问题引领学生自主建构的实践思考

沙涓

[摘  要] 教师设计问题并引领学生自主建构的课堂教学模式能令学生对问题的感受、发现、探究更为自主和积极，教师应善于引导学生运用研究问题的一般化方法进行数学思考与探寻，使学生的理性思维获得更好的发展.

[关键词] 问题;自主建构;抽象;探究;归纳;反思;一般方法

笔者参加省高中青年教师数学优质课评比与观摩活动的主题是“函数y=Asin（ωx+φ）的图像”，六位教师精彩纷呈的课堂教学给笔者留下了深刻的印象，现就自己的感受做一定的思考与表达.

[?]培养抽象意识的感受

精彩片段一

课例A：投影展示某公园中转动着的摩天轮

师：大家能用数学的眼光来观察正在周而复始转动着的摩天轮吗？（引导学生运用数学的眼光看待世界的简洁提问）

生1：将其看成某个点的运动，运行的轨迹显然是个圆.

师：很好，将这个圆置于平面直角坐标系xOy中进行观察更为方便，我们将其圆心和坐标原点重合，使其如图所示，并设P0为圆O上的一个定点，∠P0Ox=φ，若动点P从P0开始沿圆O逆时针转动，角速度记作ω，那么在第t秒时，以x轴的非负半轴为角的始边、射线OP为终边的角为多少呢？

生2：ωt+φ.

师：很好！如果我们将圆O的半径记作A，那么动点P的纵坐标应为多少？

生3：y=Asin（ωx+φ）.

……

课例B：借助画图软件作出弹簧振子随时间变化而形成的运动曲线并进行投影

师：大家还记得物理中学过的简谐运动吗？老师投影展示的就是这一运动，位移s与时间t的关系为s=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0），其中A是振幅，T=是周期，f=是频率，ωt+φ是相位，φ是初相. 形如y=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0）的函数在物理与工程技术的实际问题中经常出现，那么我们又应该怎样对其进行研究呢？

……

评析：（1）《课程标准》要求教师结合具体实例落实教学并使学生了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义. 上述课例使学生在问题情境中建立函数模型并在直观上感受到了y=Asin（ωx+φ）的实际意义，学生的求知欲因此得到很好的激发. 课例A中，教师引导学生在问题串的探究中巧妙抽象出了函数y=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0）;课例B中，教师引导学生在物理现象的探索中进行了函数的抽象，实际问题“数学化”的能力、数学眼光看待世界的意识在两个教学案例中都得到了很好的渗透[1].

（2）课例A中的问题设计更为注重学生的主动参与和思考，这种体现学生主体地位的问题设计与建构主义教学理论是相当吻合的;课例B中的函数抽象过程是从物理学知识中直接获得的，学生思维被忽略的同时也更难以发展，事实上，当时的学生还没有学习到简谐运动这部分物理知识.

（3）课例B在抽象出函数s=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0）后，直接给出了振幅、周期、频率等名词解释，学生还未学习简谐运动这部分内容，这种设计对于学生来讲显然比较生硬.

[?]培养探究习惯的感受

精彩片段二

师：函数y=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0）已经抽象得出，我们又应该怎样对其进行研究呢？

生4：研究其性质.

师：如何着手？

生5：画图像.

师追问：如何画图？

生6：五点作图.

生7：借助计算机作图.

师：可还有补充？

（学生陷入再次思考中）

师：函数y=2x，y=2x-2，y=2x+2之间的关系是怎样研究的？

生8：图像变换.

师：大家以为哪一种作图方法最为合适呢？

生9：就像研究指数函数一样，描点作图，再进行图像变换，最后借助计算机进行作圖验证.

师：那么我们今天研究的函数，可以联想哪个函数来变换得出呢？

众生：y=sinx.

师：函数y=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0）有A，ω，φ三个参数，先研究哪个比较好呢？

生10：y=sin（x-φ）和y=sinx的关系.

师：很好，问题得以简单化了，请各小组分别进行研究吧.

（小组讨论3分钟后，教师组织学生投影、解释研究成果）

精彩片段三

师：我们运用五点作图法已经得到了函数图像，将函数y=sinx的图像向右平移1个单位就能得到函数y=sin（x-1）的图像，因此，将函数y=sinx的图像向左（φ<0）或向右（φ>0）平移φ个单位长度即可得到函数y=sin（x-φ）的图像. 这是从具体例子进行归纳而得的一般性结论. 五点变化的情况在这位同学的分析中得到了强调和重视，大家以为其他的点是否也存在这样的变化呢？大家可以补充？

生11：再多找几个点对其进行验证.

师：这样做就可以说明图像上所有点均存在这种变化吗？大家在以前的学习中是否遇到过这样的问题呢？

师（留1分钟的思考空间）：大家还记得怎样处理函数单调性定义中的“任意的两个值”吗？

生12：找代表！

师：怎样证明？

生12：设点P（t，sint）为函数y=sinx图像上任意一点，向右平移1个单位后得点P′（t+1，sint），经验证可知，点P′在函数y=sin（x-1）的图像上，因此是向右平移1个单位.

师：大家的猜想在点P（t，sint）的任意性上得到了验证，对其描述是否能够更加规范呢？

生12：函数y=sin（x-1）的图像是由函数y=sinx的图像上的所有点向右平移1个单位而获得的.

师：太好了！

评析：（1）《课程标准》要求教师在教学中应落实各种形式的自主学习与探究活动，使学生能够在体验数学发现与创造的过程中获得合作交流意识、创新探究意识的发展，本片段的设计与《课程标准》的要求是吻合的.

（2）教师所设计的探究活动能够基于学生已有知识，不仅如此，逐步设疑、诱导、解疑的过程令学生亲身经历了无法由他人代替的学习探究过程. 美中不足的是学生对研究y=sin（x-φ）与y=sinx之间关系的根源不甚明了. 因此，笔者以为，教师如果对研究两者关系的原因进行追问，必然能够取得更好的教学效果.

（3）师生共同经历了观察、猜想、验证、归纳与总结这一数学探究过程，学生在研究问题的过程中也获得了复杂—简单—复杂、一般—特殊—一般的一般性研究方法.

（4）教师在学生困惑之时所做出的启发与引导激发了学生的学习热情，学生思考问题、解决问题的能力在解决问题的过程中获得了很好的锻炼与发展.

（5）本次探究经历了理解问题、拟定计划、执行方案、回顾反思这四个阶段. 教师设计的实际问题引导学生在问题的逐步思考与探究中明确了本课研究的重点，确立了作图计划并突破了课堂重难点，使学生在分别研究y=sin（x+φ），y=Asinx，y=sinωx的经历中归纳出了一般的结论. 最后引导学生做出的回顾反思则更好地加深了学生的理性思考，使学生能够在从“形”到“数”的理解与突破中更好地理解图像变换的本质[2].

[?]培养回归理念的感受

1. 回归问题本质

利用五点作图法或几何画板进行函数研究

通过五点作图法或几何画板作出函数y=sin（x-1）与函数y=sinx的图像并引导学生对其关系进行观察，能使学生明白图像变换的本质并获得理性思考能力的提升. 从“形”的角度观察两个函数的图像关系并过渡到“数”的角度的理性归纳，是符合学生思维发展的设计，教师若趁机将结论进行拓展，引导学生思考函数y=f（x-a）与函数y=f（x）图像之间的关系，就能更好地引导学生体会数形结合的思想并理解数学学科的本质.

2. 回归问题情境

引导学生了解函数y=Asin（ω+φ）在现实生活、物理学中的广泛应用是课题开始之时的情境，使学生理解函数y=Asin（ω+φ）的知识可以对弹簧振子、单摆等现实现象进行分析与理解. 除此以外，适时解释振幅、周期、频率等概念也使学生更好地理解了数学源于生活又服务于生活的理念.

[?]结束语

教师设计问题并引领学生自主建构的课堂教学模式能令学生对问题的感受、发现、探究更为自主和积极，教师精心设计的表达、探究与讨论机会帮助学生更好地实现了知识的自主建构，学生在亲身经历知识的发展过程中也获得了知识、技能与情感的发展. 知识呈现与学生自主建构知识这两条明暗交织的探究活动主线，将复杂—简单—复杂、一般—特殊—一般的一般性研究方法很好地进行了渗透，“授之以渔”的教学与数学思想渗透令学生的终身发展得到了基础性的建设[3].

人们意想不到的很多地方均隐藏着奇妙的数学联系，对其进行科学而认真的思考便能更好地探寻与揭示隐藏的规律. 教师应善于引导学生运用研究问题的一般化方法进行数学思考与探尋，使学生的理性思维获得更好的发展.

参考文献：

[1]  林俊伟.数学课堂中的问题设置[J]. 中国数学教育，2011（z1）：35-36.

[2]  曾小豆. 对“用尝试检验法解方程”教学的一次改进[J]. 中学数学教学参考，2014，（z1）：58-61.

[3]  罗琳. 合理“预设”激活“生成”——两个教学案例给予的启示[J]. 中国数学教育，2013（17）：18-20.