牛顿环实验真实暗纹级数的研究

张博涵

(石家庄第一中学 河北 石家庄 050031)

1 引言

牛顿环的等厚干涉实验是大学物理实验中最为广泛、最为普遍的一个实验.基本方法是通过读数显微镜对牛顿环的干涉条纹进行测量，进而计算出平凸镜的曲率半径.为了提高其曲率半径的测量精度，科研人员从各方面都进行了详细的研究.曹佳妍等人运用误差分析了测量暗环的最佳级数[1]；徐少刚、谭亮等人探讨了软件在数值处理中的作用[2,3].周勇、宋淑珍等人重点分析了牛顿环中心圆斑大小对测量结果的影响[4,5].

在压力的作用下，平凸镜在接触面附近发生了不可避免的弹性形变，使得暗斑“吞噬”了若干条明暗圆环，因此，实验只能精确测出暗环的直径，却不能确定暗纹的真实级数.所以，既然暗斑不可避免，我们将注意力转移到如何能够确定暗环的真实级数，进而提高计算曲率半径的精度.同时，确定真实暗纹级数对于牛顿环在测量薄膜、玻璃弹性模量、液体折射率等方面具有积极意义.

2 原理与公式

牛顿环装置如图1(a)所示，平凸镜的曲率半径为R，离接触点O任一距离r处的空气薄膜厚度为e.考虑到光疏到光密的半波损失，故在薄膜上下表面反射的两束光的光程差为

图1 牛顿环仪的光路图及干涉条纹

根据干涉条件，当光程差为半波长的奇数倍时，有

(1)

则干涉结果光强极小，形成暗纹.

由几何关系可知

R2=(R-e)2+r2=R2-2Re+e2+r2

(2)

略去二阶无穷小量e2，则得到任一暗环的半径为

(3)

特别指出,不忽略二阶无穷小量e2时，

(4)

本文将按式(4)计算.

3 数据处理与分析

对于牛顿环的暗环，我们测量了上百组数据(以暗斑偏大这一情况为例)，设级数调整系数为m，数据处理分别采用以下3种方法.

(1) 逐差法：一般采用的方法是把测量的偶数个数据对半分成前后两组，后一组的数据与前一组的对应数据逐差再取平均.而对于此次测量数据，球面的曲率半径公式为

(5)

(6)

的形式，便可以拟合出曲率半径.

(3) 级数拟合：因为玻璃的弹性压力或者灰尘等影响，使得实际上的暗斑直径远比理论值大得多，因此，一级或二级，甚至三级的暗环都淹没于零级暗斑之中，拟合的结果就会相差很大.所以，在拟合的时候，我们重新考虑了每一条暗环的级数，将其作为未知量，设

k=m+nm=6

则

同时拟合可以得到n和R的数值.

以表1的实验数据为例，我们运用上述方法，采用R语言和1stOpt软件为工具[6,7]，很好地解决了此问题.我们分别编写了R语言和1stOpt程序，计算了球面半径，并进行了对比(球面半径的真实值为2 000 mm).由表1可知，运用级数拟合的方法，可以更精确地得到曲率半径.

表1 实验数据及计算结果的对比

特别说明一下，从数据统计拟合的角度，由真实多次测量计算可知，采用R语言，运用统计分析的方法，可以得到更准确的曲率半径，并可以给出相关的Std.Error，t value，Pr(>|t|)值等信息.R语言计算结果如下：

Formula:x$D2 ～ f(R, lambda, m, n)

Parameters:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

R 2.067e+03 5.181e+00 399 <2e-16 ***

m 2.544e+00 3.348e-02 76 1e-12 ***

…

我们还可以调整牛顿环螺丝的松紧程度，并对牛顿环多次测量，以某3次测量为例，如表2所示.

图2 暗环直径平方随n的变化曲线图

表2 牛顿环实验测量数据及计算结果

由图2，表2可以看出，在此特例中，测量结果具有很好的一致性和稳健性.R的平均值为2.041×103mm.级数调整系数m为2(取整后的结果).

4 反演验证

从表1还可以看出，同一个暗环，测量的和拟合的级数相差3个.测量的级数反而是错的？拟合的级数一定是准确的？为了说明这个问题，我们分析了暗环级数与直径的关系，如图3所示.可以看出，实验测量的直径变化曲线与理论曲线相差3个级数，而拟合的曲线与理论曲线符合得很好，这也说明我们拟合的级数是正确无误的.

图3 暗环直径随级数的变化曲线图

5 结论

运用级数、半径同时拟合的方法，对实验数据进行数据处理，并与传统的数据处理方法做了对比.该方法不仅能精确得出平凸透镜的曲率半径，还能得出各个暗环的级数和暗环半径，是对该实验数据处理方法的一种创新.同时，真实暗纹级数的确定，对于牛顿环测量薄膜、玻璃弹性模量、液体折射率等具有很好的指导意义.

致谢：非常感谢河北地质大学物理实验中心杜国强、张江老师的指导，以及物理实验协会同学的帮助.