应变与ZnSe/ZnCdSe双势垒对电子隧穿的压力影响研究
2019-07-01钱岙轲
钱岙轲
摘 要： 运用求解任意势中波函数与转移矩阵相结合的方法，计算得到流体静压下应变ZnCdSe/ZnSe双势垒电子隧穿的共振能级、波函数和透射系数。考虑晶格常数、有效质量及体弹性模量等参量的压力效应对电子隧穿的影响。数值结果显示，与无静压比较，势垒的高度增加，则电子有效质量减小，导致共振峰向高能区移动，但峰值高度不变。此外，给出势阱有无静压的两种情形下的波形图，通过对比，可以进一步看出静压对ZnCdSe/ZnSe电子隧穿的影响。
关键词： 电子隧穿;静压;双势垒;透射系数;电子波函数
中图分类号： TB 文献标识码： A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.12.093
1 引言
近年来，由Ⅱ-Ⅵ族宽禁带半导体材料组成的量子异质结构具有很大的潜在应用价值，如高亮度蓝/绿光发光二极管和激光二极管，而且利用共振隧穿可大幅度提高光子器件和电子器件的工作速度和效率，这使得异质结构中量子隧穿问题成为物理学界关注的热点之一.研究共振隧穿现象的基本问题之一，是计算电子穿越势垒的透射系数。
Messiah曾于1961年给出了一种计算电子穿越任意势垒之透射系数的WKB方法，但此方法用于突变势情形，结果不够理想，且不能解释Chang，Esaki和Tsu关于半导体异质结构中电子的共振隧穿。随后，Chandra等人对于平面掺杂三角势，通过解薛定谔方程，得到了透射系数的数值结果。之后，Ando等人采用多阶式近似和改进的转移矩阵法讨论了电子穿越任意势的共振隧穿性质，但此方法不易求得波函数。班士良等人曾将求解任意势中波函数与转移矩阵相结合，给出计算电子穿越任意势的透射系数、反射系数及波函数之较为简单的数值计算方法。
基于上述的研究，考虑静压和晶格失配，运用求解任意势中波函数与转移矩阵相结合的方法，计算出了流体静压下应变ZnCdSe/ZnSe双势垒电子隧穿的波函数和透射系数，并通过仿真模拟，得到了静压对电子隧穿的影响。
2 理论模型与计算
考虑电子在双势垒一维势的x方向的运动，将双垒异质结分成三个区域，在1区（x
ψ1 x =A1eik1x+B1eik1x （1）
ψ2 x =A2f x +B2g x （2）
ψ3 x =A3eik3x+B3e-ik3x （3）
考虑到波函数ψi（x）（i=1，2，3）及其一阶导数在边界处的连续性，根据反射系数R和透射系数T的定义
R=（t21/t11）2 T=（1/t11）2（k3/k1）
又因为R+T=1，波函数的系数满足以下关系：
A1B1 =
eik1a e-ik1a
ik1eik1a -ik1e-ik2a -1
f a g a
m1 a m2 a f′ a m1 a m2 a g′ a A2B2 =
a11 a12a21 a22
A2B2 （4）
因为区域3中没有反射波的存在，所以B3=0，则各区域中电子的非归一化波函数可写为：
Ψ1 A1 =eik1x+ t21 t11 e-ik1x （5）
Ψ2 A1 = 1 a11a22-a21a12 a22-a12 t21 t11 f x + t21 t11 a11-a21 g x （6）
Ψ3 A1 = 1 t11 eik3x （7）
将区域2分成j个子区域，则会有j+1个节点，每个子区域的宽度h=（b-a）/j，公式2中的f（x）和g（x）均记为y，则满足：
- h-2 2 d dx 1 m2 x dy dx +V x y=- h-2 2 dz dx +V x y=Ey （8）
由上式可以得到：
z′= dz dx =- 2 h-2 E-V x y=F x，y x （9）
dy dx =m x z x =G x，z x （10）
利用Rung-Kutts（RK）數值解法求得波函数f（x）和g（x）在x=a b 点的平面波初始解为
f1eik2 a a，f'1=ik2 a eik2 a a，g1=e-ik2 a a，g'1=-ik2 a eik2 a a （11）
k2 a = 2m2（a）（E-V（a）） /h-
由此可得到波函数f（x）和g（x）。
在压力下，材料的晶格常数用默纳汉公式来表示，而三元混晶ZnCdSe在ZnSe界面还有晶格失配的影响，即双轴应变影响。计算80k下ZnSe和ZnCdSe的禁带宽度Eg：
Eg（T1）-Eg（T2） T1-T2 = dE dT （12）
Eg=Eg0+ acvΔV V -δEs（P） （13）
Eg（ZnCdSe）=（1-x）Eg（ZnSe）+xEg（CdSe）-bx（1-x） （14）
式中，δEs（P）=b 1+ 2C12 C11 ε（b）xx.acv是禁帶宽度的形变势，b是切形变势常量。
根据公式，可得电子的势垒高度Ve：
Ve=0.70 Eg ZnSe -Eg ZnCdSe （15）
根据文献[8]，得到电子有效质量：
m0 m*e Ee =1+ Ep 3 2 Eg+Ee + 1 Eg+Ee+△0 （16）
式中，Ep是Kane势关联矩阵元所表示的质量，Δ0是自旋轨道分裂能量，依据上式，通过数值计算可以得到在温度80K下ZnSe和ZnCdSe的电子有效质量。
3 数值计算结果
通过数值模拟计算，得到了透射系数随电子能量变化的关系图，如图1所示，图中波峰表明共振隧穿的位置。
由图1可知，没有静压时，在能量从0～0.12eV的变化范围内，共有3个共振峰，数值结果表明，共振峰所对应的能量值分别是E01=0.01355800eV，E02 =0.0529720eV，E03=0.1154920eV，分别对应于电子的基态、第一激发态、第二激发态。从图2可以看出，在加了静压的时候，能量从0～0.12eV的变化范围内，共有2个共振峰，分别对应于能量E01=0.0154000eV，E02=0.0592000eV，由其对应的波形图可以看出它们分别表示电子的基态和第一激发态的能量。从图3可以看出，我们假设静压下电子的有效质量是个固定值，在能量从0～0.12eV的变化范围内，共有3个共振峰，数值结果表明，共振峰所对应的能量值分别是E01=0.01355800eV，E02=0.0529720eV，E03=0.1154920eV，分别对应于电子的基态、第一激发态和第二激发态的能量。
通过对比图1和图2可知，对于有静压存在的双势垒结构，使得共振峰向高能区移动，且共振峰的尖锐程度也有所变化。在图2中，对应于能量 E03的共振峰已经移到了高能区，在这里由于阱宽度的选择而没有显示;第一激发态与第二激发态的能量区间范围内透射系数增大，说明电子在此能量范围内的透射几率增加。由图1和图3比较可知，共振峰的个数没有变化，且两图中共振峰所对应的能量值是相等的，即共振峰没有移动。由此可得，共振峰向高能区移动是由电子有效质量减小引起的。我们将波函数写为：
Ψn/A1=Ψ1/A1+Ψ2/A1+Ψ3/A1=Ψnr+iΨni
（下角标r表示实部，i表示虚部）电子在空间范围内出现的概率写为 Ψn/A1 2（n=0，1分别代表基态、第一激发态），分别给出波形和几率图：
图4和图5分别给出无或有静压时电子的基态波形图。图6为假设静压下电子有效质量是固定值的电子基态波形图。图4～6中，实线1代表基态电子出现的几率，虚线2、3分别对应于电子基态波函数的实、虚部波形图，图7和图8分别为无、有静压时电子第一激发态波形图。图9为假设静压下电子有效质量是固定值的电子第一激发态波形图。图7～9中，实线1代表第一激发态电子出现的几率，虚线2、3分别对应于电子第一激发态波函数的实、虚波形图。
由图4～9可知，有无静压，波函数在-30-130A之间都呈现良好的对称性，它也表明对称性以及边界匹配性影响波函数，波函数随着能量而变化。 通过图5与图6、图8与图9的对比可知，波函数虚部波形图有明显的变化，说明电子有效质量变化引起波函数虚部的变化。目前结果表明，对于波函数的几率不仅实部对其有贡献，而且虚部也起着非常重要的作用。这种有趣的量子力学效应有待进一步的讨论 。应该指出的是，本文采用的一维势可极易推广到三维情形。
4 结论
通过数值模拟得出以下结论：静压使得双势垒结构的共振峰向高能区移动，共振峰的尖锐程度变小。共振峰向高能区移动是由电子有效质量减小引起的。对称性以及边界匹配性影响波函数，波函数随着能量而变化，电子有效质量变化引起波函数虚部的变化。
参考文献
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