几种不同寿险精算模型下均衡纯保费的探究

宋鹏飞 高符严

山东大学数学学院

由于有时趸缴纯保费的额度过大，这就有可能让被保险人因为经济原因而取消保险计划，因此在现实中可以运用分期缴纳的方法，以此来降低被保险人的经济压力。以被保险人的生存作为缴费的先提条件，按照相等的时间间隔下的分期缴纳的纯保费叫做期缴纯保费，每次缴纳的相等数额的纯保费就叫做均衡纯保费（Equilibrium Net Premium），主体字母我们用P表示。下面，我们将对几种根据不同趸缴纯保费与缴纳保费的方式产生的均衡纯保费进行具体探究。以下均以年龄为x岁的终身寿险的趸缴纯保费举例，以与分别表示保险受益金在死亡所在年度末支付（离散型人寿保险模型）与立即支付（连续型人寿保险模型）的趸缴纯保费；以与分别表示年初付终身生存年金精算现值与连续型终身生存年金精算现值。

一、全离散式寿险模型的年缴均衡纯保费

全离散式寿险模型指的是保险费按期初付生存年金方式缴付,保险受益金（死亡给付）在死亡的保单有效年度末支付的离散型保险模型，这种方式导出的均衡纯保费我们称作全离散式寿险模型的年缴均衡纯保费。这种均衡纯保费意味着我们将趸缴纯保费平均分摊到各个保险年度、每次在被保险人生存的条件之下在保单年度初等额缴纳的保费，直到合同约定的缴费期完成为止。这种寿险模型是寿险实务的基础，在精算发展史上有着重要的意义，对推动精算理论的发展起着重要的作用。

我们可以以普通终身寿险为例，导出年缴均衡纯保费公式：设年龄为x的1单位普通终身寿险的年缴纯保费为，则保险人损失随机变量(K=0,1,2,…),是每年年初付1单位终身生存年金的现值，则我们有，其余类型的年缴纯保费可由其定义做类似推导。

二、全连续型终身寿险模型的年缴均衡纯保费

三、半连续型终身寿险模型的年缴均衡纯保费

半连续寿险模型可以说是将全离散式与全连续式寿险模型综合并加以修改而得的，半连续型终身寿险有两种形式不同的模型。其中在保险实务中最常使用的半连续型终身寿险模型是：死亡给付是在被保险人死亡的是即时支付，且保险费按照期初付生存年金的方式来缴纳。这种模型比较切合实际，具有较强的实用性和可操作性。其年缴均衡纯保费的计算方法与全连续式寿险模型类似，只是在年缴纯保费采用的符号上有差异。

设年龄为x的投保保险额为1个单位的半连续式终身寿险，保险金在被保险人死亡时立即给付，其年缴纯保费用符号表示，则该寿险的保险损失为，则有是每年年初付1单位终身生存年金的现值，根据平衡原理有。

根据几种计算公式的导出，可以看出均衡纯保费的计算原理为精算平衡原理（Equivalence Principle），即E[L]=0，这也就为我们计算一般人寿保险的均衡纯保费提供了理论支撑，有利于我们在实务中的应用。

显然，我们推导的全连续模型与半连续模型中保险费按连续型生存年金支付这两种类型在现实生活中基本不可操作，但是我们从理论上对它们进行同等程度的讨论任然是非常重要的，因为这有助于我们完善整个寿险精算理论体系。特别地，由每年真实分m次缴付的年缴纯保费取极限递推出第二种半连续模型的过程，更加有利于我们对特殊模型及其均衡纯保费的分析与计算。