浅探胡克力与万有引力的联系

钟城伟

【摘要】根据开普勒第一定律，万有引力情况下行星运动轨迹为椭圆，恒星在椭圆的焦点上。在胡克力的情形下，我们很容易得到运动轨迹也是椭圆。本文就这一现象，在理論上探讨了胡克力和万有引力的联系。通过引入的一个轨迹间的变换将胡克力运动方程与万有引力运动方程联系起来，由此可以通过胡克力运动方程的解得到万有引力运动方程的解，并通过所得万有引力的解证明了开普勒第一定律和第三定律。

【关键词】胡克力  万有引力  椭圆轨迹  运动方程  变换

【中图分类号】G63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）13-0151-02

一、引言

中学阶段，我们学习了万有引力及行星运动的相关知识，尤其是开普勒三定律[1]的结果仅仅把结论呈现出来，但是为什么万有引力情形下的运动满足开普勒三定律却没有涉及。想要回答这个问题，我们需要写出其运动方程并求解，但是直接的求解比较困难，在本文中，我们发现，胡克力的运动轨迹也为椭圆且非常容易得到其运动轨迹的数学表达式。这为求解提供了一个思路，能否将胡克力和万有引力联系起来，通过某种变换将胡克力运动方程的解变为万有引力运动方程的解。正所谓“他山之石，可以攻玉”，我们在本文中确实利用一个变换由胡克椭圆运动方程得到万有引力运动方程，并由此得到万有引力运动方程的解，从而证明了开普勒第一和第三定律。

二、运动方程的复数形式

万有引力（反比于距离的平方）的运动方程如下：

m■=-■

其中G为万有引力常数，M为恒星质量，m为行星质量。这属于有心力场下的运动，因此运动轨迹在一个平面内，设此平面为xy平面，运动方程为：

m■=-■，m■=-■

在此平面上引入复数坐标z=x+iy，可改写运动方程为：

m■=-■

同理对于胡克力（正比于距离）的运动方程m■=-kr（？子表示时间）可以通过引入uv平面和复数坐标w=u+iv改写为（这里使用不同的记号避免混淆）：

m■=-kw

三、两个方程间的联系

1.变换的数学表达式

在复平面上，设万有引力方程m■=-■的关于时间t的解为z（t），胡克力方程m■=-kw关于时间？子的解为w（？子）。我们的目标是找到一个变换，z=z（w）和？子=？子（t）使得，若w（？子）满足m■=-kw，则z（w（？子（t）））满足m■=-■。结果表明变换z=z（w）和？子=？子（t）为z=■和 ■=■（其中r0是具有长度量纲的常数），接下来我们证明该变换符合我们的目标，也即变换是有效的。

2.变换有效性的证明

在该变换下，z对时间t的一次导数■为：

■=■■（w2）=■2w■■=■2w■■

=r0■■

二次导数■为：

■=r0■■■=r0■■■■

=■■■■+■■■

=■■-■■+■-■w

在胡克力运动方程下，总能量E守恒，E由质点动能和弹簧势能组成

E=■m■■+■■+■ku■+v■

=■m■■+■kw■

所以■■=■，代入到二次导数■的表达式中可得：

■=■-■■+■-■w

=-r■■■■=-r■■■■

因此令4r0E=GMm，即可得到万有引力运动方程m=■=-■。

3.变换的进一步说明

当我们求解出来胡克力运动方程m■=-kw的解w（？子）时，我们可以通过引入变换z=■和■=■，并选取合适能量E=■的胡克力运动轨迹w（？子），使得变换后的z（t）=z（w（？子（t）））满足万有引力运动方程m■=-■。

四、变换的应用

1.变换前后的运动轨迹

可以很容易验证w（？子）=u+iv=A1cos ？棕？子+iA2sin ？棕？子是胡克力运动方程的解，其中？棕=■，这个轨迹显然是椭圆■+■=1。我们来看一下变换之后的运动轨迹z（t）。可设A1>A2>0，改写w为w=r0re■+■e■，其中r0=■■，r=■。r0具有长度量纲，符合变换的要求。此时Z=■=r0r■e■+■e■+2，因此

x=r■r■+■cos2？棕？子+2r0，y=r0r■-■sin2？棕？子

x，y满足■+■=1这也是一个椭圆，而且原点位置在椭圆的焦点上。

按照变换■=■，我们求得■=■=r2+■+2cos2？棕？子，所以t=r■+■？子+■sin2？棕？子

以上x（？子），y（？子），t（？子）给出了万有引力运动的解。

2.开普勒第一定律和第三定律的证明

我们证明了x，y满足■+■=1因此万有引力运动轨迹可以是椭圆，且在写万有引力运动方程时，我们认为恒星位于原点处，该椭圆的焦点也在原点处，因此我们证明了开普勒第一定律，也即行星的运动轨迹是椭圆，恒星在椭圆的焦点上。

再者，按照上述结果，椭圆运动的长轴为a=r■r■+■，质点位置z在？子=0→■完成一个周期，对应t的周期为T=r■+■■+0=r■+■■。我们知道胡克力下的运动w（？子）=u+iv=A1cos？棕？子+iA2sin？棕？子对应的运动能量E=■kA■■+A■■■=m ？棕■r■■■+r■，变换要求■=E=m ？棕■r■■■+r■，这个要求实际上意味着■=■=■=■

这就是开普勒第三定律。

五、结语

本文主要给出了胡克力与万有引力轨迹使用复数表示时的一个变换，将两个方程联系了起来，从而通过胡克力运动方程的椭圆解得到了万有引力运动方程的椭圆解（和极坐标系的结果[1]一致），并给出开普勒第一和第三定律证明。这一方法可以尝试推广到其它有心力之间的联系变换。

参考文献：

[1]舒幼生.力学[M].北京大学出版社，2005，09：128-139.