分类与整合的思想

先说说庖丁解牛的故事。有一个名叫庖丁的厨师替梁惠王宰牛，手所接触的地方，肩所靠着的地方，脚所踩着的地方，膝所顶着的地方，都发出皮骨相离声，刀子刺进去时响声更大，这些声音竟然同《桑林》《经首》两首乐曲伴奏的舞蹈节奏合拍。为什么会这样呢？因为庖丁对牛的肌理结构掌握得十分准确，解剖时眼中只有个体，而无全牛（目无全牛）。这个故事告诉我们：当我们掌握事物的规律后，办起事来就会得心应手，运用自如。

“目无全牛”对数学学习的启示是，当我们对一个问题的整体无法下手时，可以通过研究问题的组成结构，化整为零，逐个突破。它体现了一种重要的数学思想方法：分类与整合的思想。从数学的角度讲，什么是分类与整合的思想？

在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，就不能再以统一的方法、统一的公式继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题。这其中体现的是由大化小、由整体化部分、由一般化特殊的解决问题的方法。其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法。

分类是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法，是研究数学问题时经常使用的思想方法。要正确地对事物进行分类，通常应从所研究的具体问题出发，选取恰当的分类标准，然后根据对象的属性，把它们划分为若干个类别。要科学的分类，要标准统一，二要是不重不漏。划分只是手段，分类研究才是目的。因此，还需要在分好的类别下对分事物进行研究。研究的基本方向是“分”，但“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必然有“合”，当分类解决完这个问题之后，还必须把它们综合到一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体。有“分”有“合”，先“分”后“合”，不仅是分类与整合思想解决数学问题的主要过程，也是分类与整合思想的本质属性。

分类与整合的思想是以概念的划分、集合的分类为基础的思想方法，教学中需要关注以下几个方面：一是有没有分类意识，具体表现为遇到应该分类的情况，是否想到要分类，什么样的问题需要分类;二是如何分类，即会科学地分类，分类要标准统一，不重不漏;三是分类之后如何研究;四是如何整合。

小学数学中分类与整合思想的应用很多。例如：分类（一年级物体的分类渗透分类思想、集合思想）;数的认识（数可以分为整数、0、负数，有理数可以分为整数和分数）;整数的性质（整数可以分成奇数和偶数，正整数可以分为1、素数和合数）;图形的认识（平面图形中的多边形可以分为三角形、四边形、五边形、六边形……三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，按边可以分为不等边三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三角形，四边形按对边是否平行可以分为平行四边形、梯形和两组对边都不平行的四边形）;统计（数据的分类整理和描述）;植树问题（先确定是几排树，再确定每排树的情况：两端都不栽、一端栽一端不栽、两端都栽）;抽屉原理（构建抽屉实际上是运用分类标准，把所有元素进行分类）。

在中学数学学习中，引起分类讨论的原因通常有以下几种：（1）涉及的数学概念是分类定义的，如绝对值的概念，P点分线段的比等。（2）公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制。例如：等比数列的求和公式分为[q=1]和[q≠1]两种情况;对数、函数的单调性分为[a>1]、[a<1]两种情况;直线方程分为斜率存在与不存在等。（3）几何图形中点、线、面的相对位置不确定，例如两点在同一平面的同侧、异側。（4）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性。如：排列组合的计数问题;概率问题要按题目的特殊要求，分成若干情况研究，等等。5.数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果。

分类与整合思想的渗透，需要掌握四个关键点：

一是分类的原因。分类讨论问题不仅是高考的重点和热点，也是高考的难点。解决这类题目的关键包括：找出分类的动机，即为什么分类;分类的对策如何，即怎样分类。一般地说，引起分类的原因大致可以归纳为六种。（1）由数学概念引起的分类讨论，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、向量的共线等。这类问题应以所定义的概念进行分类讨论，并且要注意概念所受的限制。（2）由数学运算要求引起的分类讨论，如除法运算中除式不为零、在实数集内偶次方根的被开方数为非负数、对数中真数与底数的要求、指数运算中底数的要求、不等式的两边同乘一个正数还是负数、三角函数的定义域等。（3）由数学的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论。如：有些数学性质、定理、公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立（指数函数和对数函数的单调性、均值定理、等比数列的求和公式等）。（4）由图形位置的不确定性引起的分类讨论。如，当已知条件不能确定图形的位置时，在求解或证明的过程中，需要根据可能出现的图形位置进行分类讨论。这类问题在立体几何和解析几何中较为常见。（5）由参数的变化引起的分类讨论。如，某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法，如含参数的方程或不等式、直线的点斜式或斜截式方程等，需要进行分类讨论。（6）其他。如排列、组合问题，应用问题等，需要根据实际问题进行分类讨论。

二是分类的原则。分类的对象是确定的，标准是统一的。学习时要不遗漏、不重复、分层次、不越级地讨论。如：要证明一个命题对于集合P成立，可将P分成若干个子集Pi（1≤i≤n），且满足P=P1∪P2∪…∪Pn，（其中Pi∩Pj=？，i≠j，1≤i，j≤n ），然后分别证明命题对P1，P2，…Pn都成立，则命题对P成立。

三是分类整合的一般步骤。一般而言，分四个步骤：（1）明确讨论对象，确定对象的范围即研究的全域;（2）确定统一的分类标准，进行合理分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类）。其中，“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果，要做到不重不漏。（3）逐段逐类讨论，获得阶段性结果。（4）归纳总结，整合得出结论。

四是分类整合的类型。包括四种类型：（1）问题中有变量或含有需讨论的参数的;（2）问题中的条件是分类给出的;（3）解题过程不能统一叙述，必须先分类后整合的;（4）有关几何问题中，几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。

分类与整合既是一种逻辑方法，又是一种重要的数学思想和数学解题策略，高考考查分类与整合思想的一个重要目的是检测学生的理性思维。分类与整合的思想往往是为了落实局部与局部之间的相互融合，但对于何时需要分类讨论。则要视具体问题而定，并无死的规定，需要在解题时不断地总结经验。比如：对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论;另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立，也是造成分类讨论的原因。在解题时，我们应注意挖掘个别情形进行分类讨论。