隐函数定理及其应用

2019-06-13孙海微

新教育时代·教师版 2019年12期

关键词：导数

孙海微

摘要：本文给出了隐函数的定义，隐函数存在唯一性和可微性定理的内容，它们使隐函数定理的应用更具普遍性。在讨论隐函数的应用时主要对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用这两个方面的应用做了详细叙述。

关键词：隐函数定理导数几何应用

一、隐函数

1.隐函数的概念

在这之前我们学习过的函数，它们的表达式大部分是自变量的某个式子，如y=cosx，y=x+2等这样的函数叫做显函数。

定义1.1 设，函数F：E→R.对于方程F（x，y）=0，（1）

若存在集合，对任意x∈I，有且只有y∈J，使得（x，y）∈E，且使方程（1）成立，则称方程（1）确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.如方程xy+y-1=0能确定一个定义在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隐函数y=f（x）.所以，隐函数必须在确立它的方程以及的成立范围后才有意义.[1]

2.隐函数组的概念

定义1.2 设有方程组

其中F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v）为定义在V∈R4上的两个四元函数，若存在平面区域，对于D中每一点（x，y），有唯一的（u，v）∈E，使得（x，y，u，v）∈V，且满足方程组（1-1），则称方程组（1-1）确定了隐函数组u=f（x，y），v=g（x，y）并在D上成立恒等式

F（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0，G（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0.

二、隐函数定理

下面我们将给出隐函数定理的存在唯一性与可微性，即针对后面研究做好基础准备.[2]

1.隐函数存在唯一性定理

定理2.1 若函数F（x，y）满足下列条件：

（i） F在以P（x0，y0）为内点的某一区域上连续，

（ii） F（x0，y0）=0（通常称为初始条件），

（iii） F在D内存在连续的偏导数Fy（x，y），

（iv） Fy（x0，y0）≠0，

证明先证隐函数f的存在性与惟一性

由条件（iv），不妨设Fy（x0，y0）>0.由条件（iii）Fy 在D上连续，在点P0的某一封闭的正方邻域，使得在其上每一点都有结果Fy（x，y）>0.（由连续函数的局部保号性）因而，对每个固定的x∈[x0-β，x0+β]，F（x，y），作为y的一元函数，必然在[y0-β，y0+β]上严格增且连续.由初始条件（ii）可知F（x0，y0-β）<0，F（x0，y0+β）>0.[3]

再由的连续性条件（i），又可知道F（x0，y0-β）与F（x0，y0+β）在[x0-β，x0+β]上

也是连续的.因此由保号性存在α>0（α≤β），当x∈（x0-α，x0+α）时恒有

F（x0，y0-β）<0 ，F（x0，y0+β）>0.

对（x0-α，x0+α）上每个固定值，同样有，.根據前面已指出的在[y0-β，y0+β]上严格递增并且连续，由介值性定理知，存在惟一的满足.由在（x0-α，x0+α）中的任意性，就能证明存在独一无二的一个隐函数y=f（x），它的定义域为（x0-α，x0+α），值域含于（y0-β，y0+β）.若记U（P0）=（x0-α，x0+α）×（y0-β，y0+β）=，则y=f（x）在U（P0）上满足结论1°的所有要求

再证明f的连续性.对于（x0-α，x0+α）上的任意点，.则由上述结论可知.任给ε>0，且ε足够小，使得.

由及F（x，y）关于y严格递增，可得.根据保号性，可知存在的某邻域（x0-α，x0+α），使得当时同样有，.因此存在唯一的y，使得F（x，y）=0，即y=f（x），.这就说明了当时，，即在连续.由得任意性，可得f（x）在（x0-α，x0+α）上连续.

2.隐函数可微性定理

定理2.2 设F（x，y）满足隐函数存在唯一性定理中的条件（i）-（iv），又设在D上还存在连续的偏导数Fx（x，y），则由方程（1）所确定的隐函数y=f（x）在其定义域（x0-α，x0+α）上有连续导函数，且.

证明设x与x+△x都属于（x0-α，x0+α），它们所对应的函数值y=f（x）与y+△y=f（x+△x）都含于（y0-β，y0+β）内.由于F（x，y）=0，F（x+△x，y+△y）=0

因此由Fx，Fy的连续性以及二元函数中值定理，有0=F（x+△x，y+△y）-F（x，y）=Fx（x+θ△x，y+θ△y）△x+Fy（x+θ△x，y+θ△y）△y

其中0<θ<1.因而

注意到式子等号右端是连续函数Fx（x，y），Fy（x，y）与f（x）的复合函数，而且Fy（x，y）在U（P0）上不等于零

故有，且f′（x）在（x0-α，x0+α）上连续.

三、隐函数定理的应用

1.计算导数和偏导数

隐函数的导数隐函数求导一般有两种方法.