低渗气藏多级压裂水平井产能模型及影响因素

白 慧*，田 敏，冯 敏，刘鹏程，王海涛

1.中国石油长庆油田分公司勘探开发研究院，陕西 西安 710018

2.低渗透油气田勘探开发国家工程实验室，陕西 西安 710018

3.“油气藏地质及开发工程”国家重点实验室·西南石油大学，四川成都610500

引 言

对于低渗透气藏，仅采用单一水平井或压裂垂直井开发往往达不到理想的单井产能和预期的开发效果。水平井多级分段压裂技术能大幅度提高低渗气藏的单井产能，因此，近年来被越来越多地运用于低渗气藏、致密气藏、页岩气藏的开发，并取得了良好的开发效益。

1978年，Cinco-Ley等建立了压裂垂直井的渗流模型，并采用裂缝单元离散的方法对模型进行了求解[1]，该模型能准确地刻画压裂垂直井的压力和产量动态，但模型仅考虑了单条压裂缝的影响。1993年，Raghavan和Joshi给出了一种多级压裂水平井产能的计算方法，但该模型未严格考虑压裂缝中的流动[2]。1994年，郎兆新利用位势理论和叠加原理对油藏中的多级压裂水平井（MFHW）产能进行了研究，并推导出了产能计算公式，不过该公式未考虑压裂缝导流能力的影响，只适用于无限导流缝的情形[3]。2002年，宁正福等在郎兆新研究基础上对MFHW产能计算公式进行了改进，该公式进一步考虑了压裂缝导流能力的影响，能较好地用于MFHW产能的计算，不过，该模型对流体在压裂缝中的流动进行了较大的简化处理，与实际情况偏差较大[4]。2007年，曾凡辉等利用点汇解和叠加原理为MFHW建立了一种产能计算模型，该模型既考虑了压裂缝引起的势的相互干扰，也考虑了压裂缝导流能力的影响[5]，不过，采用个数有限的点汇的叠加来代替连续延伸压裂缝的方法不可避免地导致较大的偏差。2009年，王海涛等建立了多级压裂水平井不稳定渗流模型，计算并分析了MFHW井底压力动态及流量分布规律[6]，但该模型未考虑压裂缝导流能力的影响。同年，Brown将压裂水平井分为3个线状流动区，建立了三线性流模型，分析了MFHW的压力动态，并利用Mukherjee和Economides提出的表皮系数表达式考虑了压裂缝中的流体向水平井筒径向汇聚的影响，但文中未对产量动态进行分析[7-8]。2010年，曾保全等借助Eclipse软件，利用流线模拟方法，研究了压裂水平井流线分布特征、裂缝产能分布规律、裂缝长度对开发效果的影响[9]。2014年，张芮菡等基于压裂水平井三线性流模型，结合沃伦-茹特模型，建立了低渗透裂缝性气藏压裂水平井不稳定渗流数学模型，分析了其产量变化动态[10]，该模型较好地考虑了流体在地层及压裂缝中的流动，但仅适合于早中期的线性流阶段，对晚期流线形态发生变化后则不太适用。2016年，张德良基于非结构网格，采用有限元-有限体积法研究了页岩气藏MFHW水平井产能动态[11]，模型功能较强，能考虑很多复杂情况，但计算量大、计算耗时。同年，魏明强、段永刚等基于PEBI网格，引入尘气模型建立并推导了综合考虑页多重运移机制下的压裂水平井产量递减数学模型，计算获得了页岩气藏无限导流压裂水平井Blasingame产量递减典型曲线，讨论了相关参数对典型曲线的影响[12]，但未考虑压裂缝导流能力的影响。此外，还有不少学者对多级压裂水平井产能计算问题作了研究[13-21]。

由此可见，目前低渗气藏MFHW产能计算方面仍存在一些不足，为此，本文综合利用多种数学方法，建立了一个严格的产能计算数学模型。

1 物理模型

如图1所示，低渗气藏中有一口多级压裂水平井（MFHW），图中只画了6条压裂缝，但为了不失一般性，在推导时假设压裂缝条数为M，压裂缝半长为xf，水平井长度为Lh。

图1 低渗气藏MFHW物理模型Fig.1 Schematic of a MFHW in a low-permeability gas reservoir

其他基本假设如下：

（1）气藏水平等厚，原始地层压力为pi；

（2）考虑水力压裂缝的导流能力；

（3）忽略重力和毛细管力；

（4）气藏中为等温渗流。

2 产能计算的数学模型

该产能计算模型由气藏渗流模型和压裂缝渗流模型组成。为了在推导中不产生太多冗长的数值常数，本文模型在推导时采用SI国际单位制。

2.1 气藏渗流模型

由于多级压裂水平井内边界条件的复杂性，直接构建其渗流数学模型时很难准确给出内边界条件，故先从最简单的线汇模型出发，再利用叠加原理获得MFHW在气藏中引起的压力分布表达式。

2.1.1 线汇模型

线汇模型是渗流力学中最基本的渗流模型之一，此处考虑以恒定的井底压力pw生产，则无因次线汇模型如下[22]

渗流微分方程

式中：ψD—地层无因次拟压力，

rD—无因次径向距离，

tD—无因次时间，

ψi—原始地层压力pi对应的拟压力，Pa/s，

ψw井底压力pw对应的拟压力，Pa/s，

ψ-任一压力p对应的拟压力，Pa/s，

p0—参考压力，常取为0或一个大气压，Pa；

r—径向距离，m；

rw—井筒半径，m；

K—气藏渗透率，D；

φ—气藏孔隙度，无因次；

µi—原始条件下的天然气黏度，Pa·s；

Ci—原始条件下天然气的压缩系数，Pa-1；

psc—地面大气压力，Pa；

T—气藏温度，K；

h—气藏厚度，m；

Tsc—地面温度，K；

式（1）～式（4）构成了最基本的定井底压力生产下的线汇模型。

利用Laplace变换可求得上述线汇模型在Laplace空间的解为

式中：

K0—0阶虚宗量贝塞尔函数；

s—Laplace变量。

2.1.2 MFHW在气藏中引起的无因次拟压降的表达

由求和形式和积分形式这两种形式的叠加原理，可得M条裂缝在气藏中引起的无因次拟压降为

式中：qfDl第l条压裂缝的无因次线密度流量，

qfl—第l条压裂缝的线密度流量，m3（/s·m）；

xD—气藏中任一点的无因次x坐标，

yD—气藏中任一点的无因次y坐标，

xwD—压裂缝的无因次x坐标，

ywDl—第l条压裂缝的无因次y坐标，ywDl=第l条压裂缝的y坐标；

xfDl—第l条缝的无因次缝半长，

xfl—第l条缝的缝半长，m。

2.2 多压裂缝渗流模型

沿用Cinco等建立双翼压裂缝渗流模型时的建模思想[23-25]，可建立第 （jj=1，2，...M）条压裂缝的渗流模型如下

式中：

ψfDj—第j条压裂缝的无因次拟压力；

CFDj—第j条压裂缝的无因次导压系数，

Kfj—第j条压裂缝的渗透率，D；

WfDj—第j条压裂缝的无因次裂缝宽度，

WfDj=Wfj/rw；

Wfj—第j条压裂缝的裂缝宽度，m。

式（7）～式（9）就构成了压裂缝渗流模型，利用Laplace变换、二重积分可得

式中：

ψwD—无因次井底压力，根据其定义，有

qDj—第j条压裂缝的无因次产量；

2.3 气藏渗流模型与多压裂缝渗流模型联立

联立式（6）和式（10），得

式（11）为Fredholm积分方程，可通过对内边界进行单元离散来进行求解。

如图2所示，假设第j条压裂缝上第i个单元上的中点坐标为(Dj,i,ywDj)，第j条压裂缝上第i个单元的两个端点坐标分别为(xDj,i,ywDj)和(xDj,i+1,ywDj)。

图2 第 j条压裂缝离散图Fig.2 Schematic of discretization of the j hydraulic fracture

离散后的方程为

其中：

此外，对于第j条压裂缝，还存在如下流量关系

当i、j变化时，由式（12）和式（14）可得到N×M+M个线性代数方程，未知数（qfDl,v、qDj）的个数也为N×M+M个，方程个数与未知数个数相等，可以封闭求解，此外，在将Laplace空间解反演到真实时间域时可采用Stehfest数值反演[26]。

求出各压裂缝无因次产量qDj之后，利用其无因次定义，可求得各压裂缝的有因次产量qj，而气井产量q则为各压裂缝产量qj之和

3 产能影响因素定量计算及分析

以某低渗透气田T2区块典型储层物性参数为例，定量分析多级压裂水平井产能影响因素。参数情况如下：压裂缝条数M=6，压裂缝半长xf=40 m，水平井长度Lh=600 m，rw=0.1 m，地面大气压力psc=0.101 MPa，地面温度Tsc=20°C，气藏温度T=102°C，气藏厚度h=12 m，原始地层压力pi=30.5 MPa，井底压力pw=22 MPa，气藏渗透率K=0.001 D，裂缝渗透率Kf=20 D，气藏孔隙度φ=0.13，天然气黏度 µ=0.025 mPa·s，天然气的压缩系数Ct=0.033 MPa-1，井筒半径rw=0.1 m，裂缝宽度Wf=0.002 m。

经单位转换后，可利用本文模型进行产能计算分析。讨论某一参数的影响时，只令该参数变化，其他参数除非在图上标注，否则，取上述给定值。

3.1 气层有效厚度h

图3是气层有效厚度对MFHW产量的影响图。从图可以看出，随气层有效厚度的增大，气井产量几乎呈线性增加，故气层有效厚度是影响气井产能的主要因素之一。

图3 气层厚度对气井产量的影响图Fig.3 Effect of formation thickness on production rate

3.2 气藏渗透率K

图4是气藏渗透率K对气井产量的影响图。可以看出，随渗透率K的增大，气井产量也几乎呈线性增加。故气藏渗透率也是影响气井产能的主要因素之一。

3.3 压裂缝条数M

图5是压裂缝条数M对气井产量的影响图。从图上可以看出，当裂缝条数M增加时，气井产量qsc相应增大，但它们并不成线性增长关系，在裂缝条数较少时，产量增大的幅度很明显（如图5所示，压裂缝条数从2条增加至4条时，产能增幅很大），但随着裂缝条数的增加，产量增大的幅度逐渐减小。因此，对于水平井分段多级压裂来说，虽然可通过增加压裂缝条数来增大气井产量，但也不能一味地增加压裂缝条数。

图4 气藏渗透率对气井产量的影响图Fig.4 Effect of reservoir permeability on production rate

图5 压裂缝条数M对气井产量的影响图Fig.5 Effect of number of hydraulic fractures,M,on production rate

3.4 压裂缝半长xf

图6是压裂缝半长xf对气井产量的影响图。从图上可以看出，压裂缝半长xf在较短时，随它的增加，产量增大的幅度较大；压裂缝半长xf较长时，随它的增加，产量增大的幅度下降。早期xf对流量的影响大于晚期。

图6 压裂缝半长xf对气井产量的影响图Fig.6 Effect of half-length of hydraulic fracture,xf,on production rate

3.5 压裂缝导流能力KfWf

图7是压裂缝导流能力KfWf对气井产量的影响图。可以看出，当KfWf较小时，随KfWf的增加，产量增加较大；但当KfWf增加到一定值（例如，在T2区块典型参数条件下，当KfWf增大到40 D·mm）后，产量增大的幅度很小。说明可以通过注入高品质、足够数量支撑剂等方法提高压裂缝导流能力（实际上是提高了压裂缝的Kf、Wf），从而提高气井产能；另外，要综合考虑气井产能的增加幅度与提高KfWf时所花费的成本，而不要一味追求过于高的导流能力。

图7 压裂缝导流能力KfWf对气井产量的影响图Fig.7 Effect of hydraulic fracture conductivity,KfWf,on production rate

从以上对压裂缝条数M、压裂缝半长xf、压裂缝导流能力KfWf的分析可看出，三者对产能影响的规律比较相似，均是随其增大，产量增大，但前期增速快，后期增速慢。

3.6 各压裂缝流量分布规律

图8是压裂缝条数M=6时，在不同生产时间从地层流入各条压裂缝的流量大小分布图。图中对压裂缝的编号见图1。

图8 各压裂缝产量大小分布图Fig.8 Flux distribution in different hydraulic fractures

从图8可以看出，在早期，地层流入各条压裂缝的流量近似相等，但随着生产时间的推移，从地层流入两端压裂缝的流量逐渐大于从地层流入中部压裂缝的流量，即呈现“两端高、中部低”的特点。

4 结 论

（1）为多级压裂水平气井产能计算提供了一个严格的数学模型，并对模型成功地进行了求解，然后以此为基础，对不同因素影响下的多级压裂水平气井产能进行了定量计算和分析。

（2）随气层有效厚度h的增大，气井产量q几乎呈线性增大；随气藏渗透率K的增大，气井产量q也几乎呈线性增大。

（3）压裂缝条数M、压裂缝半长xf、压裂缝导流能力KfWf对产能影响的规律相似：当M、xf、KfWf值较小时，随它们的增大，产量增大幅度较大，当它们值较大时，产量增大幅度变小。故不能一味地靠增加M、xf、KfWf的大小来增加气井产能，应综合考虑气井产能的增加幅度与增大M、xf、KfWf时所花费的成本。

（4）在早期，地层流入各条压裂缝的流量近似相等，随生产时间的推移，地层流入端部压裂缝的流量逐渐大于流入中部压裂缝的流量，即呈现“两端高、中部低”的特点。