一种用于光机热耦合过程中的非线性曲率拟合算法

张克 李都宁 毛力奋 蒋光南

摘  要：在光机热耦合过程中，核心思想是如何把变形或光程差转化新的光学面型，一般习惯上用多项式的形式。文章提出一种算法可以使计算RMS达到10-13，计算精度可以达到10-16，实际案例中最大位移误差可以减少2个量级，从而最大位移量由116nm，下降到1nm左右。

关键词：光学系统设计;光机热耦合分析;曲率拟合;因子迭代算法

中图分类号：TN202 文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2019）14-0037-02

Abstract： In the process of optical-mechanical-thermal coupling， the core idea is how to transform the deformation or optical path difference into a new optical surface， which is usually in the form of polynomials. In this paper， an algorithm is proposed to calculate RMS up to 10-13， and the calculation accuracy can reach 10-16. In practical cases， the maximum displacement error can be reduced by two orders of magnitude， so that the maximum displacement can be reduced from 116 nm to about 1nm.

Keywords： optical system design， optical-mechanical thermal coupling analysis， curvature fitting， factor iterative algorithm

1 概述

多項式拟合一般利用最小二乘法[1，2]，除多项式拟合之外，拟合成刚体运动和曲率变化是对工程更有用的一种方法，根据刚体运动和曲率变化，进行实际工况下的变形进行光学结构优化，也可以在后期加工过程中反向推导面型以及自适应。

对于热载荷以及重力载荷可以通过有限元的计算得到镜面位移量[3]。位移量一般通过单元或节点进行承载。一个点拥有的3个平移量和3个转动量，3个平移量一般用于光机耦合的初始值。

为了使等参非线性求解更好的适用于光机热耦合分析过程中，本文提出一种因子迭代算法进行曲率拟合，迭代次数超过5次，计算RMS可以达到10-12，曲率和偏移量计算精度可以达到10-16。

2 因子迭代算法

3 算法实验与结果

3.1 算法准确性实验与结果

面型为99mm的圆形镜面，经过一定的工况计算，面型正好变成半径为100mm的圆形镜面，即c为0.01，偏移量为10-5。

算法设计中一般选择原始面型的参数作为初始点，即迭代初始点c=1/99，bz=0。迭代4次，曲率误差和轴向位移误差在10-16量级。

3.2 算法收敛性实验与结果

综上，在迭代5次就可以收敛RMS在10-13，曲率c和bz误差在10-16，上述测试了算法的准确性和收敛性，但实际过程中，变形后的并不为理想面型，接下来我们将进行实际案例的计算，看一下工程中比较关心的最大位移量的变化。

3.3 算法工程案例与结果

为了更好的说明算法的实际应用，本文利用此算法计算筒式望远镜案例。案例的基本工况：镜头结构受到一定压力载荷和自身重力作用。

用有限元软件计算的变形结果，最大误差在166nm左右。

经过本文提出的因子迭代算法曲率拟合之后，可以看出其拟合之后的最大误差在1nm的精度。

4 结论

本文提出一种因子迭代算法，可以进行光机热耦合过程中的曲率求解，在有已知解的算法实验中，可以看出算法准确性在迭代4次可以达到10-16;算法收敛性在10000组随机初始值和一定截止条件下，迭代5次便可以全部收敛。在工程案例中最大位移误差可以减少2个量级，从而最大位移量由116nm，下降到1nm左右，已经在制造的精度之上。未来曲率拟合在制造和实际过程中可以通过更改因子β达到更优的效果。

参考文献：

[1]Doyle， K.， Genberg， V.， Michels， G.， Integrated optomechanical analysis[M]. 2nd Ed， Washington：SPIE Press，2012：37-62.

[2]Genberg V， Michels G. Novel applications of active mirror analysis[C]//Optomechanical Engineering 2015. International Society for Optics and Photonics， 2015，9573： 95730I.

[3]Coronato PA， Juergens RC. Transferring FEA results to optics codes with Zernikes：review of techniques[J]. Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering， 2003，5176：1-8.