Banach 空间中一类广义变分不等式组的隐迭代算法

隆建军，张光俊

（1.攀枝花市大河中学校，四川 攀枝花 617061；2.金阳县初级中学，四川 金阳 616250）

变分不等式理论已经成为研究线性与非线性问题的有力工具，并在许多领域得到了广泛应用，如数学规划、优化与控制理论、运筹学、对策论、工程技术、经济平衡理论及社会经济模型等，现在变分不等式理论已经成为应用数学的一个重要分支。近年来许多数学家和工程技术人员对该问题进行了广泛和深入的研究[1-15]。

受Noor和丁协平等专家、学者研究工作的影响和启发，本文继续在Banach 空间中研究广义非线性变分不等式组的有关问题。我们构造了一种隐迭代算法，用它来逼近广义非线性变分不等式组的解并讨论了它的收敛性。本文结论最大优点是在Banach 空间中进行研究的，因此，本文结论具有一般性，能够运用到LP,WM,P(Ω)（p＞1）等更为广泛的空间中去。

在本文中，我们总假设B 是Banach 空间，B* 是它的对偶空间， （●,●）是B 和B* 间的偶对，2B记为B 的子集全体。广义对偶映射Jq(x):B→2*定义为：

其中q＞1 是常数，J2是正规对偶映射。已知对所有的x∈B，Jq=‖x‖q-2J2，且当空间B* 是严格凸时，Jq(x)是单值的。由于本文所论述的空间B*是严格凸的，所以我们总是假设Jq(x)是单值的，记J2=J 也是单值的。若B=H 为H i l b er t 空间，则J2变为H 上的恒等映射。

设K 是B 的非空闭凸子集。映射Q:B→K 称作是向阳的，如果

映射Q:B→K 称作保核的，如果对x∈K 有Q x=x。若B 是光滑的，则B 映为K 的向阳非扩张保核映射是唯一确定的[3]。

设K 是B 的非空闭凸子集，Ti,gi(i=1,2,…,n）是给定的非线性映射，在本文中我们主要讨论下面一类广义松弛余强制非线性变分不等式组问题：

其中ρi＞0（i=1,2,…，n）是常数。

当n=2 时，问题1 退化为如下广义非线性变分不等式组问题：

求点（x1,x2)∈K×K，使得

其中ρi＞0（i=1,2）是常数。此问题徐永春等在文献[5]中已经研究。

如果g1=g2=…=gn=I 是恒等算子时，则问题1退化为如下广义非线性变分不等式组问题：

其中ρi＞0（i=1,2,…，n）是常数。

当n=2 时，问题1 退化为如下广义非线性变分不等式组问题：

求点（x1,x2)∈K×K，使得

其中ρi＞0（i=1,2）是常数。此问题N oor M.等在文献[2]中已经研究。

如果B=H 为Hilbert 空间,g1=g2=…=gn=I且J=I 为恒等映射算子时，则问题1 退化为如下广义非线性变分不等式组问题：

其中ρi＞0（i=1,2，…，n）是常数。此问题隆建军在文献[6]中已经研究。

当n=2 时，问题1 退化为如下广义非线性变分不等式组问题：

求点（x1,x2）∈K×K，使得

其中ρi＞0（i=1,2）是常数。此问题NoorM.等在文献[3]中已经研究。

一、预备知识

定义1[4]设B 是光滑的Banach 空间，K 是B 的非空闭凸子集。设QK:B→K 是保核的，J 是B

上的正规对偶映射，则以下结论等价：

（1）QK:B→K 是向阳非扩张的；

(2) ‖QKx-QKy‖2≤〈x-y,J (QKx-QKy)〉,对所有的x，y∈B 成立；

（3）〈x-y,J(QKx-QKy）〉≥0，∀y∈K。

定义2 （1）一个映射T：B×B→B 被称为r-强增生的，如果∃r＞0，使得

（2）一个映射T：B×B→B 被称为γ-松驰余强 制的，如果∃γ＞0，使得

(3)一个映射T：B×B→B 被称为(γ,r)-松驰 余强制的，如果∃γ＞0，r＞0,使得

显然（γ,r）-松驰强制算子是比r-强生算子更加广泛的一类算子。

（4）一个映射T：B×B→B 被称为对第一变元μ-Lipschitz 连续的，如果∃μ＞0，使得类似地，可以定义T 对第二变元的Lipschitz 连续性。

引理1[3]设B 是实q-一致光滑Banach 空间（q＞1），则∃cq＞0，使得

对所有的x,y∈B 成立。特别的，如果B 是实2-一致光滑Banach 空间，则∃c2＞0，使得对所有的x,y∈B 成立。

引理2[7]假设｛an｝是满足下列条件的非负序列：

二、算法

为了得到本文主要结论，我们构造如下解广义非线性变分不等式组的隐迭代算法。首先介绍算法的一个特例。

第一步 对任意初始值x1,0∈K,设m=0。

第二步

第三步 设m=m+1，回到第二步。

算法1 对任意初始值x1,0∈K，构造如下迭代序列｛x1,m｝,｛x2,m｝，…，｛xn,m｝,m≥0，使得

其中QK是B 映为K 的向阳非扩张保核映射，ρi＞0（i=1,2,…，n）是常数是（0，1]中的序列。

如果Ti（i=1,2,…，n）是一个变元的映射时，则算法1 变化为如下结论。

算法2 对任意初始值x1,0∈K, 构造如下迭代序列｛x1,m｝，｛x2,m｝，…，｛xn,m｝,m≥0，使得

其中QK是B 映为K 的向阳非扩张保核映射，ρi＞0（i=1，2，…，n）是常数是（0，1]中的序列。

在算法1 中，令g1=g2=,…,=gn=I 是恒等算子时，则有

算法3 对任意初始值x1,0∈K，构造如下迭代序列｛x1,m｝,｛x2,m｝,…，｛xn,m｝，m≥0，使得

其中QK是B 映为K 的向阳非扩张保核映射，ρi＞0（i=1，2，…，n）是常数是（0，1]中的序列。

三、主要结论及其证明

定理1 设B 是一致光滑的Banach 空间，Ti:B×B →B（i=1,2,…,n）是任 意算子，ρi＞0（i=1，2，…，n） 是 常 数, 则是广义非线性变分不等式组问题1的解当且仅当是算子方程

在B×B 中的解。

证明：已知广义非线性变分不等式组问题1等价于如下形式：

其中ρi＞0（i=1，2，…，n）是常数。

由QK的性质可得（1）式等价于

其中ρi＞0（i=1，2，…，n）是常数。

证明：由算法1、定理1 和QK的向阳非扩张保核性质有

由引理1 及T1是（a1,b1）-松驰余强制且并 关于第一娈元是e1-Lipschitz 连续的，则有

又由

又由T1关于第二变元是d1-Lipschita 连续的，有

由算子g1是（s1,t1）-松驰余强制和r1-Lipschitz连接的，则有

由（2）～（6）式可得

又由

由引理1 及T2是(a2,b2)-松驰余强制且关于第 一变元是e2-Lipschitz 连续的，则有

其中

又由T2关于第二变元是d2-Lipschitz 连续的，有

由算子g2是（s2,t2)-松驰余强制和r2-Lipschitz 连续的，则有

由（7）～（12）式可得

即

同理可得：

…… …… ……

由（7）～（16）可得

由条件（i）～（iii）可知

由此可得迭代序列｛x1,m｝强收敛于。同理可得｛x2,m｝,…，｛xn,m｝，m≥0，分别强收敛于，…。

如果g1=g2=…=gn=I 是恒等算子，则定理2 退化为如下广义非线性变分不等式组结论：

定理3 设B 是n - 一致光滑的Banach 空间，K 是B 中的闭凸子集是广义非线性变分不等式组问题2的解，假设Ti:B×B→B(i=1,2,…,n）是（ai,bi）- 松弛余强制且关于第一变元和第二变元分别是ei和di-Lipschitz 连续的映射，迭代序列｛x1,m｝,｛x2,m｝，…，｛xn,m｝，m≥0 是按照算法1 中所定义的，其中是(0,1]中的序列，满足下列条件：则迭代序列｛x1,m｝,｛x2,m｝，…，｛xn,m｝分别是强收敛于

注：利用定理2 和定理3 还可以得到一个变量的变分问题结论。