如何在几何定理的证明教学中培养数学语言能力

蔡春桃

摘要：几何定理最初都是由数学化的文字语言叙述的，怎样把文字语言转化为图形语言和符号语言进行证明，能体现学生的数学语言能力，也会影响学生的逻辑思维。在教学中我们应当教会学生文字命题证明的步骤，并且通过一些精选的相关练习，鼓励学生多思，多讲，多写，训练他们的口头表达能力和规范他们的书写，给他们提供自主探究，合作交流的舞台，训练他们的数学语言能力。

关键词：几何定理;证明步骤;数学语言能力;规范表达

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2019）02-0011

弗赖登塔尔说过，“数学的学习就是通过数学语言，用它特定的词汇、句法去交流和认识世界”，发展学生的数学语言能力有助于培养学生的数学核心素养。数学语言简洁、抽象、概括、直观，它们一般具有如下几个特点：文字、符号、图形三位一体;精练、准确、简洁、可变;直观语言与抽象语言互相转化。数学语言是教师“传道、授业、解惑”的最直接的工具，所以在教学过程中，教师应注意正确使用数学语言，做好引导和示范，培养学生的数学几何语言能力。

下面笔者以线段垂直平分线性质的逆定理即线段垂直平分线的判定教学为例，阐述如何在几何定理的教学中培养学生的数学语言能力。

一、提出定理，引导学生找出定理中的题设和结论，鼓励学生大胆表达自己的想法

线段垂直平分线的判定是在学习了性质后提出的，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，那么与线段两个端点距离相等的点是否在这条线段的垂直平分线上呢？

提出命题：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

引导学生把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，找出题设和结论，通过文字语言提炼题设和结论是数学文字证明题的关键，也是学生能否解决问题的前提。

课堂上学生举手发言，如学生甲说：“如果与线段两个端点距离相等的点，那么点在这条线段的垂直平分线上。”如学生乙说：“如果与线段两个端点距离相等，那么点在这条线段的垂直平分线上。”其实大部分学生都能说出大概意思，但是对于文字语言表达来说不够清晰明了，也不够严谨，这时教师应当引导，规范表示，这个命题可以写成：“如果一个点与线段两个端点的距离相等，那么這个点在这条线段的垂直平分线上。”命题题设是一个点与线段两个端点的距离相等，结论是这个点在这条线段的垂直平分线上。

二、文字语言转化为图形语言和符号语言，引导学生画出图形，写出已知，求证

通过上述文字语言的转化引导学生发现组成题设的元素是一条已知线段，还有一个点与线段两个端点构成的另外两条线段，画出图形，写出已知，求证。

已知：线段AB，如图，若PA=PB

求证：点P在AB的垂直平分线上

让学生积极展示根据命题画出来的几何图形，大部分学生受教材影响，会画出图1，但也有个别学生数学思维比较活跃，考虑问题比较全面，画出了图1和图2这两种情况，即点P在线段外和点P在线段上。若学生没有想到有两种情况，教师则应当予以引导，仅仅针对这个命题的文字语言叙述，应当分两种情况讨论。

三、通过证明定理，自主探究，合作交流，拓展学生的数学思维，提高他们的数学语言能力

数学语言是数学思维的载体，数学学习实质上是数学思维活动，交流是思维活动中重要的环节。因此《新课程标准》指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要形式。”联合国教科文组织将有效的数学交流作为学习数学的目标之一，实现有效交流的前提是学习和掌握数学语言。

此命题文字语言转化为图形语言和符号语言后学生进行证明，两种情况中图2即点P在线段AB上的证明可依据线段垂直平分线的定义，比较简单，在课堂上可让学生通过口述来完成。对于点P在线段AB外的情况则由学生自主探究，合作交流来完成。这个证明不简单，首先要证明点在垂直平分线上，而垂直平分线在命题中并没有出现，此时要引导学生构造垂直平分线，这是一个难点，因为有部分学生会直接作出AB的垂直平分线，然后就不知如何证明点P在垂直平分线上。此时学生需要通过老师的提示和引导，合作探究后给出了两种证明方法，并进行全班展示，然后教师要规范数学语言的表达。

证明方法一：如图3，过点P作PC⊥AB交AB于点C

∴∠PCA=∠PCB=90°

∵PA=PB，PC=PC

∴Rt△PCA≌Rt△PCB

∴AC=BC

∴PC垂直平分AB

∴点P在AB的垂直平分线上

证明方法二：如图4，找线段AB的中点C，连接PC并两边延长

∵点C为AB的中点

∴AC=BC

∵PA=PB，PC=PC

∴△PCA≌△PCB  ∴∠PCA=∠PCB

∵∠PCA+∠PCB=180°

∴∠PCA=∠PCB=90°  ∴PC⊥AB ∴PC垂直平分AB

∴点P在AB的垂直平分线上

四、精选定理相关练习，加强训练，提供数学语言交流舞台，培养学生运用数学语言的能力

在经历了定理的证明后，学生在数学语言能力上已经有一定的提高，此时我们需要精选相关的练习，通过习题训练，为学生提供加强数学语言训练的舞台，拓展数学思维，学会学以致用，加强对定理的理解和应用。练习的设计一定要有针对性，并且要有一定的梯度，贵精不贵多，让学生能根据题目的数学语言进行分析判断，体会数学语言的严谨性，在应用的时候就会更加规范。

伽利略曾说过世界是一本以数学语言写成的书， 数学语言是数学知识的载体，也是数学思维的工具，数学语言能力的提高有助于数学学习水平的提高。几何定理最初都是由数学化的文字语言叙述的，怎样把文字语言转化为图形语言和符号语言进行证明，会直接影响学生的掌握情况，因为我们要让学生知其然，还要知其所以然。几何定理学习后的强化练习一定要有针对性，要有梯度，符合学生学习的规律，这样才能更好地锻炼学生的数学思维，训练他们的数学语言能力。

参考文献：

[1] 马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015（9）.

[2] 李  杰.初中数学课例研究与典型课评析[M].福建教育出版社.2016（3）.

（作者单位：广东省湛江一中培才学校   524038）