浅谈代数式恒等变形的常用方法

【摘 要】代数式的恒等变形是初等数学重要知识点之一，是解决其它问题—函数及方程的重要前提和手段。其中也包含着数学观点和思维方法。学习掌握、灵活运用代数式的恒等变形，能提高运算能力和逻辑思维能力。

【关键词】代数式；恒等变形；公式法；拼凑法；代换法

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）16-0011-02

两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等

变形。

为了完成代数式的证明、求值及化简等问题，我们常要对某些代数式（或解析式）进行恒等变形。要较好地掌握代数式的恒等变形，首先要掌握代数式的相关公式、性质，并能灵活应用；其次要搞清楚该代数式变形的目的、方向和方法；第三是储备较丰富的解题实践经验。代数式恒等变形的具体手段和技巧较多，一般有配方、因式分解、换元、设参、拆项与合并等。下面结合例题从大的方面浅谈代数式的恒等变形的常用方法。

1 公式變形法

例1 若比较，

的大小。

分析：对于参数分为和两种情况讨论，分别去掉绝对值符号后再比较大小是可以的，但这种方法不简洁。

注意到，再结合一些公式的灵活变形，则可进行下列变化：

因为，所以可见

由此得证：。

评注：平方差公式大家很熟悉，但其在此题的变形目的、方向上作用不够。而由其变形公式

引出的恒等变形式却在证明中发挥了重要作用。

2 代换变形法

例2 在△ABC中，。

求证：≥

分析：如果直接把展开，再用比较法证明，太过繁杂。注意到，

都是正数，则可通过代换，令，，可知，

，于是只要证明≥即可，因为所以，≥≥可见，≥。

评注：证明不等式≥较难，但换元后的不等式≥容易证明。这体现了代换法的重要性。

3 拼凑变形法

除上面的代换变形法外，这道题还可以采用拼凑变形法来证明。

评注：在这种拼凑变形中，利用了当≥0时，的由简向繁的变形式，其目的在于使根号内形成偶数个因式，以便两两结合产生不等效果。在各种恒等变形中，拼凑变形用得最普遍、最灵活。

代数式的恒等变形在数学各分支、各章节中有广泛用途，但恒等变形的知识、方法却不能在某章、某节就能完全阐述，只有从代数的全局看问题，把恒等变形与计算能力、逻辑思维能力联系起来，把解题与提高数学素质联系起来，才能进一步看清恒等变形的重要性，也才能更好的掌握恒等变形的技法。

【作者简介】

白祥福（1964～），男，成都大学信息科学与工程学院副教授，研究方向：应用数学、中学数学、高等数学教育与教学。