双曲线实际应用生活馆

张献锋

双曲线来自于生活，又服务于生活。利用双曲线方程可以解决生活中许多实际问题，本文举两例加以说明，供同学们赏析。

1.小李的手机在哪里

例1小李真是个小马虎，一不小心把手机丢了，这可是花了整整5400元买的手机呀，小李心急如焚，立即报告给了相距10am的两个派出所。而那位拾手机者同时使用了手机。A、B两个派出所的监听仪器听到手机发声的时间差为6s，且B处的声强是A处声强的4倍（设声速为am/s，声强与距离的平方成反比），试确定持手机者的位置。

解析：如图1，以A、B的中点0为原点，直线AB为x轴建立坐标系，则A、B的坐标分别为A（-5a，0）、B（5a，0）。由于A、B两派出所监听器听到手机发声的时间差为6s，知手机位置点P在双曲线

可知手机位置点P到AB中点的距离|OP|

为√65am，而∠POB的正切值是

所以只要锁定点P位置就能很快找到拾手机者。

评注：本问题利用坐标法将实际问题转化为数学问题，借助双曲线和圆使实际问题得到解决。想一想：双曲线和圆的方程是怎样建立起来的？是利用题目中哪些已知条件建立起来的？

2.如何搜救航天员

例2“神舟九号”飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全接出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心（记为A，B，C），A在B的正东方向，相距6km，C在B的北偏西30°方向，相距4km，P为航天员着陆点。某一時刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A地距P远，在此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号。已知该信号的传播速度为1km/s，求在A地发现P的方位角。

解析：由“A接收到P的求救信号的时间比其他两个救援中心早4s”能否得到|PB|与|PA|的差为定值？是否说明点P在以A、B为焦点的双曲线的一支，上？因为|PC|=|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上。又因为|PB|-|PA|=4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上。

以线段AB的中点O为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，如图2所示

则A（3，0），B（-3，0），C（-5，）。

所以双曲线方程为

BC的垂直平分线方程为

联立两方程解得

所以P（8，），kPA=tan∠PAx=√3，∠PAx=60°。

因此，P点在A点的北偏东30°方向。

评注：解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在的直线为x轴，以两定点为端点的线段的中点为坐标原点，然后根据双曲线的定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题。本题的解法主要运用了数形结合思想和函数方程思想。