数学文化渗透在高中数学课堂教学中的案例研究——“圆的标准方程”教学设计和反思

刘小文

（苏州市吴县中学，江苏苏州 215000）

新课程标准对于高中数学的课程教学提出明确要求，教师在课堂教学活动中不仅要引导学生掌握数学知识，同时还要以数学知识为基础，认知数学与人类社会发展之间的链接关系，能够在数学知识中洞察和认识其科学价值与文化价值，数学文化融入学科教学进程中，在课堂教学领域形成文化价值呈现的常态化，有助于学生在构建数学知识架构的同时，形成并发展数学意识，通过理解数学文化提升其对于数学科学价值的认同感，调动其参与课堂教学的主动性，为高中数学教学目标的实现奠定基础。《圆》是高中数学领域的重要知识点，同时也是数学文化的典型代表，在其课堂教学环节渗透数学文化教学思想具有诸多优势。具体教学活动设计如下。

1 文化溯源

情境1：本节课我们学习圆，请大家拿起手中的圆规画一个圆，看看它是多么美丽的曲线，从任何角度去欣赏它，都是一样的[1]。

【设计意图】培养学生的审美情趣，激发进一步学习圆的兴趣，同时圆也是符合中国人审美的，为下一步的学习做好铺垫。

情境2：在人类诞生开始，人类接触到的最早的圆形是太阳和每月中旬的月亮，人类总是对未知的东西充满了敬畏之心，于是圆便成了很多早期人类部落的图腾。圆也是中华文化和精神的核心要素：（1）中国人做事追求圆满；（2）中国人持家讲究团圆；（3）中国人为人谦虚圆润，不露锋芒。

【设计意图】圆是人类文明和中国文明的重要元素，是中国传统精神的象征，深深吸引学生，枯燥的数学课变得大气深邃和吸引人，进一步激发学生学习的兴趣。

情境3：圆是古代中国人的精神追求，在中国的传统及现代建筑中都能看到圆的存在，如大家最熟悉的苏州园林，圆形的门内就是一幅画，一个世界，也是园主人精神世界的一个窗口。

【设计意图】圆在建筑中的运用，是中国文化的物质遗产，是物质和精神审美的两种合而为一的表现，向学生介绍中国传统文化，加强民族自豪感和民族认同，让学生在这个全球化和信息化的时代加强一点中国文化的烙印。

2 概念生成

教师：中国古代的马车有两个大小一样的轮子，在圆心处用一根木头连接，作为车轴，马车行进的过程中，由于车轮上每一点到车轴的距离是相等的，所以车轴到地面的高度保持不变，这保证了车辆的平稳，人们就有舒适的乘坐体验。这也揭示了圆上点的性质：到圆心的距离相等。

（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径。

【设计意图】由马车车轮的例子引出圆的定义，自然而形象，学生学习时画面感清晰而生动，学生反馈很好，加深对概念的理解[3]。

（2）概念应用。

教师：我们学习解析几何，就是在坐标系内通过坐标运算来解决几何问题，下面我们就在圆中引入坐标系，怎么建立适当的坐标系呢？

学生：以圆心为坐标原点建系。

教师：为什么？

学生：对称，计算方便。

教师：我们知道直线方程是直线上任一点P(x,y)的横纵坐标所满足的等式是一个二元一次方程，那么圆的方程是什么呢？怎么求呢？

学生：在圆上任取一点P(x,y),因为po=r，所以

教师：很好，抓住圆上动点的共性列等式，最后进行化简即可。如果圆心是任一点C（a,b），则圆 的方程是（x-a）2+(y-b)2=r2。我们称之为圆的标准方程。其中圆心为 C（a,b），半径为 r。

教师：同学们能概括一下用求圆的方程的方法求动点轨迹的一般步骤吗？

学生：第一步，建系；第二步，设点；第三步，列式；第四步，化简。

【设计意图】学生对曲线方程的意识很单薄，对比前面直线方程引入到圆的方程，需强调或达到所谓曲线方程就是曲线上动点（任一点）横纵坐标所满足的等量关系，还需逐步学习掌握求轨迹方程的基本方法，最后要强调曲线与方程存在性和完备性的问题，是一个难点。

3 概念运用

教师：很好，通过图像知道圆周上一点和圆心连线段的长是半径，可以直接求出。

【设计意图】例1让学生通过实例强化圆的标准方程的几何意义，要求圆的标准方程需定圆心和半径，让学生体会数形结合的重要性。

练习1写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)(x-1)2+y2=6；(2)(x+1)2+(y-2)2=9；(3)(x+a)2+y2=a2。

练习2写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是 6；(2)经过点 P(6,3),圆心在点 C(2,-2)。

【设计意图】练习1让学生通过圆的标准方程得到圆心坐标和半径，练习2巩固数形结合法直接求出圆的方程，对圆的标准方程进一步加深理解

例2.求圆心是在直线2x-y-3=0上,且经过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的方程。

学生：线段AB为圆的一条弦，由圆的性质可知，AB的中垂线过圆心，两直线交点就是圆心，再求出半径即可。

教师：很好，挖掘了圆的几何性质解决问题此圆的圆心和半径不能轻易得到，我们可以设圆的方程为很显然满足三个等量关系：

例1.求圆心是C(2,-3),且经过坐标原点的圆的方程。

学生：已知圆心，只需求出半径即可，

从而求出a,b,r这种设方程列等式求参数的方法叫待定系数法。

【设计意图】例2通过学生和教师共同努力指出求圆方程的两种基本思路：数形结合法，待定系数法，一个从形的角度利用圆的性质找到解题突破口，一个从数的角度大胆设参数列等式解方程通过计算解决问题让学生体会到解析几何的本质，强化学生的计算能力。

【拓展】已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以线段AB为直径的圆的方程。

学生：可以直接求出圆心和半径，写出圆的标准方程。

教师：在圆中，设P为圆周上任一点，则PAPB,可以求出P的横纵坐标满足的等量关系，这不就是动点轨迹方程的求法嘛。

已知A(x1,y1),B(x2,y2)，则求以AB为直径的圆的方程。

【设计意图】通过经典题型进一步巩固圆的方程的求法，逐步引导学生轨迹方程的思想，因为求曲线方程，利用已知的曲线方程探求曲线的性质是解析几何的两个主要功能，锻炼学生的图形能力，计算能力，与前面圆的方程的探究相呼应，为下面的学习打好基础。

课堂总结：同学们，圆是有历史，有文化，有价值的几何图形，我们用现代的，科学的方法来学习它，发现它的美，它的秘密，更是一件有趣的事情，它还有什么奇妙的地方呢，接下来我们会继续学习。

【设计意图】总结一节课的内容，从圆的文化到圆的方程，为接下来利用圆的方程探究圆的性质做好铺垫，激发学生学习的兴趣，让一堂枯燥的数学课有了文化的渲染变的不同，起到画龙点睛的作用。

4 教学反思

（1）数学课堂教学中要融入数学文化和数学发展史，开阔学生眼界，丰富了课堂内涵，该课引入了圆的人类发展过程中的作用，物质的精神的，一堂数学数学课包含人类学、历史学、物理学等方方面面的知识，提高学生的求知欲，拓展学生的知识面，培养学生努力成为一个综合性人才[4]。

（2）让数学核心素养在课堂上落地生根。数学学科核心素养既相互独立、有相互交融,是一个有机整体.数学核心素养的培养要融入整个课堂,让学生在数学学习的过程中逐步形成。开始的引入,体现了数学抽象、数学建模的核心素养；类比、数形结合、分类讨论等思想贯穿在整个教学过程,培养了学生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养。只有让数学核心素养在课堂上落地生根,才能让学生学会用数学眼光观察世界,学会用数学思维分析世界,学会用数学语言表达世界[5]。

5 结语

数学课程是高中阶段的重要内容，在课堂教学活动中融合数学文化，有助于开阔学生的知识视野，并促进学生数学素质的不断提升。开展课堂教学活动，教师要结合教材教学内容，在教学准备阶段进行相关材料的搜集以及教学资源的整合，在教学目标中融入数学文化的相关内容，将文化观念与内容杂糅到各个教学环节中，形成无形的文化教育和引导，以提升数学课程教学质量。