基于扇形区域极点配置的静态输出反馈H∞控制

姚 波, 谷美萱, 王福忠, 何 新

(1. 沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034;2. 沈阳工程学院 基础教学部, 沈阳 110136)

0 引 言

鲁棒控制研究的主要内容是:为存在模型不确定性和外界干扰的系统设计控制器,使得相应的闭环系统具有期望的性能。H∞鲁棒控制理论对外部扰动具有较强的抑制能力,区域内的极点指标具有实际工程意义,因此极点配置和H∞控制是设计控制器的重要方法,在实际应用中有广泛应用。

为减少机器故障带来的损失或提高安全性,可靠控制引起了众多研究者的关注。文献[1]研究了在扇形区域内考虑执行器故障情况下的状态反馈控制问题。文献[2]针对定常系统,在不考虑输出的情况下,以执行器故障为前提,给出了扇形区域极点配置的可靠控制率。文献[3]对几类线性系统的H∞可靠控制和区域极点配置问题进行了研究.文献[4-9]均是H∞控制方法在工业中的具体应用,体现了鲁棒控制的工程意义。文献[4]针对复杂集总干扰下四旋翼姿态与位置的稳定控制,提出了一种基于静态输出的反馈H∞控制算法。文献[5]应用H∞控制理论的静态输出反馈方法进行了无人直升机飞行控制系统的研究。文献[6]提出了基于H∞鲁棒控制的光伏并网逆变器控制策略。文献[7]针对具有不确定性的线性系统,考虑执行器故障下可靠跟踪控制器的设计。文献[8]是针对静态输出,解决区域极点和方差约束的控制问题。文献[9]是针对动态输出,解决多指标的满意控制问题。文献[10]给出了该系统H∞指标稳定以及该系统H∞静态输出反馈镇定的充要条件。文献[11]为现代控制理论的基础和概要。文献[13]给出了将系统极点配置到指定区域内的方法。文献[14-15]给出了将闭环系统极点配置到扇形或圆形区域内的可靠的控制方法。

本文主要研究在给定区域下,针对连续系统,预想求解同时满足H∞指标和区域极点配置要求的静态输出反馈控制器。所得结论不仅使极点配置在给定区域内,而且能够使闭环系统保持稳定且达到给定的H∞性能指标,保证了系统的性能,实现了期望的闭环极点。数值仿真验证了本文结果的可行性。

1 问题描述

考虑线性定常系统:

(1)

其中:x(t)∈Rn为系统的状态变量;y(t)∈Rp为系统的测量输出;z(t)∈Rr为控制输出;u(t)∈Rm为控制输出,ω(t)∈Rl为平方可积的外部有界干扰输入;B1,B2,C1,C2,D11,D12为适维矩阵;C2为行满秩矩阵。

对线性系统(1)引入静态输出反馈控制器:

u(t)=Ky(t)

(2)

由此得到闭环系统:

(3)

H∞控制器的设计目的是设计一个控制器u(t)=Ky(t)使闭环系统内部是稳定的,即闭环系统状态矩阵的所有特征值均在左半开复平面中;对于给定的γ>0,使扰动输入z的闭环系统函数Gωz(s)的H∞范数小于γ,且使得系统内部稳定,从而约束了外部的有界干扰。

系统的H∞控制器可以分为次优H∞控制器和最优H∞控制器2类,次优H∞控制器的含义为:给定γ>0,Gωz(s)∞<γ,寻求一个使系统内部稳定的控制器。最优H∞控制器的含义为:寻求最小的γ>0,使Gωz(s)∞<γ且使系统内部稳定的控制器。这里考虑次优H∞控制器问题。

引理1 若M,N均为行满秩矩阵,则对任意的适维矩阵H有

rank(H)=rank(MH)=rank(HN′)=rank(MHN′)

证明 令Q=MH,则rank(Q)≤rank(H)

因为M为行满秩矩阵

所以存在列满秩Z, 使得MZ=I,ZQ=ZMH=IH=H, rank(H)=rank(Q)=rank(MH), rank(H)≤rank(Q)。

由此结论可知rank(M)

rank(HN′)=rank(NH′)=rank(H′)=rank(H)

故rank(MHN′)=rank(HN′)=rank(H)。

引理2(有界实引理) 设常数γ>0,则系统(4)是渐近稳定的且Gωz(s)∞<γ的充分必要条件是存在一个正定对称矩阵P>0满足

(4)

引理3[12]矩阵A的所有特征值均在夹角为2θ的扇形区域内的充分必要条件是存在对称正定矩阵X,使得

(5)

2 主要结论

定理1 对于闭环系统(3),存在静态输出反馈控制器(2)使其满足引理3的充分条件为对于正定对称矩阵X1和矩阵U使得下列线性矩阵不等式:

(6)

存在可行解。如果可行解为(X1,U),则相应的静态输出反馈控制器为K=UW-1。其中Π=AX1+B2UC2,W可以由WC2=C2X1求得。

证明 由引理3可知把闭环系统(3)的极点配置在规定的扇形区域内必须满足

令WC2=C2X1,整理可得

设U=KW,故有

即

其中Π=AX1+B2UC2,也就是不等式(6)。

定理得证。

马来西亚森林树种以龙脑香科为关键性种群，在海拔300 m左右的低地至海拔1 300 m左右的高地森林被称为龙脑香林。其实高大的龙脑香乔木只是这个家族中的16个属之一，已知的树种就大约有695种，是世界木材贸易中最重要的树种。如低地龙脑香林区，一公顷这样的森林至少有240个不同的树种。

定理2 对于闭环系统(3),存在静态输出反馈H∞控制器,当且仅当存在正定对称矩阵X2和矩阵U使得下列线性矩阵不等式:

X2>0

(7)

成立,如果可行解为(X2,U),则相应的静态输出反馈控制器为K=UW-1,其中WC2=C2X1。

证明 根据有界实引理,闭环系统(3)是渐近稳定的,且满足性能条件Gωz(s)∞<γ,当且仅当存在一个正定矩阵P,使

对上述不等式分别左乘右乘矩阵diag[P-1,I,I],可得等价的矩阵不等式:

设X2=P-1,WC2=C2X,U=KW,即可得到不等式:

由于式(6)～(7)对于变量不是凸的,所以可以令X=X1=X2,这样含区域极点配置的H∞控制问题可以转化为一组凸优化问题:

X2>0

对于给定的γ>0,反馈控制率为K=UW-1。此时,闭环系统的极点在限制区域内,且满足

Gωz∞=(C1+D12KC2)[sI-(A+B2KC2)]-1B1+D11∞

3 数值仿真

本文考虑线性系统在无故障的情况下,通过设计静态输出反馈控制器使闭环系统的极点在扇形区域内,且达到H∞性能指标,从而使系统达到稳定。

考虑如下系统:

图1表示的是正常的线性系统在无故障的情况下,设计一个静态输出反馈控制器,而开环极点无法配置在扇形区域内,此系统是不稳定的。

图1 开环系统部分极点无法在扇形区域内

图2 所有极点均在扇形区域内

通过求解符合定理1和定理2的矩阵不等式的数值仿真,极点配置在了给定的扇形内,且求得的传递函数的H∞范数小于给定的γ值达到了性能指标的要求,说明此系统的极点均配置在扇形内且满足H∞性能指标,验证了本文定理的可行性。

4 结 论

本文研究了扇形区域下无故障的静态输出反馈H∞控制问题。通过设计控制器使所有极点稳定且可以配置在扇形区域下,并满足具有鲁棒H∞性能水平的γ。数值仿真证明了可靠控制器的有效性。