从行程问题解题思路看方程的应用

荀 峰

行程问题千变万化，究其本质无非是三个关系：时间关系、速度关系和路程关系。通常情况下，三个关系不可能有两个关系已知，这样编出来的题目不需要列方程就能解决；也不可能三个关系都是相等关系，这样编出来的问题又太复杂；最常见的考法是其中一个量是已知数据，另两量以相等关系的形式给出。把握住这几点之后，不管题目多么复杂，问题都可以迎刃而解。

一、速度已知

例1 A、B两地相距33千米，甲从A地步行到B地，2小时后乙开始骑自行车也从A地去B地。已知甲每小时行3千米，乙每小时行12千米，乙到达B地后立即返回，问乙出发后经过几小时，在返回的途中与甲相遇？

【分析】这个问题研究的是甲、乙两人的速度、时间、路程之间的关系，这些关系可列表如下：

乙速度时间路程甲 3 12 t甲-t乙=2 S甲+S乙=33×2

可以发现，时间关系和路程关系是等量关系，可根据其中一个设未知数，根据另一个列出方程。

思路1：根据时间关系设未知数。

解：设乙一共骑行了x小时，那么甲一共步行了（x+2）小时。

根据路程关系，得 3（x+2）+12x=66。

解得：x=4。

答：乙出发后经过4小时，在返回的途中与甲相遇。

思路2：根据路程关系设未知数。

解：设乙一共骑行了x千米，那么甲一共步行了（66-x）千米。

解得：x=48。

48÷12=4（小时）。

答：乙出发后经过4小时，在返回的途中与甲相遇。

【评析】当速度已知，时间和路程是相等关系的时候，不管根据哪个相等关系来设未知数，最终得出的都是一元一次方程。

二、路程已知

例2 小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家。她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米。小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟。求小丽所乘汽车返回时的平均速度。

【分析】这是一个行程问题。行程问题无非是速度关系、时间关系、路程关系三种。这三个关系中，有两个关系是以相等关系的形式给出，路程关系是以具体数据的形式给出的，如下表。

45去时v去时＝1.2×v返回t去时＝t返回+返回时速度（千米/时）时间（小时）路程（千米）1 3 84

解决这个问题，可以根据其中一个相等关系设出未知数，再根据另一个相等关系列出方程，因此本题就有两种途径解决问题。

思路1：（根据速度关系设未知数）设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/时，根据题意得：

解这个方程，得x=75。

经检验，x=75是原方程的解。

答：小丽所乘汽车返回时的速度是75千米/时。

思路2：（根据时间关系设未知数）设返程所需时间为x小时，则去时所需时间为（x+）小时。根据题意得：

这类题型的特征是路程已知，速度和时间以相等关系的形式给出，我们可以根据速度关系来设未知数，根据时间关系来列方程；或根据时间关系来设未知数，根据速度关系来列方程。由于路程=速度×时间，因此这种类型列出的方程一般是分式方程。

列分式方程解应用题的方法步骤与列一元一次方程解应用题的方法步骤基本相同，即：设、列、解、检验、答，其关键仍然是寻找相等关系。要注意的是解分式方程的应用题，检验这一步一定要写上。

综上所述，列方程解行程问题无非是解决速度、时间、路程三者之间的关系，由于“路程=速度×时间”，因此当速度或时间已知的时候，所列方程为整式方程。当路程已知，速度和时间以相等关系的形式给出时，列出的方程都是分式方程，所以解决行程问题的时候，遇到难题心中不要慌，仔细找出速度关系、时间关系或路程关系，问题便会迎刃而解。

由于一般情况下应用题都是给出两个相等关系，可以根据其中一个相等关系来设未知数，根据另一个相等关系来列方程，所以一般应用题都有两种解法，其中一种是直接设，另一是间接设，我们可以根据具体问题选择合适的未知数的设法。

列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的不同之处，一是所列方程为分式方程，二是检验时除了要检查这个根是否有意义，还要检查这个根是否是增根。