数学教学中的数与形

谢仕飞

数学是研究现实世界中空间形式与数量关系的一门学科，故数学的研究是围绕数和形展开的，而数形结合的实质在于数量关系决定着几何图形属性，几何图形的属性反映着数量关系。在现代数学研究中，数形结合既是一种常用的数学方法又是一种数学思想。由此可见，在中学阶段，掌握并熟练运用这一思想是十分必要的。本文针对数形结合思想的形成和演进，数形结合思想解题能力的培养，以及在中学数学解题中的应用范围做了浅显陈述。

1 数形结合思想

1.1 数形结合思想概述

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1.2 数形结合思想历史

随着时间的推移，数学得到了不断的拓展和充实，数学中最原始的研究对象数与形也在不断地变化，从最初因需要而产生数到欧几里德撰写的《几何原本》，再到从笛卡尔创立平面直角坐标系到近、现代数学研究，数形结合一直伴随其行。在古希腊数学时期，毕达哥斯拉学派在研究数学时，就借助形来归纳数的性质，这便是早期的“数”与“形”结合的体现。

数轴的建立使人类对数与形的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可视为点，点可当作数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算可以几何化。1637年，笛卡尔在其《几何学》中，首次提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有数的代数方程来表示和研究曲线。笛卡尔把数轴（一维）扩展到平面直角坐标系，把有序数对 与平面上的点一一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程组的解集一一对应起来。于是就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成对应的代数的研究。

1.3 数形结合思想方法在教学中的作用

有助于学生形成和谐、完整的数学概念。数学概念是数学逻辑的起点，是学生认知的基础，是学生数学思维的核心，但是由于数学中的概念往往是高度抽象的，给人一种单调、乏味、枯燥、难懂的错觉。利用数形结合的思想可以帮助学生理解数学概念。化抽象为具体，有利于数学概念的理解、记忆。这一点主要表现在以下几个方面，第一、利用数形结合，容易揭示数学概念的来龙去脉，学生易于感知和接受。第二、利用数形结合有利于学生对知识本质的理解。第三、利用数形结合，为概念赋予图形信息，帮助学生利用图形信息来理解记忆概念及对相关性质进行应用。

2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位

2.1 从新课程标准对思维能力的要求看数形结合

（1）从新课程标准对“双基”的要求来看数形结合思想

强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。对一些核心概念和基本思想都要贯穿中学教学的始终，由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。重视基本技能训练。与时俱进地审视双基。随着时代和数学的发展，中学数学中的双基也在发生变化，例如统计、概率、导数、向量、算法等内容已成为中学数学的基础知识。从整体到局部，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法（代数方法）处理有关问题；不等式教学要关注它的几何背景及应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明……由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。

（2）从新课程标准对思维能力的要求来看数形结合思想

数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生 从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思維方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。

2.2 从新课程教学内容的特点来看数形结合

纵观近年来的中、高考，熔“数”和“形”于一体的试题屡见不鲜。目前我们使用的新课本，不再把数学课划分为“代数”、“几何”，而是综合为一门数学课，这样更有利于“数”与“形”的结合，因此数学教师在教学中要做好“数”与“形”关系的揭示与转化，运用数形结合的方法，帮助学生类比、发掘，剖析其所具有的几何模型，这对于帮助学生深化思维，扩展知识，提高能力都有很大的帮助。

综上所述，代数方法的特点是解答过程严密、规范，思路清晰，几何方法具有直观、形象的优势。数形结合思想方法贯穿整个中学数学，它既是一种解题方法，又是一种数学思想，数形结合思想方法能够变抽象思维为形象思维，有助有在解题的过程当中把握问题的本质，其实质就是“数中思形，以形助数”，数与形之间的相互转化，它能使很多代数问题化繁为简，使我们能快速准确的获得结果。因此对数形结合思想的掌握与运用，对于中学生来说是有必要的。

（作者单位：余庆县城关中学）