随机共因失效条件下战时合成部队携行备件配置优化研究

王强， 贾希胜， 程中华， 冉悄然， 孙正

(1.陆军工程大学石家庄校区 装备指挥与管理系， 河北 石家庄 050003； 2.陆军军事交通学院， 天津 300161)

0 引言

在陆军部队转型建设向合成化发展的背景下，合成部队编配多种武器装备已具备独立执行任务的能力。合成部队在执行全域机动作战时，需携行备件实施伴随保障，而备件的配置将在很大程度上影响伴随保障的效果,与此同时合成部队的快速机动作战特点决定了其遂行保障任务的局限性。因此在运力有限条件下，制定出战时使系统保障能力最大的备件配置方案，对合成部队遂行保障时加快转变战斗力生成具有重要的现实意义。

目前对备件携行量的研究通常假设装备部件故障率或备件需求量为已知量，主要从系统级的角度进行分析，围绕战时装备的任务要求，通过建立规划约束方程评估优选出备件携行方案[1-3]，简化对战时装备的故障因素分析。实际合成部队在执行遂行任务时，装备的战场损伤不仅包括装备自身使用退化造成的非战斗损伤，还包括受敌打击产生的战斗损伤，具有较强的随机性和并发性，且往往以不同概率造成我方装备多部件同时损伤，属于典型的随机性共因失效事件[4]。

共因失效概念的提出，主要用于多部件装备系统的可靠性分析与评估，已取得了丰硕成果。许多学者对基于共因失效理论的多部件装备系统可靠性及维修保障进行了深入研究，已应用于电子[5-6]、机械[7-8]等工程领域。随着共因失效研究的不断深入，为军事领域中对战时装备群的可靠性分析提供了新的思路。相比于传统备件携行方案以装备单一故障因素分析，共因失效理论能够更加准确地描述战时装备集群的受击损伤，表征装备两种因素的竞争失效对装备可靠性的影响。在相关理论研究中，文献[9]针对执行多阶段任务的多部件装备系统，分析在共因失效情况下该装备系统任务成功概率的评估问题；文献[10]在竞争失效情况下，对多类型部件在不同维修策略下的备件供应进行了分析，但考虑的故障因素之间相互独立，没有考虑故障因素的相关性。综上所述，在运用共因失效理论时，大部分数学模型假设装备战损情况为理想状态，即受击故障与退化之间相互独立。而实际战场环境中，在分析装备系统的共因失效问题时，装备使用退化与受击故障之间的相关性通常容易被忽视。

本文结合战时装备群遂行作战任务的特点,考虑战时维修策略，对相关共因失效场合下的备件需求进行计算，建立多约束下的携行备件配置优化方程，并通过对合成部队的携行备件进行配置优化，验证模型的可行性。

1 问题描述与假设

战时合成部队在执行跨区机动作战任务时，装备群在机动过程中除自身使用故障外，还面临着敌方的纵深打击。装备在两种故障因素的共同作用下，需伴随保障分队携行部分备件，完成装备群的战场抢修，实现装备性能的快速恢复。为简化合成部队战时保障过程,本文限定研究对象为遂行作战任务的合成部队装备群，在实施全域机动前，对携行备件进行合理规划。首先考虑装备群受敌方火力打击这一典型共因失效事件，根据战时维修策略对任务阶段的备件需求量进行测算；其次考虑各携行备件的重要程度和约束条件，以备件的保障概率为目标建立备件配置优化方程；最后利用改进的边际效应法得出备件携行配置方案。战时遂行作战环境复杂，合成部队多型号装备群因受击造成的战斗损伤随机性强，装备故障因素之间具有相关性。为了便于针对备件配置的分析研究，作如下假设：

1)战时装备故障原因主要是受击造成的极端冲击失效与自然退化失效，此外装备受击造成的非极端冲击会使装备的退化故障率呈几何过程增加[11]。

2)装备遭敌打击过程为泊松过程，装备自然使用时的故障时间服从指数分布。

3)装备在受击后会造成多部件同时损伤，且各部件造成极端冲击失效的概率不同。

4)若装备发生退化失效则先进行原件修理。考虑到战时部队级的维修能力有限，假设原件维修以一定概率使故障部件修复如新，若不能修复如新，则对故障部件实施换件修理；若装备发生极端冲击失效时，则直接实施换件修理。战时装备系统维修保障的具体流程，如图1所示。

5)合成部队具有多型号装备，不同型号装备对任务的重要程度不同。在携行量有限时，应优先携带重要程度高的装备备件；对于同一型号装备，假设其关键功能备件为串联结构。

6)战时装备系统的保障能力用装备系统的备件保障概率来衡量。

7)故障部件的维修和更换时间忽略不计。

8)任务期间携行备件在存储过程中不发生退化失效。

2 考虑随机共因失效条件下战时合成部队携行备件需求计算

2.1 考虑随机共因失效条件下单装备单部件系统的备件需求计算

随机共因失效过程实质上是多部件系统在同一外部冲击诱因作用下，多个部件同时发生竞争失效的事件。因此，本文首先利用单部件系统的故障率，得出任务期间单装备单部件系统的备件需求量，然后进一步计算分析战时合成部队多型号装备群的备件需求。

首先分析非极端冲击对装备系统的影响。装备系统在每次非极端冲击后性能加速退化，直到部件寿命到达使用阈值时装备系统发生失效。如图2所示，装备系统的初始故障率为λ(t=0)，当第k次非极端冲击发生后，系统的故障率增加至λ(tk)=αk-1λ(t=0),(α>1;k=1,2，…)。

其次分析战时装备系统发生共因失效的过程。如图3所示，设tk为发生第k次冲击的时间，τk为第k次冲击与第k-1次冲击之间的间隔时间。部件故障后，以p″的概率使部件修复如新，不能修复如新的概率为1-p″. 由假设4可知，此时装备部件需进行换件修理，部件的故障率变为初始值λ.

在任务时间t内发生故障的数量由两部分组成：一方面是由极端冲击故障后不能原件修复造成的备件需求，另一方面是由于装备使用退化故障后不能原件修复造成备件需求。

首先分析单部件装备系统在极小时间段τ内部件故障的情况。由泊松分布性质可知[14]，在极小的时间段τ内仅可能发生一次冲击，则装备部件发生故障的概率计算如下：

1)在τ时间内，装备系统因使用退化发生故障的概率为

(1)

2)在τ时间内，装备系统受到极端冲击后发生故障的概率为

(2)

部件故障后，以概率p″进行原件修复，否则故障部件必须进行换件修理，即可得出时间τ内，单部件系统需要的备件数量为

d(τ)=P1·1(1-p″)+P2·1.

(3)

由于装备部件的自然退化与遭敌打击过程均为随机事件过程，解析法无法进行求解验证。因此，本文采用蒙特卡洛仿真计算方法，在任务时间t内，得出单部件系统的备件总需求量D(t).

2.2 考虑随机共因失效条件下多型号装备多部件系统的备件需求计算

战时合成部队执行作战任务时，需要多型号装备配合实施。因此，当敌方对我方部队进行火力攻击时，可能造成我方不同型号装备多部件同时受到打击损伤。根据不同装备部件的性能，受到打击后造成极端冲击失效的概率也不同。因此，本节考虑随机共因失效条件下，多型号装备多部件系统的备件需求量计算。

1)在τ时间内，第i种型号装备的多部件系统因使用退化发生故障的概率为

(4)

2)在τ时间内，第i种型号装备的多部件系统受到极端冲击后发生故障的概率为

(5)

(6)

同理，利用蒙特卡洛仿真计算方法，可计算出任务时间t内，第i种装备多部件系统的备件总需求量Di(t).

3 有限运输能力下的战时备件配置模型的建立

3.1 目标函数

战时对合成部队装备保障方案优劣的判断主要依据备件的保障概率来衡量。目前文献使用较多的是指“在规定的时间内，装备备件的需求能够被满足的概率[15]”。由此可知，备件的保障概率与备件需求量、维修能力和可用备件数量有关，其值的大小体现了现有保障能够满足装备需求的能力。对于合成部队多型号装备群执行作战任务时，分析其中每一个单装备系统，其关键部件一般可看成串联结构，具有相同的重要程度，则合成部队具有多型号装备，其关键功能部件的分析如图4所示。综上所述可知，第i种型号装备的备件保障概率计算公式为

(7)

式中：sij为第i种型号装备上第j种备件的实际供应量；dij为第i种型号装备上第j种备件的实际需求量；qi为第i种型号装备数量。

此外，合成部队具有多型号装备，各装备对完成任务的重要程度具有差异性，应优先保障重要装备的战斗力恢复。因此，对于多型号装备备件的保障概率为

(8)

式中：αi为不同型号装备重要程度的权重值，利用层次分析法可知，不同型号装备的重要程度权重满足

α1+α2+…+αi+…+αN=1.

(9)

3.2 约束条件

战时合成部队实施全域机动作战时，其携行运输保障有限，应考虑到携行保障在空间和重量受限的实际，合理制定备件携行方案，提高合成部队整体的机动能力。

伴随保障携行备件总的质量必须在给定的运输总质量范围内，即

(10)

式中：wij为第i种型号装备第j种备件的质量；W为允许携行的备件总质量。

伴随保障携行备件所占用总的空间必须在给定的运输空间范围内，即

(11)

式中：vij为第i种型号装备第j种备件的体积；V为允许携行的备件总体积。

伴随保障携行备件总的费用必须在给定的总费用范围内，即

(12)

式中：cij为第i种型号装备上第j种备件的成本；C为允许携行备件总的费用。

由以上分析可知，战时合成部队的携行备件优化模型就是确定不同型号装备的备件数量方案，在任务时间t内，满足总体积和总质量的限制条件下，使携行备件的保障概率最大。

(13)

式中：D为备件需求数量。

3.3 携行备件配置模型的求解

战时合成部队备件携行方案的目标函数是使保障分队携行备件的保障概率最大，为战时提供最大的装备保障能力。对携行备件配置优化过程主要分为2个阶段，首先采用蒙特卡洛方法产生随机事件,对随机共因失效条件下的装备备件供应任务过程进行仿真建模，得出任务时间阶段备件的总需求量，作为下一阶段携行方案评估优选的输入；然后利用边际效益法进行备件携行方案的配置优选。

对于约束方程(13)式最优值的求解方法，最常见的是边际效应法，属于典型的贪婪算法，每次计算比较得出投入单位产品所带来的最大收益方案。边际效应法的实质是效费比分析，本文中的目标函数为合成部队多型号装备备件的保障概率，属于系统的收益，而约束方程是备件携行需满足空间、质量和费用的限制，则属于系统的成本。合成部队携行备件配置方案受到携行空间、携行质量和备件费用3个约束，而边际效应法的输入值边际增量只能为1个变量，必须先将多个变量转化为1个约束变量后，才能继续使用边际效应法。文献[16]是利用权重赋值法，将约束的相关权重进行加权赋值，使多个约束变量变为1个约束变量；但是权重值的不同取值会导致得出不同的最优配置方案，且由专家主观进行权重赋值，难免与真实值造成偏差，当约束较多时，其偏差会进一步凸显。因此，本文备件携行优化的主要思想是利用拉格朗日乘子法，将影响备件携行配置的3个因素转换为备件保障因子，再利用边际效应法求出携行备件的最优配置方案。战时装备系统的备件配置仿真流程如图5所示。图5中，T为任务时间，tc为发生共因失效的时间，td为发生突发失效的时间，Sp(j)为第j种备件的数量。具体求解步骤如下：

步骤1利用拉格朗日乘子，将携行备件体积、质量、费用统一转化为备件保障约束，即

Zij=λvvij+λwwij+λccij,

(14)

式中：Zij为备件sij的备件保障约束；λv为备件sij的体积因子；λw为备件sij的质量因子；λc为备件sij的费用因子。

步骤2将(8)式改写为以下形式：

(15)

步骤3由于(15)式中单装备备件的保障概率psij(Zij)(i=1,2,…,N)不是关于备件数量的凸函数，不能直接使用边际效益法，需对(15)式两边取对数，得到：

(16)

步骤4对携行备件的保障概率进行1阶差分计算，可得：

步骤5选择ζ作为边际效应因子，根据边际效益法原理进行计算。对于第N种型号装备的第M个备件进行边际分析，有

(17)

通过(17)式计算所有追加单位备件的边际效应因子，挑选出备件保障概率增长最大的方案。确定备件的种类，并将该备件数量增加1个单位,其他备件数量保持不变，进行下一轮的边际效应因子比较分析。重复步骤5进行循环迭代计算，直至备件不再满足约束时停止迭代,此时得出满足任务要求下的最优备件携行方案为

(18)

此时，有W*≤W，V*≤V，C*≤C.

步骤6在利用边际效应法求解之前，必须确定备件保障约束Zij中各个约束因子的权重值，即确定λv、λw和λc的值。选定其中一个约束因子设为1，其余设为0，利用(14)式求出备件保障约束。以初始时考虑备件体积为例，则令λv=1,λw=0,λc=0，则有qij=1×vij+0×wij+0×cij.

步骤7利用边际效应法求出此时的最优备件携行方案为

(19)

步骤8计算该方案下的备件体积、备件质量和备件的总费用，记为V(S0)、W(S0)和C(S0)，并计算出初始因子λw、λc和备件保障约束因子Zij，即

(20)

将(20)式中的初始约束因子代入(17)式，利用边际效益法进行迭代寻优。由于合成部队具有多型号装备，且各个型号装备对于系统保障能力的重要程度不同，应优先保障对系统保障能力影响较大的装备备件。对于同一装备，各关键部件之间为串联结构，缺少任何一个备件种类，会使装备保障概率为0.针对此特点，可令备件配置方案中各初始备件的数量均为1.

步骤9由步骤7计算所得到的初始方案中，若体积约束或质量约束超过设定指标，则需要增大因子的值、形成惩罚因子，其具体计算方法如下：

(21)

接步骤6，初始时仅考虑体积，得出初始方案中若质量约束超出指标，则利用(21)式增加质量约束的惩罚因子，计算得出新的保障约束为

Cij=vij+(Δλw+λw)wij+(Δλc+λc)cij.

(22)

再利用边际效益法进行寻优，每次得出方案后，根据其质量和体积值，利用(20)式或(21)式计算保障约束，进入下一次迭代寻优，直至得出符合条件的最优方案。

4 实例分析

以某旅作战演习为例，该旅直属合成营接上级通知，需在任务时间t内，进行全员全装机动至某地域执行作战任务，为保障该营装备的战备完好性，需在运输限制条件下合理规划携行部件，使合成营的备件保障概率最大。已知合成营3种型号装备及其关键部件如图6所示，其相关参数见表1. 部队在机动途中遭敌打击的随机共因失效事件服从泊松分布，以第1节中所描述的相关故障和维修策略为研究背景，对合成营的携行备件进行配置优化。

表1 装备的相关参数

为了说明边际效益法与传统的优化配置方法的优劣，将以下6种方案进行对比分析，其具体数据详见表2.

方案1:初始时考虑体积约束求出初始配置方案，再通过判断保障约束加入惩罚因子，利用边际效益法求出最优方案。

方案2：初始时考虑质量约束求出初始配置方案，再通过判断保障约束加入惩罚因子，利用边际效益法求出最优方案。

方案3：仅考虑体积约束时，得出备件配置方案。

方案4：仅考虑质量约束时，得出备件配置方案。

方案5：将体积约束、质量约束和费用约束进行标准化处理，再对3类约束进行权重赋值，根据指挥员的偏好，权重赋值为：qw=0.3,qv=0.6,qc=0.1，利用边际效益法直接求出最优方案。

方案6：将体积约束、质量约束和费用约束进行标准化处理，再对3类约束进行权重赋值，相比方案5，将其相应权重赋值为：qw=0.5,qv=0.4,qc=0.1，利用边际效益法直接求出最优方案。

表2 各配置方案比较

由方案1与方案2可知，利用拉格朗日乘子法得出的配置方案均满足携行约束。二者在初始时选择的约束不同，但最终求得的配置方案是相同的。因此，拉格朗日乘子法对初始时的约束选择，对配置方案的确定没有影响。

由方案3与方案4可知，当仅考虑单一约束进行求解时，求出的方案中，其他约束不满足限定条件。但方案制定者依据最优备件的保障概率曲线，在合成部队执行任务前，可以根据决策者的偏好以及相应约束限制，制定最优备件携带种类和数量。例如，以图7中点(359.9 kg，0.8 kg)为例进行说明，当任务要求备件的保障概率须达到80%时，所有备件质量之和最小为359.9 kg，因此，设定的质量最小指标值必须达到359.9 kg，当给定的质量指标小于该值时，相应地，应该通过适当降低备件的保障概率来达到满足约束条件上限要求，同理可根据体积与备件的保障概率的关系(见图8)，合理制定备件携行方案。

由方案5与方案6可知，利用传统的线性加权法求解多约束优化问题时，由于各个因素的赋值权重不同，导致最终配置方案也不同，各个因素的权重值由装备指挥员的偏好进行判断，其主观的干预性对配置方案的影响较大。

5 结论

本文考虑战时合成部队遂行任务在执行任务过程中会遭敌打击后发生故障这一复杂情况,针对共因失效条件下的备件携行配置优化问题，分析了装备两种故障因素的相关性，建立了共因失效条件下的备件需求模型。以备件的保障概率为目标，建立了多约束条件下的备件配置优化方程，采用拉格朗日因子法求解出最优方案。以某合成部队遂行任务为例进行了验证,为战时备件携行配置优化研究提供了理论支撑。模型中，备件的故障分布和随机共因失效的时刻可以服从于任意分布。

下一步可从以下两点对战时备件保障进行深入研究：一是多种维修策略下的备件保障问题；二是维修时间约束下的备件保障问题。这也是下一步的重点研究内容。