多目标规划原理及其应用

张大林 朱 昌

(黔南民族师范学院数学与统计学院，贵州 都匀 558000)

0 引言

多目标规划是研究现实问题在一定约束条件下多个目标函数的极值问题。它囊括着多项指标、偏差变量、权系数等多项理论知识，在合理探究高等数学中的重要公式后，引用多目标规划问题并进行主要目标法、分层序列法、线性加权求和法三种分析求解。 利用计算机软件进行结果多类别分析， 得出适合问题的合理满意解，展示出多目标规划原理巧妙的科学准确性。

基于线性规划的理论基础上，分析多目标规划问题的思想便变得更加广阔。 本文着重介绍三种基本方法：对于多项指标的多目标规划问题， 保留决策者合理的首次要求， 对问题进行主要目标法优化改变为同一目标问题求解；也可以将实际问题按照管理的要求比重，在满足第一级的规定要求后分析求解第二级，一级接着一级的分层序列求解；最后也能够引用线性求和法思想。

1 多目标规划原理

1.1 发展历程

线性规划思想是多目标规划原理的重要基础，务实了在解决多目标问题的各层面的可靠知识。 因此线性规划的发展历程是非常有必要了解的，尊重前辈们的艰苦探究， 到现如今已经能够在计算机领域上占领一座高峰，可见未来世界的管理者离不开线性规划基础之上的多目标规划原理。

图1

1.2 多目标规划表达方式

学习的高等数学中多目标规划原理有不同的论述表达，殊途同归，在这里统一规范的书写格式。首先多目标规划的也是由决策变量、约束条件、目标函数三要素构成线性规划，然后对问题进行分级比重指标，添加偏差变量，引入权系数进行理论补充。

一般的，简单形式进行如下描述:

规定变量为xi，给出的参数为yi，未知的随机因素为ξk，目标的评价准则为：U=f（xi,yi,ξk），约束条件是：g（xi,yi,ξk）≥0。 这 里g（xi,yi,ξk）=0，看 为 刚 好 足 够，若 不 等时，理解为随机模型。

1.3 绝对约束和目标约束

一般的，优化理论中线性规划此类的问题需要设定目标函数,因此根据所求目标值，合理的加入正、负偏差变量后是有效解答路径。 可以依据规划问题的要求，在绝对约束与目标约束进行互换确保合理准确作答。

图2

1.4 目标规划的目标函数

引入正偏差变量d+， 为目标函数中目标值比计算值小的情况；引入负偏差变量d-， 为目标函数中目标值比计算值大的情况，因此就能够得到优化的公式求出满意解。 一般的，需要同时加入d+、d-，使得计算值尽可能等于目标值。

上面说过，实际多目标规划问题中，由于决策者需要对多项要求有自我的把握程度，那么，对每一个具体目标规划问题,就依照分级要求考虑加入优先因子来构造目标函数。

综上，目标规划是有主观性和模糊性的，要构建目标规划的高效准确数学模型时, 要有明确的目标值、对问题要求进行优先等级、合理引入权系数等重要理论步骤。

2 多目标规划

如何分析求解多目标规划问题， 首先了解它的本质。 多目标规划问题其实是在优化过程中考虑的优化目标函数不只是单一的，通常都会存在两个或两个以上的目标函数， 而它们又会因为各自的最值要求互相矛盾，困扰决策者找不到极值解。 在优化理论思想中，求出一个合理的满意解是非常有必要的，决策者可以依据划分的各级要求，调整出合理的分配或组合方案。

一般的，将多目标规划的问题写成如下标准形式:

2.1 主要目标法

在多目标优化问题中，将实际要求分为主次目标进行求解，最主要的要求为f1（x），其余另外都为次要要求， 在一定的约束条件之下， 找出各自变量的的界限值，这样一样将次要目标转化为目标优化问题就显得方便求解了。 求解如下：

令

其中界值取为：

综上，求得的非线性规划问题得最优解同样是原问题的弱有效解，也必然是多目标优化问题的弱有效解。

2.2 分层序列法

多目标规划原理的分析思想也可表达为，将实际问题的多项指标问题，按照需要达到的要求重要程度进行分层次，不妨设有p 个目标，假设f1（x）相对于整体要求是不可缺少的，f2（x）稍次之，f3（x）再次之，以此类推，直到结尾的目标为fp（x）。 求解过程中，求解一级指标的目标函数f1（x），那么在其它约束条件不改变时，问题P1：

求出的最优解，记为x（1）和符合原题意的最优值，记为；接着求解在其它约束条件不改变时，问题P2：

同样的，求出的最优解，记为x（2），符合原题的最优值，记为，即:

其中：

接着在R1为问题P2的可行域下，继续求解问题P3：

得最优解，记为x（3）和符合题意的最优值，记为：…，以此类推下去，直到求解到第p 个问题pp：

得最优解，记为x（p），符合题意最优值，记为，则：x*=x（p）

综上，多目标规划问题的分成序列求解思路过程中，求得的最优解也就是满意解为：

2.3 线性加权求和法

另外的一种方法，在不使用分层次目标要求下，对p个目标可以重要程度的相互关系，分别给出科学合理的权系数：

且

求出的最优解，记为x（0），不妨取x*=x（0）是多目标规划问题的初解。

不难看出，如果用分层序列法分析，假设对其中的某个问题， 若它的最优解能够求出并且是唯一确定的，那么问题，这时候用h（x）=

作为下一个的新目标函数，也就是线性规划中的目标函数，继续求解实际问题：

再按以上的求解过程，依次分析求解权系数下的问题P2,…,pp。

综上，在一定约束条件下，多目标规划问题采用线性加权求和法得到的最优解依然是原问题的满意解。

3 实例分析

3.1 例题

设某市场上有n 种资产si（i=1,2,…,n）可以进行选择，如果有数额为M 的足够多的资金可以是一个阶段的投资。 其中，这n 种资产在这一时期内购买si的平均收益率为ri，风险出现的损失率为qi，且有投资越分散，总的风险越少， 总体风险可用投资的si中最大的一个风险来度量。 购买si时要付交易费，（费率pi），当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算。 另外，假定同期银行存款利率是r0，既无交易费又无风险。 （r0=5%）

已知n=4 时相关数据如下表1。

表1

请给出这所公司的一种设计投资的组合方案，也就是用给定资金M， 科学合理的选择购买若干种资产，或者将资金存入存银行收利息，最后能够使决策者的净收益足够高，而且受到的总体风险却尽可能小。

3.2 符号规定和基本假设

1）符号规定：

si 第i 中投资项目，例如股票，债券等ri,pi,qi各项投资项目si 的平均收益率，产生的交易费率，需要承担的风险损失率ui si的交易需要的投资定额r0 投资者所能参考的同期的银行利率xi 投资项目si的所需要的资金a 投资项目时，会出现的风险度Q 投资者的收获总收益

2）基本假设：

（1）投资者可用的投资数额M 是足够的，不妨设M=1；

（2）相对于投资本身，投资的项目越分散，投资者受到的风险只会越小；

（3）假定整体的风险可以用si中显得风险为第一来度量；

（4）n 种的各项资产是可以与各种投资项目si相互独立的；

（5）投资者在投资后，收益所需要的时间内，ri,pi,qi,r0，为稳定值，不受外界因素影响；

（6）投资者的纯收益只会受到ri,pi,qi影响，不受其它因素干扰，总体风险也是。

3.3 模型的分析与建立

1） 总体风险用所投资的si中最大的一个风险来衡量，即：

2）购买si所付交易费是一个分段函数，即：

而题目所给定的定值ui（单位：元）相对总投资M很少，piui更小， 可以忽略不计， 这样购买si的净收益为（ri－pi）xi。

3）要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型：

目标函数为：

4）模型简化

（a）在实际投资情况中，投资者需要承受风险的大小并不会一样，此处假定风险有一个界限a，使得最大出现的一个风险，都是可以找到合理的投资组合，那么就建立了线性规划的数学模型。模型一 固定风险水平，优化收益

（b） 假设投资者往往都期待于总盈利至少能有水平k 以上， 那么需要在风险最小的情况下就得探究出科学合理的投资方案。

模型二 固定盈利水平，极小化风险

（c）投入资金后，投资者都会矛盾于资产风险和预期收益，到底如何合理选择投资方案，在此处可以对风险、收益分别赋予权重s（0

模型三

4 算法实现

4.1 模型一的求解

模型一：

因为a 是未知的，是出于需要给定的任意风险度，而不同的投资者将会遇到不同的风险大小。 不妨，将a=0 开始计算， 以步长Δa=0.001 进行循环搜索求解，在计算机Matlab 软件上编程如下：

模型一的编程：

clc,clear

a=0;

hold on

while a<0.05

c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];

A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];

b=a*ones(4,1);

Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];

beq=1;

LB=zeros(5,1);

[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);

Q=-Q;

plot(a,Q,'*r');

a=a+0.001;

end

xlabel('a'),ylabel('Q')

4.2 结果分析

（1）投资的风险大，但是能够得到的收益也是令人满意的。

（2）如果将投资进行不断分散后，那么投资者需要接受的风险也随着减小。 可以这样理解：铤而走险的投资者通常选择集中投资，理由如（1），保全自己的资产的投资者又想尽可能的收益，减少风险会选择分散投资。

（3）在a=0.006 周围有一个转折点，不能看出在此点的左侧风险增加变得逐渐减少时， 投资者得到的利润是增长很快；相反，在此点的右侧风险增加逐渐变得很大时，投资者得到的利润增长却是有些减缓的。 这说明对于初学者或者是经历丰富的投资者， 选择此处拐点是非常适合的，避免了风险过大，收益过小的情形，拐点的数值为a=6%，Q=20%，其中方案可以为： 风险度a=6%，收益Q=0.2019，x0=0,x1=0.24,x2=0.4,x3=0.1091,x4=0.2212。