跳伞运动与数学模型研究

李佳蕙

摘 要： 数学与实际应用相结合才能展现其魅力;而数学建模就是利用数学来建立模型进而解决实际问题的一门学科。伞兵是我国军事力量的重要组成部分，同时跳伞运动也越来越受到人们的青睐。因此如何精准地把握开伞时间并确保人员安全显得尤为重要。通过建立跳伞的数学模型，对跳伞运动中的各种变量进行分析，如伞的受力面积、开伞时间、人体质量、降落范围等;通过分析各变量对跳伞运动的影响，对其进行安全分析。在确保运动员安全的前提下，对最佳撑伞时间进行分析研究。

关键词： 安全跳伞;受力分析;运动分析;收尾速度;开伞时间

中图分类号： TB      文献标识码： A      doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.13.096

1 问题背景

跳伞运动在军事和经济建设上都有重要意义。早在15世纪，利用降落伞下降的可能性已从理论上得到证明。20世纪初以来，飞艇、飞机广泛用于民航事业和军事方面，降落伞被实际用为飞行人员的救生器具，并逐渐发展为体育活动。降落伞可应用于应急救生，在返回式航天飞飞机失事时拯救飞行员的性命;也可以起到稳定作用，保持飞机弹射椅的姿态稳定，空中加油机的加油器稳定;在空降空投方面也有着巨大应用价值，例如伞兵空降以及各种物资和武器的空投;同时也可作为一项被大众广泛接受的航空运动。

在跳伞的过程中，准确的把握开伞时间是最重要的，为使运动员及空投物资时能更好的预计较为准确的开伞时间，现提出以下几个问题。

（1）如何确保运动员能够安全着陆。

（2）如何确保运动员在制定范围内着陆。

（3）风速对落地范围的影响与开伞时间的跳伞运动的影响。

2 模型假设

（1）假设人在水平方向所受风速恒定。

（2）假设空气密度均匀，不随高度变化。

（3）假设降落伞张开后有效受力面积不变。

（4）假设重力加速度不随高度的变化而变化。

（5）假设打开降落伞所需的时间和此过程速度的变化忽略不计。

（6）假设人和降落伞相对静止，并以系统的重心代表整个系统进行分析。

3 模型建立與问题分析

本文主要针对跳伞运动的轨迹变化规律进行展开研究，因此如何描述跳伞运动员的状态是建立数学模型的首要考虑因素。如下是本文的数学模型，该模型建立在空间物理模型的基础上，通过受力分析得到运动员的受力情况;结合运动员此时的运动状态进而得到运动员的运动轨迹。

由图1，根据解题需要，设定如下参数：

v：风速;

F阻：空气阻力;

m：人体质量;

s：降落伞的受阻面积;

h：地面到开伞位置的竖直距离;

d：落地最大范围;

H：开始跳伞位置与地面距离;

tg：开始下落到开伞所用时间;

t：跳伞过程中所用时间。

3.1 模型分析

如图1，跳伞运动员从高度为H的高空跳伞，第一阶段，即降落伞还未打开时，在该过程中由于降落伞未撑开，为简化模型，在该过程中只考虑人所收到的重力，因此可以建立类自由落体运动。第二阶段，伞打开，由于伞的面积较大，因此需要考虑伞所受到的阻力和人所受到的重力，随着降落伞的打开，人下降的速度会相应减小，因此加速度绝对值大小也会变小，因此可以建立加速度逐渐减小的减速运动模型，根据模型具体参数求解得到含第一阶段运动的末速度、人的质量和降落伞面积等参数相关的运动方程。

通过查阅相关资料可知，降落伞是利用空气阻力来达到减小速度的一种工具。资料显示，运动的物体在空气中所受的阻力大小与物体的运动速度有关。当物体在速度较低情况下，可以认为阻力的大小与阻力系数、接触面积、速度成正比，即f=ksv，其中k=2.937。然而，当空气中的速度非常高的时候，物体会与空气产生摩擦现象，开始出现气动加热现象。一般认为当速度大于2.5（马赫）时，会出现气动加热现象。

由以上知识，并结合模型可知，此处假设人在撑伞之前做自由落体运动;当速度v达到2.5倍音速时，即v=340*2.5m/s物体下落的高度为：

H= v2 2g   （1）

将g=9.8m/s2，v代入上式可得，H=36862米。由于在实际的跳伞运动中，跳伞的高度通常不会大于H，因此在本文中的空气阻力的计算公式选择如下：

f=ksv，（k=2.937） （2）

由前文的运动分析，在开伞之前，运动员做自由落体运动，在该过程中，速度大小为：

vg=gt （3）

降落高度与时间的关系为：

Hg= 1 2 gt2 （4）

在竖直方向上的运动方程为：

H=H0-Hg （5）

当运动员撑开降落伞之后，由于物体所受到的阻力对物体运动的影响非常大，因此必须考虑空气阻力的影响;由上文可知空气阻力的计算公式，再结合牛顿公式。

ma=mg-ksvv tg =gtg   （6）

其中，tg表示运动员自由落体的运动时间， a表示加速度，又由加速度与速度、时间的关系：

a= dv dt  （7）

结合微分方程的求解，可得：

vs= mg ks + gtg- mg ks  ×e- ks m （t-tg） （8）

综上，下降过程中的速度公式为：

v=  gt mg ks + gtg- mg ks  ×e- ks m （t-tg）     ttg  （9）

3.2 跳伞的安全分析

3.2.1 确保安全降落的基本条件

通过对降落伞的降落过程进行分析可知，运动员在撑伞之后其速度下降的过程中其加速度的绝对值也同时在下降，因此速度最终会趋向于一个固定的值，通常称该速度为收尾速度，一般认为此时降落伞的阻力等于此时人和降落伞的重力;再通过对以上公式进行分析可知，人在打开降落伞之后，速度最终将趋向于如下速度值：

v= mg ks  （10）

首先，为保证运动员的安全，确保收尾速度小于人能够接受的速度，也就是说v<8米每秒。因为这m，s值的大小对于运动员来说是变量，因此可对其进行分析，可列表分析。

根据上表所得数据可知，当体重固定时，可通过增加降落伞得面积减小收尾速度保证运动员得安全。结合上表数据并结合实际降落伞的大小，可知运动员如果体重大于70千克而且想要以5米每秒的速度着地则至少需要47.6677平方米大小的降落伞，而这已经是非常大的降落伞。

3.2.2 确保运动员的绝对安全必须知道最晚开伞时间

在3.1.1中通过对运动过程分析可以得到在降落伞最终得到稳定速度时的状态;然而，在实际跳伞运动中会经常出现不能最终以收尾速度着地的情况发生，而且在实际生活中有很多情况下为了在规定区域着地，必须缩短降落时间。因此当确定收尾速度小于8m/s之后，仍需通过高度来确定开伞时间，以使运动员的着地速度小于安全速度。

但是在实际情况中，我们需要知道至少提前多少打开伞，才能让运动员在未达到收尾速度时，其真实的降落速度小于安全速度。由上文，打开降落伞的时间为tg，如果得到运动员速度达到安全速度的时间，就能够求出运动员至少提前多长时间撑伞，也就是撑伞的时间。

根据对模型的分析，要想对最佳的开伞时间进行确定，则需要确定跳伞的高度或者跳伞的总时间的相关不等式。通过分析模型以及对公式的分析，如果通过高度来确定最佳开伞时间则需要求解开伞后运动员运动的高度。由运动学知识可知，运动员下降的高度是运动员速度对时间的积分，则下降的距离s与时间的关系表达式如下：

h=   1 2 gt2 mg ks t+ gtg- mg ks  × - m ks  e- ks m （t-tg）+（ 1 2 gtg2- m2g k2s2 ）     ttg   （11）

由以上下落高度與时间的关系，当跳伞高度为H，开伞时间为tg时，可令s=H，则通过求解表达式可得时间t，通过将开伞时间tg和落地时间t代入速度公式，则可得到运动员落地的速度为：

v= mg ks + gtg- mg ks  ×e- ks m （t-tg） （12）

通过求解上式可以得到运动员到达地面时的速度，通过对比安全速度可判断该速度是否能够保证运动员的安全。通过对模型进行分析可知，在高度一定的情况下越早打开降落伞则落地的速度会越小，因此当计算的落地速度大于安全落地速度时，可以通过提前开伞来降低落地速度的大小。当然如果可以对伞的大小进行选择的话，也可以加大伞面的面积来减小落地速度。

3.2.3 风速对落地范围的影响与开伞时间的关系

在实际生活中，通常对运送物资的落地范围有严格的要求。通过本文模型，可以通过公式（11）求解的时间t，再根据跳伞时的风速可由如下公式求出跳伞运动员的水平位移：

d=v风×t （13）

结合3.2.2中的数学模型，分析跳伞过程中，H、tg、v风的改变对跳伞运动的影响，在该分析过程中，取3.2.1中m=50kg的数据进行分析，计算结果如表2所示。

通过以上分析可以得出如下结论：

（1）当起跳高度，开伞时间，水平风速一定时，伞面积越大，落地时间越长，落地速度越小，水平位移越大。

（2）当起跳高度，开伞时间，伞面积一定时，水平风速越大，水平位移越大。

（3）当起跳高度，伞面积，水平风速一定时，开伞时间越靠后，落地时间越短，落地速度越大，水平位移越小。

（4）当开伞时间，伞面积，水平风速一定时，起跳高度越高，落地时间越长，落地速度越大，水平位移越大。

以此可以直观地得出起跳高度，开伞时间，水平风速，伞面积的相应变化关系，从而供相关人员参考。

4 总结

在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本文通过建立相应数学模型，对跳伞运动进行研究，通过公式推导及数据分析，对降落伞受力面积与开伞时间的关系，风速对落地范围的影响与开伞时间的关系，落地安全速度对开伞时间的影响及对最佳起跳高度的研究，基本确定了跳伞运动过程中开伞的最佳时间，可供运动员及跳伞运动爱好者参考。同时，在跳伞运动过程中，由于空气在不同水平层的密度不同，不同水平层的风速也有很大变化，这些影响因素在本文的研究中并未提出，因此模型还有一些缺陷与不足，这也是数学建模的局限。

本文所求得的开伞最佳时间可以运用在遇险物资投放上，通过程序设定最佳开伞时间来控制物资投放的地点与速度。可以更加安全，范围更加精准。

参考文献

[1] 权启礼.中国跳伞运动史[M].武汉：武汉出版社，1990.

[2]刘阳，陈波，杨阳.空降场的定量分析与研究[J].信息工程大学学报，2006，7（1）：99-102.

[3]王秀增，侯其昌，曹步平，等.伞兵伞开伞过载生理允许值的研究[J].航空军医，1996，（4）：195-197.

[4]刘铁汉，冯文树，何杨举，等.一个估算跳伞着陆冲击力的数学模型[J].中国生物医学工程学报，1988，（1）.

[5]冯晓晔.跳伞运动中空中航线的探讨[J].四川体育科学，2012，（4）：73-76.

[6]杨吉，佟守愚，吕玉姝.跳伞投放指挥与降落轨迹模拟系统[J].指挥控制与仿真，2014，（3）：116-119.