基于修正KMV-Copula模型的组合信用风险度量研究

王佳 杨艾琳 王旭

【摘 要】 文章利用我国ST和非ST的上市公司真实数据，对KMV模型进行修正，引入了基于EGARCH的KMV模型计算单个资产的违约概率。进一步分别采用二元正态-Copula、二元t-Copula以及二元阿基米德-Copula包括Gumbel-Copula、Clayton-Copula和Frank-Copula函数对信用资产组合的违约相关性进行建模，研究多资产间的联合违约概率。研究结果表明，修正的KMV模型具有合理性和有效性，Clayton-Copula函數对联合违约概率拟合更好。研究结果有助于商业银行预测各企业的信用风险大小及可能性，提升应对风险的能力，以维护我国金融市场安全稳健运行。

【关键词】 信用风险; KMV; EGARCH; Copula函数

【中图分类号】 F830.5  【文献标识码】 A  【文章编号】 1004-5937（2019）07-0053-05

一、引言

信用风险是上市公司面临的主要风险之一，而违约概率及违约相关性是信用风险度量的核心问题。目前，国际上比较成熟的度量违约概率方法主要有信用计量模型（Credit Metrics）、CreditRisk+模型、信用组合观点（Credit Portfolio View）以及KMV模型等。其中，由于KMV模型具有可以直接利用股票市场数据计量信用风险、利用资本市场信息来预测公司违约风险的特点，使得KMV模型的应用最为广泛[ 1 ]。

国外学者Nyambuu等[ 2 ]提出用KMV模型来评估新兴经济体的主权违约风险，并证明了KMV模型对于发展中国家是一个合理的风险衡量方法。Kollár等[ 3 ]将KMV、Credit Metrics和Credit Risk+三种模型进行比较，并分别指出三种模型的优缺点。Kliestik等[ 4 ]认为使用KMV模型可以提前一年或一年半的时间预期到金融信用风险方面的问题。国内学者结合我国国情对KMV模型进行研究，表明KMV模型作为预测指标的表现较好[ 5-10 ]。较具代表性的有：禹久泓等[ 6 ]运用我国上市公司财务报表中的数据对违约点的设置进行修正，采用枚举法估算出最适合的违约点估算方程，结果表明KMV模型在评价我国上市公司信用风险方面能在一定程度上给投资者带来一些启示;孙伟等[ 7 ]选取82家上市公司进行KMV模型的实证分析，结果发现该模型可以很好地衡量债务公司的违约风险，违约距离越大，信用风险越低，公司违约的可能性越小;唐振鹏等[ 8 ]利用修正的TGARCH-KMV模型度量不同经济区、不同行业上市公司的信用风险。

同时，一些学者在基于KMV模型的信用风险度量中引入Copula函数，研究两个或多个公司债务间的违约相关性问题。Fenech等[ 11 ]利用阿基米德Copula方法对债务间的联合违约概率及违约相关性进行度量，得出阿基米德Copula能够有效地描述信用风险间的右侧尾部依赖性。Valle等[ 12 ]利用二元Copula模型表示资产定价函数，并用蒙特卡罗模拟进行估计，计算两公司间的联合违约概率。刘向华等[ 13 ]利用我国上市公司数据，引入基于GARCH的KMV模型求解单个资产的违约概率，采用t-Copula函数对标的资产的违约相关性进行建模，对BDS进行定价。

本文在前人研究的基础上，在设定违约点和估计股权价值波动率方面对传统的KMV模型进行修正，提出基于EGARCH的KMV模型，并以我国ST和非ST上市公司形成对照组进行实证研究，以检验修正后的KMV模型对我国上市公司信用风险度量的有效性。同时进一步将KMV-EGARCH模型与二元阿基米德-Copula、二元正态-Copula函数和二元t-Copula相结合，研究两公司间的联合违约概率和违约相关性。

二、模型构建

（一）基于EGARCH的修正KMV模型构建

KMV模型认为一个上市公司的股权价值可以看作一个欧式看涨期权，标的资产是公司的总资产，行权价为公司债务价值。在债务到期日，如果公司的资产价值高于债务价值，则公司履行债务，不发生违约;反之，公司以其资产价值来偿还债务，股权价值变为0。当公司资产价值下降至某一临界值时，企业就会对其债务违约。KMV模型的基本思想是借鉴Black-Scholes定价理论和Merton的期权定价思想，通过分析公司资产的未来市场价值到违约点的距离和预期违约概率来判断该公司的信用情况。

构建EGARCH-KMV模型具体包括以下步骤：

第一步，确定上市公司的股权价值VE和债务账面价值VD。

第二步，估计公司的股权价值波动率σE。本文采用非线性EGARCH模型对股权价值波动率进行建模，估计日波动率，并进一步转化为年化的股权价值波动率。

第三步，估计公司的资产市场价值VA和公司的资产价值波动率σA。

根据Black-Scholes-Merton期权定价公式，即：

VE=VAN（d1）-De-rtN（d2）  （1）

其中，d1=，d2=d1-σA。D为公司的债务账面价值，t为债务期限，r为无风险利率。又由伊藤引理可得到股权价值波动率σE与资产价值波动率σA之间的关系：

σE=    （2）

将式（1）和（2）联立，已知量为VE、σE、D、r、T，计算得到VA和σA。

第四步，计算违约点DPT。DPT表示当公司资产价值低于该值时，公司发生违约。KMV公司对大量的历史违约数据进行归纳总结，得出结论DPT=STD+0.5×LTD。然而，西方发达国家的市场环境与我国的市场环境存在一定差别，有必要结合我国实际情况对违约点进行修正。目前，我国学者对于违约点的修正大多仍停留在KMV公司给出的框架，如张能福和张佳[ 14 ]提出的DPT=1.8STD+ 1.2LTD、李永涛等[ 15 ]提出的DPT=STD+0.75LTD。本文利用上市公司的总资产、流动负债和长期负债数据进行多元回归，建立违约点线性方程，对违约点DPT进行修正。

三、实证分析

（一）样本选取

本文的实证样本包括违约组和正常组两类。其中，违约组样本选取的是2017年1月1日至2017年12月31日被冠以ST和*ST的股票。筛选原则包括：（1）已完成股权分置改革，股票实现全流通，即总股数=限售流通股数+非限售流通股数，其中限售流通股占比较小;（2）考虑到A、B、H股市场之间的差异，剔除了同时发行B股或H股的上市公司，仅选取发行A股的主板上市公司;（3）考虑到行业间差异，尽可能多选取各类行业的上市公司，并且在沪深两市都有选取样本，使结果具有广泛的适用性，更有说服力;（4）基于股票价格服从几何布朗运动的假设，本文选择2017年内股价变动基本连续，无停牌或除权等重大事项发生的股票;（5）考虑到可能会有异常值的影响，剔除了部分具有极端异常值的样本股票。考虑到两组公司的可比性，选择正常组的原则包括：（1）与配对的违约组公司属于同一行业、同一证券交易所、有相近总资产规模的主板上市公司;（2）剔除同时发行B股或H股，选择仅发行A股的上市公司;（3）选择已完成股权分置改革、股票实现全流通且限售流通股占比较小的股票;（4）选择2017年内股价变动基本连续，无停牌或除权等重大事项发生的股票。

根据以上条件筛选，本文最终选取违约组和正常组各28家上市公司，其中行业划分标准为证监会行业分类，样本涵盖房地产业、制造业、采矿业、批发零售业、信息技术服务业、公共设施管理业、农林牧渔业和综合8个行业的上市公司。

（二）基于EGARCH-KMV模型的单个资产信用风险度量

第一步，违约点DPT的估计。以上市公司的总资产为因变量，流动负债（STD）、长期负债（LTD）为自变量，建立回归方程DPT=β1STD+β2LTD+ε，用Eviews做线性回归，并对回归方程进行异方差性检验（怀特检验）并修正（异方差稳健标准误法）、序列相关性检验（D.W.检验）和多重共线性检验。结果表明，方程显著成立且不存在异方差性、序列相关性和多重共线性。得到违约组和正常组的违约点计算公式为：

DPT=1.3979×STD+0.7438×LTD  （15）

DPT=1.4885×STD+2.0149×LTD  （16）

式（15）和（16）估计的系数都大于KMV公司给出的系数，说明直接采用传统违约点计算公式并不适合我国的实际情况。

第二步，估计股权市场价值VE。在实证部分选取的两组样本公司只发行A股，总股本数为A股股本数，所以股权市场价值=股票市价×总股本=总流通市值，以此计算每个样本公司2017年的平均股权市场价值。

第三步，估计股权价值波动率σE。利用EGARCH模型对样本公司2017年的日对数收益率进行拟合，以四川金顶（600678）为例，使用Eviews软件计算出股权价值波动率。

首先，对四川金顶的日对数收益率序列进行描述性统计分析和平稳性检验，结果见表1。从表1可以看出，该序列的均值为-0.0024，标准差为0.0420，偏度为-0.3894，小于零，左偏，峰度为3.7604，大于3，由此可判断该股票的日对数收益率序列存在较明显的“尖峰厚尾”特征。Jarque-Bera统计量为12.0440，P值为0.0024，拒绝该收益率序列服从正态分布的假设。ADF平稳性检验中，t统计量为-14.4844，P值为0.0000，说明该序列平稳，用EGARCH模型来拟合是合理的。

其次，进行ARCH效应检验。对该资产日收益率序列进行ARCH效应检验，检验结果如表2。由ARCH滞后1阶的检验结果可知，在1%的显著性水平下拒绝原假设，即残差序列存在ARCH效应，适合使用EGARCH模型。

[F-statistic 8.8687 Prob. F（1，233） 0.0032 Obs*R-squared 8.6168 Prob. Chi-Square（1） 0.0033 ][表2 ARCH效应检验结果]

最后，建立EGARCH模型。常用的EGARCH模型包括EGARCH（1，1），EGARCH（1，2），EGARCH（2，1）， EGARCH（2，2），分别对上述四种模型进行回归分析。根据AIC值和SC值越小、Log likelihood值越大则模型拟合度越优的选取原则，选择EGARCH（1，1）模型。对EGARCH（1，1）模型的残差进行ARCH效应检验，检验结果如表3。结果表明F统计量不显著，不存在ARCH效应，即EGARCH（1，1）模型消除了ARCH效应。

[F-statistic 0.0517 Prob. F（1.233） 0.8203 Obs*R-squared 0.0521 Prob. Chi-Square（1） 0.8193 ][表3 EGARCH（1，1）模型的ARCH效应检验结果]

于是可以建立EGARCH（1，1）模型：

ln σ2

t=-0.0384-0.0662

+0.0655+

0.9878lnσ2

t-1     （17）

建立EGARCH（1，1）模型后生成方差序列得到该股票的日波动率，得出四川金顶（600678）的年化股权价值波动率为0.5923。同理，可得所有樣本公司的年化股权价值波动率。

第四步，估计违约距离。已知股权市场价值VE、股权价值波动率σE、违约点DPT、无风险利率r和期限T=1，借助Matlab软件，使用fsolve函数迭代求解KMV非线性方程组，得到违约距离DD和违约概率EDF，见表4。

从表4可以看出，违约组中8种不同行业的平均违约距离小于正常组的平均违约距离，平均违约概率大于正常组的平均违约概率。

第五步，对两组样本数据的违约概率分别进行t检验和Wilcoxon检验，以此判断两组数据的分布是否存在显著差异，检验结果见表5。由表5可知，t检验对应的P值为0.0332，Wilcoxon检验的P值为0.0299，均小于5%的显著性水平，因此拒绝原假设，两组样本在违约概率上存在显著性差异。

[ 统计量 P值 t检验 -2.186234 0.0332 Wilcoxon检验   2.171256 0.0299 ][表5 正常组和违约组违约概率显著性检验结果]

综上所述，修正的KMV模型可以较好地识别ST公司和非ST公司之间的信用风险差异。研究结果表明：（1）从整体上看，违约组的违约概率大于正常组的违约概率，且违约组与正常组的违约概率有统计意义上的显著差异。因此，本文提出的修正KMV模型可以作为监控上市公司信用风险变化的一种可靠、可行的工具;（2）本文在计算违约点时使用公司财务数据进行线性回归而非传统刚性的系数，在计算股权价值波动率时使用EGARCH模型而非历史波动率，这使KMV模型的适用性更强。

（三）基于二元Copula的组合信用资产联合违约概率测算

本文在利用EGARCH-KMV模型估计单个资产违约概率的基础上，分别利用具有对称特征的二元正态-Copula和t-Copula以及具有非对称特征的二元阿基米德-Copula函数估计两种资产间的联合违约概率。分别选取来自制造业的样本公司大西洋（600558.SH）和信息技术服务业的信雅达（600571.SH）2017年日对数收益率进行实证分析。

第一步，利用三种正态性检验方法，对两家公司的日收益率序列进行正态性检验，检验结果如表6。可以看出p值都非常小，均拒绝服从正态分布的原假设，即两样本都不服从正态分布。

[ 大西洋 信雅达 Jarque-Bera检验 0.0010 0.0010 Kolmogorov-Smirnov检验 0.0001 0.0005 Lilliefors检验 0.0010 0.0010 ][表6 正态性检验][注：表中各值为p值。]

第二步，参数估计。估计正态-Copula、t-Copula、Gumbel-Copula、Clayton-Copula和Frank-Copula的参数。

第三步，估计秩相关系数。分别得到五种Copula函数以及原始数据的Kendall秩相关系数、Spearman秩相关系数的估计结果，如表7。

[ Kendall

秩相关系数 Spearman

秩相关系数 正态Copula函数 0.3746 0.5182 t-Copula函数 0.3496 0.5043 Gumbel-Copula函数 0.3467 0.5105 Clayton-Copula函数 0.3579 0.4943 Frank-Copula函数 0.3831 0.5506 原始数据 0.3540 0.4916 ][表7 秩相关系数估计结果]

从表7可以看出，Clayton-Copula函数的Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数与原始数据的相关系数更为接近，这说明二元阿基米德Clayton-Copula函数可以更好地反映大西洋和信雅达两个公司之间的秩相关性。

第四步，模型评价。通过式（9）对模型进行评价，选择合适的Copula函数。表8为五种Copula与经验Copula函数的平方欧氏距离。从表8可以看出，Clayton-Copula函数可以更好地拟合两家公司的收益率数据，与第三步的结果相同。

[ 平方欧氏距离 Gumbel-Copula函数与经验Copula函数 0.0563 Clayton-Copula函数与经验Copula函数 0.0201 Frank-Copula函数与经验Copula函数 0.0422 正态Copula函数与经验Copula函数 0.0246 t-Copula函数与经验Copula函数 0.0213 ][表8 平方欧氏距离计算结果]

第五步，计算联合违约概率。计算大西洋和信雅达的联合违约概率，如表9。由于Clayton-Copula函数拟合较好，因此大西洋和信雅达的联合违约概率为0.00007698。

四、结论

本文构建基于EGARCH的KMV模型，对KMV模型中的违约距离、股权价值波动率进行修正，研究单个资产的信用风险度量问题。进一步考虑金融市场的联动性，将修正的KMV模型与Copula函数相结合，测算信用资产组合的联合违约概率，得出结论：

（1）从整体上看，违约组的违约概率大于正常组的违约概率，实证检验结果符合违约距离越小、违约概率越大的理论，且违约组与同行业相近资产规模的正常组的违约概率有统计意义上的显著差异。这说明，基于EGARCH的KMV模型具有合理性和有效性，可以作为监控上市公司信用风险变化的一种可靠、可行工具。

（2）利用五种二元Copula函数分别对信用资产组合的相关性进行描述，通过对比得出结论，Clayton-Copula函数对联合违约概率拟合得更好。

综上所述，在预防和降低上市公司信用风险时，要注意不同行业间的联合违约性，从而有利于风险管理和防范，维持我国的宏观杠杆率在合理的水平，并及時应对随时可能发生的异常波动，以确保我国金融市场不会发生巨大的系统性风险。

【参考文献】

[1] KABIR M N， WORTHINGTON A， GUPTA R. Comparative credit risk in islamic and conventional bank[J].Pacific-Basin Finance Journal，2015（34）：327-353.