巧借几何直观 妙建数学模型

林香华

【摘 要】模型思想是义务教育数学课程标准（2011年版）新增的核心概念之一，数学模型思想是一种基本的数学思想。构建数学模型是一个综合性的过程，是从学生已有生活经验出发，将实际问题抽象并进行解释与运用的过程。几何直观能有效地利用图形描述和分析问题，把复杂的问题变得形象直观，它有助于探索解决问题的思路，帮助学生直观地理解数学，建立数学模型，提升学生数学素养。

【关键词】小学数学；几何直观；数学模型

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0191-02

1 借助几何直观创造问题情境

笔者在聆听全国著名特级教师吴正宪的课《商的变化规律》时，真正领略到大师的教学艺术，使心灵再一次感到震撼。那些枯燥的数字、定律在大师的教学中却充满童趣和挑战，闪烁着儿童的灵性。笔者在聆听大师的每一句话时，就在想大师究竟用什么法宝把函数的种子深深地埋在儿童的心中的呢？细细斟酌，几何直观在教学中起到举足轻重的作用，尤其是理解题意中。在探究新知中，大师先出示一幅图，这是一个正比例函数的不完整图象，横轴表示支数，纵轴表示总价。网格图上有可以连成直线的几个点，这个图讲了一个怎样的故事呢？一改以往总是先出示文字的应用题，这种充分利用几何直观的思想来激发学生学习兴趣又能有效渗透函数思想的做法实属教学之妙笔，能编出什么故事呢？在大师的引导下，一个充满智慧的数学问题出现，学生利用图形说故事，又利用图形解故事，以图说数，用数解图，淋漓尽致地理解题意。吴老师巧妙地借助几何直观，创设问题情境，为模型的建立开辟了有效的途径。

2 借助几何直观提出数学问题

在小学数学教学中，培养学生的问题意识是数学核心素养的重要体现。构建数学模型是学生从已有生活经验出发，将实际问题抽象并进行解释与运用的过程。由此可见，培养小学生的问题意识，使学生能从数学的角度提出问题是建模的前提。在《商的变化规律》这节课中，吴老师借助有趣的情境图，创设猴子分桃的情境，引导学生提出数学问题。当学生兴趣盎然地听完猴子分桃的故事后，都笑了，吴老师便面带微笑地对学生说：“笑声之后，同学们要有思考，同学生们为什么笑呢？”“猴王为什么聪明？”“猴王用什么东西把小猴给骗了？”“商要不变，被除数和除数要怎么变？”这一系列问题，有效地激发学生的探究欲望。在新知探究中，学生借助图形，用总价除以相对应的数量求出单价，发现单价总是不变的。学生列出如下算式：10÷2=5，20÷4=5 30÷6=5，40÷8=5。吴老师又引导学生观察算式，并提出问题：“你们又发现什么？”学生答到：“商不变，被除数和除数变了。”此时吴老师又风趣幽默地说：“都发现了，那么咱们还要研究什么呢？”此时学生又充满疑惑地看着老师，又看看黑板上的算式，一系列问题油然而生：为什么被除数、除数变了，商不变？为什么被除数、除数要一起变？它们之间有什么关系？怎么才能使商不变？为什么被除数加10，除数加2，商会不变？为什么说商变化规律，而不说商不变规律呢？整个教学过程，吴老师都充分利用几何直观，引导学生发现问题，提出问题，分析问题，解决问题。为模型的建立产生了非常重要的作用。

3 借助几何直观建立数学模型

吴老师这节课就是一个标榜的建模课，她向我们展示了有效而生动的建模过程。从情境的创设—问题的形成—模型的建立，整个过程显得那么自然，那么生动，那么有趣，那么有效。一切皆在吴老师的驾驭中，学生又显得生气勃勃，富有个性。吴老师先让学生举例，在自己所举的例子中画图，观察，比较，找彼此间的关系，并在小组内交流，在全班交流时，吴老师让学生充分展示学生的例子，并质疑学生：“还能写吗？”“写到下课写得完吗？”“有共同规律吗？”“写出你的发现。”此时，学生尝试用自己的语言表达商的变化规律，学生探究情绪高涨，在小组内积极交流，都能畅所欲言，吴老师弯腰倾听，耐心辅导，并巧妙地搜集学生的讨论结果，所搜集的内容层层递进。学生的每一个个性化的回答，每一次精彩的生成，在吴老师的驾驭下，都是宝贵的资源，她运筹帷幄，展示了学生的四个代表性的结论。第一，被除数变了，除数也变了，商不变。这是一个最肤浅的结论。第二，50÷10=5，500÷100=5商不变，这是一个特殊的例子，不是一般性的结论。第三，被除数乘10，除数乘10，商不变。这个结论比第二个结论范围更广，不过乘10还是具有特殊性。最后结论：被除数乘几，除数也乘几，商不变这个一般性结论。细细分析吴老师搜集的这些结论，不难看出吴老师的别具匠心，看出吴老师教学的精湛艺术。

4 借助几何直观解释模型

数学模型的解释与应用是建模过程的不可缺少的一个重要环节，通过解释与应用，一方面学生再次验证了模型的科学性，另一方面也让学生进一步理解并巩固数学模型。同时开拓学生思维，使学生学会触类旁通，并会举一反三，避免学生思维被某一个固定的模式所约束，从而培养学生思维的灵活性，思维的广阔性和思维的深刻性，提升学生思维品质，培养学生数学素养。当学生建立起商的变化规律模型后，吴老师又引导学生举例验证，学生在画图中、在验证中质疑，进一步培养学生的问题意识和应用意识，培养学生的质疑能力和应用能力。吴老师问学生：“我们发现的商不变的规律适合所有的除法算式吗？”一句激起千层浪，学生在充满怀疑和挑战中，从不同的角度验证发现的规律，他们试图推翻模型的准确性，但又久久不能，屡屡不成。最后只能心悦诚服。于是，商不变规律这个数学模型牢固地建立起来。接着，吴老师又引导学生回头看，对比猴王分桃，每只猴子分到的数目一样，买铅笔中，每支铅笔的单价一定，通过图形、文字、算式的比较，进一步夯实了商的变化规律。学生在回顾发现规律的过程中，获得探索规律的一般方法，体会数学建模的过程，积累学习经验。更可贵的一点是：吴老师又出示了一幅坐标图，上面出现能描成一条直线的若干个点，纵轴和横轴均没有单位，吴老师又启迪学生：“你能看着这幅图讲一个商不变的故事吗？”吴老师又一次利用不完整的正比例函数的图象引导学生丰富商不变规律，学生的思维在几何直观中海阔天空地驰骋。

吴老师上的《商不变规律》是一节非常成功的建模课。整个教学过程，都能充分借助几何直观，循序渐进地引导学生提出问题，分析问题，在分析问题中步步設疑，层层释疑，正像她说的“聊着聊着，那些数学概念、数学规律就出来了，数学模型也就建立了。”吴老师聊得那么自然，如涓涓甘露慢慢滋润学生的心田，学生也在聊着聊着中自主地建立起商不变规律这个数学模型。一切是那么舒坦，这就是教学艺术，整节课都在静静流淌着这种艺术魅力，就连听课的老师也陶醉其中，难怪在下课时，学生是那么的不舍，师生彼此都被这种教学艺术感染下难舍难分。

教育教学艺术的境界是无穷无尽的，如果每一个教育教学工作者都能去感受这种艺术，去研究这种艺术，那么，教师便会感到数学教学是那么有趣，那么富有生

命力。