数列通项公式的几种求法

王俊义

一、累加法

例1

二、构造法

例2

三、对数变换法

例3

四、特征根法

例4

解析：设能构造an个符合条件的n位

数，易知a1=3，a2=8，当n≥3时，如果该n位数第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2an-1个，如果该n位数第一个数字是1，那么第二个数字只能是2或3，因而这样的n位数只能有2an-2个，于是递推关系为an=2aw-1+2an-2，n=2，3，4，...

定理：设x1，x2是特征方程x2=cx+c2

的两个根。①当xc1≠x2时，an的一般表达式为an=aqx"+aqx2;②当x1=x2时，an的一般表达式为an=（β+β2n）x"，这里的a1，a2，β1，β2都是由初始值确定的常数。（证明略）

五、不动点法

例5

六、待定系数法

例6 如图1，将一个圆分成n（n≥2）个扇形区域，现用k（k≥2）种不同颜色对这n个区域涂色，要求相邻区域颜色不同，问：有多少种不同的涂色方法？

解析：有k种不同颜色对n个区域涂色，记种数为an（n≥2，k≥2），易知：A，有k種涂法，A2有k-1种涂法，…，A，有k-1种涂法（不论是否与A，同色），共有k（k-1）n-1.种涂法，但这k（k-1）"-1种涂法分两类：一类是A。与A.不同色;另一类是A。与A，同色，可看作A。和A，合成一个区域，即an-1，得递推关系

（n为区域数，k为颜色种数）。

评注：对于形如an+1=kan+f（n）的递推式，常用待定系数法构造等比数列（不一定是等比数列）形式的数列，进而求出通项公式。