核心探究提素养 环环相扣引思辨

唐凝

【摘 要】问题串教学的研究正被越来越多的高中教师所重视，如何才能有效的设置问题串来传授数学概念，提升数学的核心素养呢？史宁中教授曾说过：“学习是学习者的活动，其他人是无法替代的。”学生通过课堂探究落实素养也绝非是简单的记忆和模仿，更需要深度学习，感受数学的思维、数学的美。本文结合一节直线与椭圆的位置关系的复习课，探究如何引导学生通过问题串教学，帮助学生理解用代数的方式处理解析几何中的几何条件，体会数形结合的思想。

【关键词】数学研究；核心素养

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）16-0076-02

1 情境环节巧设问，环环相扣入佳境

问题引入：（改编人教A版选修2-1第49页练习7）已知点C（2，0）和圆心为D的圆，M为圆上的动点，线段CM的垂直平分线交DM于点P，求点P的轨迹

方程。

师：动点M运动时，关于点P的几何条件哪些是不变的呢？这里又存在哪些几何条件是永远不变的呢？

设计意图：“本”立而“道”生，通过课本习题更易于学生唤醒旧知，让学生思维活动渐进佳境。

生1：圆的半径不变。

师：线段CM的垂直平分线交DM于点P，你得到什么几何关系？不变的几何关系？

生2：∣PM∣=∣PC∣，∣PM∣+∣PD∣=6，∴∣PC∣+∣PD∣=6

师：如果用代数的方式来表示几何条件，∣PC∣+∣PD∣=6可以得到什么？

生3：根据距离公式可得

=6，化简得到P的轨迹方程为。

设计意图：通过两个基础问题引导学生体会点在曲线上运动时总保持某些不变的量，并能用代数的方式来转化几何条件，这也是解决解析几何的核心数学思想。

2 核心探究致素养，环环相扣引思辨

问题一：从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰好为左焦点F1，A是椭圆与轴正半轴的交点，B是椭圆与轴正半轴的交点，且AB//OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是____。

设计意图：通过前面的热身，提出略有难度的问题可以激发学生探究的欲望，但同时还需通过层层递进的问题串，让学生在不仅感受数学思想，还可以在思维能力得到挑战的同时，更好的从感性认识跨越到理性认识，逐步提升数学能力[1]。

师：在处理圆锥曲线的问题中，用什么样的代数形式才能更好的表示几何关系呢？我们来看问题一，问题一中存在一个什么样的几何条件？

生：AB//OP

师：这个几何条件可以得到什么样的代数形式呢？

生1：AB//OP可以得到△OPF1～△ABO

生2：AB//OP可以得到即

师：还有那些代数的方式可以表示AB//OP

生3：AB//OP可以得到

师：很好，大家因为平行想到了很多的方式，关键是用一个恰当的方式表示这个几何关系，请大家分别探究一下。

生1：由△OPF1～△ABO可得，

生2：由，可得。

生3：因为AB//OP可以得到，即，

师：俗话说：“没有对比就没有伤害。”，对于AB//OP这一条件的不同代数形式的转化在计算上就已经产生了差别，若是更为复杂的条件，恰当的代数形式就显得尤为重要。

设计意图：通过层层递进的问题串引导学生感悟如何将恰当的将几何条件代数化，从而进一步体会解析几何的核心方法是用代数方法研究几何问题，解析法的核心思想就是数形结合。

问题二：已知椭圆，点P（0，1）和点都在椭圆上，直线PA交轴于点M，设O为原点，点B与点A关于轴对称，直线PB交轴于点N

（图1），问：轴上是否存在点Q，使得∠OQM=ONQ，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。

设计意图：根据学生思维发展螺旋式递进的课程理论，问题三是学生思维深度的延伸，学生如何有效化归问题中的几何条件，有效的几何问题代数化才是能力形成的體现。

师：大家可以看到题目中提到∠OQM=ONQ，那这个题目中的几何条件是什么？我们用什么样的恰当的代数形式表示呢？它和那些代数知识联系比较紧密呢？

生1：几何条件是∠OQM=ONQ，我认为可以用相似

表示。

师：什么相似呢？

生2：△ONQ=△OQM

师：很好，由这个几何条件，并对它的再研究，可以找到几何条件的本质特征，相似的本质是什么呢？

生3：相似可以得到三角形边的相似比，相似比就是一种代数形式。

师：好，大家再思考，什么样的代数形式可以表示角的相等呢？

生4：我认为可以用三角函数来解tan∠ONM=tan∠OQM

师：就只能用正切吗？

生5：其他的三角函数也可以。

师：还可以用什么来表示呢？想一想还学过哪些概念、公式含有角的呢？

生6：还可以用向量的夹角来表示，角相同，则夹角余弦值相同。。

师：非常好，大家想了很多办法，我们再想想。我们说过数学中的美是无处不在的，如对称美，我们解决数学问题就是寻找美的过程，我们来看，我们寻找N关于原点的对称点N′，连接N′Q，由对称∠N′QO=∠NQO，你能发现什么问题？

生7：因为∠N′QO=∠NQO，∠OQM=∠ONQ，∠OQN+∠ONQ=90°，所以∠N′QO+∠OQM=90°。

师：很好，通过对称，这两个角相等就转化为垂直的关系，拿垂直的代数关系是什么呢？

生8：直线N′Q，OM斜率乘积等于-1。

师：回答的很好，大家可以发现同样一个几何条件，可以得到很多的代数形式，解题中就是要寻求什么样的代数形式才能恰当的表示几何关系，并有利于计算。

设计意图：解题中一个几何条件往往有多种代数转化方式，何种才是最优选择？教学中可以通过问题串来发散学生的思维，使其更加开阔。学生只有通过对比才能积累几何条件合理代数化表示的经验。

3 教学活动中的环环相扣策略

（1）课堂上，教师期待通过引导，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功，获得发展。在设计互动环节，教师需要考虑到学生已掌握的学科核心知识，学科的本质及思想方法，借助环环相扣的设问使学生形成积极的内在学习动机，积极的情感、态度，正确的价值观。

（2）情境问题的设置必须和本节课的学习目标相吻合，活动的各个环节符合课堂教学的内在逻辑[1]。教师在设计情境问题时应让更多的学生参与到具有挑战性的任务，同时也应考虑到学生个体的人格、认知差异结合学情因材施教，对学生予以指导性的建议。在深度学习目标评价方面，不仅要体现学生思考的结果，同时尽可能使得学生的思维可视化，让学生的数学思维在碰撞中摩擦出智慧的火花。

（3）课程标准提出通过高中数学课程学习，学生应具有“四基”与“四能”。为达到这个目标，教师需要提高学生从数学角度发现和提出问题的能力。教学中教师的语言表达就很重要。激励的话语，专业的数学语言表达有助于学生逐步学会从数学的角度去观察生活，对一些数学现象进行数学思考，或在具体的情境中获得一些新的数学信息，通过一定的梳理、概况、提炼，并以数学的方式做出“是什么？能怎样？为什么？怎么样？”等方面的思考。学生通过对数学问题的思考与探索可以拓宽其方法视角，提升思维品质，学生感受的不仅仅是信心倍增，也会碰撞出更多的思维火花[2]。

【参考文献】

[1]王尚志.普通高中数学课程分析与实施策略[M].北京：北京师范大学出版社 ，2010.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017.