一类分数阶发展方程周期边值问题mild解的存在性

丁永宏

（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

1 预备知识

设E为有序Banach空间，考虑如下带周期边界条件的分数阶积微分发展方程

其中 J=[0,ω],Dα是Caputo分数阶导数，0＜α＜1,-A是C0-半群T(t)(t≥0)的无穷小生成元，f∈C(J×E×E,E),是一个Volterra积分算子，其积分核

分数阶微分方程理论是近年来的一个热点研究问题，因其广泛的应用背景而被人们关注.在一些领域，含分数阶导数的微分方程甚至比整数阶的微分方程更具有现实意义，因此，已有很多学者研究了分数阶微分方程解的性质，获得了许多有意义的结论，参见文献[1-4].然而，对于分数阶发展方程，只有少数学者对其做过研究，见文献[5]，[6].本文在现有文献的基础上，讨论问题(1)mild解的存在性.下面给出一些本文用到的记号，定义和引理.

设E为有序Banach空间，其正元锥

为正规锥,C(J,E)表示定义于J取值于E的连续函数空间，其范数为正元锥

显然，PC也是正规锥.对于w,v∈C(J,E),且 v≤w,记[v,w]表示C(J,E)上的序区间

[v(t),w(t)]表示E上的序区间

记E1为D(A)按图像范数构成的Banach空间.设

有关Riemann-Liouville分数阶积分和Caputo分数阶导数的定义及性质，参见文献[1].下面给出问题（1）上下解的定义.

则v称是问题(1)的下解；如果上式中的不等号都相反，则称v是(1)的上解.

设 T(t)(t≥0)是 C0-半群，u∈E,定义算子如下：

其中 ζα(θ)是定义在 (0,+∞)上的概率密度函数,具有下列性质:

引理1.1[5]算子满足下列性质:

设h∈C(J,E),对于线性周期边值问题

有如下结论成立：

引理1.2[6]设E为有序Banach空间，其正元锥P正规.如果T(t)(t≥0)是指数稳定的C0-半群，则问题（3）有唯一mild解.

其中

Q:C(J,E)→C(J,E)为线性有界算子.

注1.1根据文献[6]中的引理2.14，有有界逆算子.

2 主要结论

定理2.1设E为有序Banach空间，其正元锥P正规，f∈C(J×E×E,E).假设-A生成正的紧C0-半群T(t)(t≥0).v0,w0分别是问题(1)的下解与上解，满足 v0≤w0.如果 f满足条件(H)存在常数C＞0,对有

则问题(1)在v0和w0之间存在极小mild解与极大mild解.

证明问题(1)等价于

其中C由条件(H)给出.-(A+CI)生成C0-半群，则 S(t)指数稳定.对任意的h∈C(J,E),令

则F:C(J,E)→C(J,E)连续，根据引理1.2，下面的线性周期边值问题

对于I1,因为T(t)是紧算子，所以,T(t)等度连续，故S(t)也等度连续.根据引理1.1(iv),

由条件(H)及锥P的正规性，存在M0使得

因此，根据引理(1.1)及(4)式,

成立.所以，

因此,

所以,

则根据Q1的单调性可得,

在E中相对紧.进一步，对于每一个u∈D,根据(4)式，易得

因此，存在一族相对紧集任意趋近于集合Y(t)={W(u)(t):u∈D}，所以Y(t)在E中也是相对紧集.特别的，Y(ω)相对紧，根据注(1.1),

为相对紧集.

在(5)式中令n→∞,则

根据Q1的单调性，易证

此外，进一步，有

3 应用举例

例3.1考虑如下分数阶抛物型偏微分方程周期边值问题

定义E中的算子A如下：

则E为Banach空间，P为E中的正规锥，且-A生成一个紧的，解析的正C0-半群T(t)(t≥0)，令

容易验证v0=-sin(πx),w0=sin(πx)为上述边值问题的一对上下解，且 f满足定理2.1中的条件(H)，所以，根据定理2.1，上述分数阶抛物型偏微分方程周期边值问题存在极小mild解与极大mild解.