的预瞄点期望横向位置；ψd为当前时刻车辆前方Np＋1个点的期望航向角 ψd0，ψd1，ψd2，…，ψdNp-1，ψdNp组成的列向量；ψdi为当前时刻输入的预瞄点期望航向角；Dd为道路移位寄存器矩阵；Ed为道路输入矩阵。Dd和Ed可表示为

将道路预瞄信息模型增广到式（14）车辆离散状态方程中得到车辆-道路闭环模型：

2 路径跟踪横向控制与抗侧倾控制策略设计

2.1 二次代价函数

2.1.1 路径跟踪横向控制二次代价函数

选取预瞄点处的横向位置误差（y（k）-yd（k））与航向角误差（ψ（k）-ψd（k））作为路径跟踪性能指标加权项，假设控制域为Nu步，则二次代价函数为

式中：RP为路径跟踪横向控制性能指标加权矩阵；SP为输入加权矩阵；为终端加权矩阵，通常为RP。

式中：q1和q2为性能指标加权系数；p1为输入加权系数。

2.1.2 防侧倾控制二次代价函数

选取簧载质量侧倾角φ、前轴归一化载荷转移Rf、后轴归一化载荷转移Rr、簧载质量与前轴非簧载质量侧倾角之差（φ-φuf）和簧载质量与后轴非簧载质量侧倾角之差（φ-φur）作为主动抗侧倾控制性能指标加权项，Rf和Rr如式（21）所示。

假设控制域为Nu步，则有限时域离散形式二次代价函数为

式中：RA为抗侧倾控制性能指标加权矩阵；SA为输入加权矩阵为终端加权矩阵，通常为RA。

式中：q3～q7为性能指标加权系数；p2和p3为输入加权系数。

2.2 分散式最优控制策略

车辆在进行自动横向控制与抗侧倾控制时，路径跟踪控制器和抗侧倾控制器有各自的控制目标，最基本的控制方法是利用分散式最优控制将两个控制器简单组合，每个控制器根据线性二次型最优理论计算自己的控制律，而控制器间没有交互，其控制框架如图2所示。图中，JP（Nu，k）和JA（Nu，k）如式（19）和式（22）所示。

图2 分散式最优控制框架

将式（19）与式（22）结合，得到分散式全局二次代价函数J（Nu，k）：

式中：R1为分散式全局性能指标加权矩阵；P0为终端加权矩阵；S为输入加权矩阵，通常取P0=R1；z为状态矢量。

Bitmead［19］指出，基于庞伽里特金原理求解离散时间线性二次型最优控制器，可从初始条件P0开始迭代差分形式的黎卡提方程，如式（25）所示。

十个吃客有九个会说，毛蟹炒年糕里的年糕最好吃。年糕浸满了蟹味，包裹着酱汁，软软糯糯的，比蟹都要嗲，会吃的都要去挑年糕吃，受冷落的都是毛蟹。可我就不这么认为，我就是那十分之一，就是觉着蟹好吃。

在k时刻，控制域Nu内第j步最优输入为

取k时刻所得控制序列的第一个输入w（k）opt作为当前时刻的最优输入，则线性时不变（LTI）系统的滚动时域二次型最优控制输入为

2.3 基于Pareto最优均衡的协同式控制策略

由图2所示的控制结构可以看出，系统状态z（k）同时受输入 δf，Tf和Tr的影响，分散式最优控制中的每个最优控制器在计算最优控制策略时，忽略了另外一个控制器的控制目标和控制输入，因而此时路径跟踪横向控制器所计算的最优车轮转角可能对防侧倾控制目标产生不利影响，反之亦然。

Pareto均衡理论作为一种合作式博弈策略，在系统动态演化过程中，各控制参与者在进行控制决策时，不仅考虑自身的利益函数，还会考虑其他参与者的利益函数。为更好地减弱商用车横向-侧倾动力学的耦合，本文中基于Pareto均衡理论设计了协同式最优控制框架，如图3所示。

图3 基于Pareto均衡的交互共享式控制框架

这种控制框架中有两条通道，两个最优控制器之间彼此交互，分享各自的控制目标和控制输入，路径跟踪横向控制器和防侧倾控制器同时将各自性能指标的线性加权之和作为自身的性能指标，如式（28）所示，根据此性能指标并同时考虑对方控制器的控制输入来计算自身的最优控制策略，因此每个控制器不仅使自己的性能指标极小，还极小化自身控制输入对另一性能指标影响，达到全局最优。

根据Pareto最优均衡理论，则式（19）和式（22）所示二次型目标函数为

式中R2为Pareto最优全局性能指标加权矩阵，如式（29）所示。

式中ρ1和ρ2为加权系数。为便于Pareto协同最优控制器的设计，将式（17）所示的智能车-道路闭环模型改写为

根据式（32）可得到协态变量与状态变量之间的线性关系：

根据式（30）、式（32）和式（33），可得如下一组耦合黎卡提迭代方程：

3 仿真与结果分析

本文中基于多点预瞄理论制定路径跟踪控制策略，并在此基础上分别设计了分散式最优横向-抗侧倾控制策略、Pareto协同式最优横向-抗侧倾控制策略；为进一步说明控制结果，选取蛇形线作为期望路径进行跟踪，将所设计的两种控制策略与单纯路径跟踪时的控制策略进行对比，仿真验证所提出的基于Pareto协同式最优控制策略的有效性。

归一化载荷转移能够衡量车辆侧倾稳定性，当归一化载荷转移超过1或-1时，车辆发生侧翻，为了分析对侧倾稳定性控制效果，选取3种控制方法下的前后轴归一化载荷转移进行比较，如图4和图5所示，图中点划线表示归一化载荷转移为-1。

图4 前轴归一化载荷转移

图5 后轴归一化载荷转移

图中的无控制是指车辆仅进行路径跟踪控制而不进行抗侧倾控制，由于没有侧倾控制，后轴的归一化载荷转移超过-1，发生侧翻；相比于无抗侧倾控制情况，分散式最优控制可显著提高车辆侧倾稳定性，而Pareto协同式最优对侧倾稳定性的提高效果明显好于分散式最优，分散式最优控制和Pareto协同式最优控制输入力矩如图6所示，后者的输入力矩要稍微大于前者。

为分析3种情况下车辆路径跟踪的控制效果，选取3种控制方法下车辆的横向位置，航向角进行比较分析，如图7和图8所示。

通过比较无控制与分散式最优两种控制算法下车辆的横向位置和航向角，可发现无控制下车辆的横向位移和航向角都更接近期望路径，这可能是由于分散式最优控制中的侧倾控制输入对横向控制产生影响，而基于Pareto最优均衡理论设计的协同式最优控制策略，路径跟踪效果明显好于无控制与分散式最优控制，说明Pareto协同式最优控制策略可减小抗侧倾控制输入对横向路径跟踪效果的影响。

图6 两种控制策略下前后轴抗侧倾力矩

图7 不同控制算法下的横向位移

图8 不同控制算法下的航向角

由于车辆的操纵稳定性与侧倾稳定性相互耦合，车辆横摆角速度与侧倾角呈复杂的非线性关系［21］，因此有必要判断施加的主动抗侧倾力矩对操纵稳定性的影响，车辆的操纵稳定域可由相平面ββ′得到，且可用稳定性指标 λ评估［22］，λ如式（35）所示，当λ≤1时，商用车处于稳定域内。

在分散式最优和Pareto协同式最优两种控制方法下的β-β′相平面和λ如图9和图10所示。

图9 β-β′相图

图10 操纵稳定性指标

由图可以看出，Pareto协同式最优控制下车辆的横向稳定性明显好于无抗侧倾控制和分散式最优控制。

4 结论

本文中建立了5自由度智能商用车-道路闭环模型，基于线性二次最优理论设计了路径跟踪横向-抗侧倾分散式最优控制器，基于Pareto最优均衡理论设计了Pareto协同式最优控制策略，基于智能车-道路闭环模型对两种控制策略进行了仿真验证。仿真结果表明，相比于分散式最优控制策略，Pareto协同式最优控制策略能够减小横向与抗侧倾控制之间的耦合，在提高车辆路径跟踪精度的同时显著提高车辆的横向和侧倾稳定性。