正则角联锁组织的矩阵模型及其生成算法
2019-05-30杜增锋倪庆清刘新华
王 旭， 杜增锋， 倪庆清， 刘新华,2
(1. 安徽工程大学 纺织服装学院， 安徽 芜湖 241000； 2. 安徽工程大学 纺织科技公共服务平台， 安徽 芜湖 241000； 3. 信州大学 纤维学部， 日本 长野 3868567)
三维纺织复合材料增强体结构中角联锁组织应用较为广泛，由于接结纱将多层经、纬纱线固结成整体，增强了经、纬纱线间的联系，从而提高了抗冲击和抗分层破坏的能力[1-2]。角联锁组织分经纱接结、纬纱接结2种，前者以接结经纱和纬纱交织，后者以接结纬纱和经纱交织。以经纱接结角联锁为例，如果只有接结经纱和纬纱2个纱线系统，即为无衬经纱角联锁组织。如果在相邻纬纱层之间还填充有衬经纱，即为有衬经纱角联锁组织[3]。杨小侠[4]以5层角联锁组织为例，分析了实口、空口及有无衬经纱情况下的组织参数、上机图设计和上机织造要点。可以看出，和简单组织相比角联锁组织结构和上机图更加复杂。角联锁组织图是反映交织规律的重要图解，通常由人工根据交织示意图进行。由于交织规律复杂，组织图设计过程效率低、易出错。如何提高角联锁组织的设计效率一直是该领域的研究热点。许鹤等[5]通过分析角联锁组织经纱的浮沉规律并结合角联锁经纬纱循环关系，提出一种基于数字排列的角联锁组织的设计方法。聂建斌等[6]根据角联锁织物的交织规律并结合织物组织参数，提出一种以分式结构来表达交织规律的简便方法，无需绘制交织示意图即可根据分式直接得到组织图。
上述研究为简化角联锁组织交织规律的表达提供了理论参考。近年来研究者开始运用计算机辅助设计提高角联锁组织的设计效率。白燕[7]以正则多重纬角联锁组织为例，运用组织参数之间的关系并结合Excel工作表，提出了一种快速绘制交织示意图的方法，通过复制第1经纱交织规律并调整起始点黏贴等方法，实现组织图的绘制。该方法属于交互式的操作，仍需要人工参与绘图过程，其绘图效率的提高受到一定限制。许璀莹等[8]研究了实口重纬结构角联锁组织的交织规律，并探讨了计算机辅助组织图绘制过程。CHEN等[9]根据角联锁组织的交织规律开发了交织示意图和组织图的设计程序，通过输入组织参数，实现了参数化绘图，提高了绘图效率。
上述研究表明，建立反映交织规律的织物组织矩阵模型是运用计算机辅助织物组织设计的关键环节，目前虽然已有织物组织矩阵模型的报道，但涉及角联锁组织矩阵模型的研究尚不多见。本文以经纱接结正则贯穿角联锁组织为例，探讨无衬经纱和有衬经纱时矩阵模型及其生成算法，并给出无衬经纱矩阵中第1接结经纱列向量和有衬经纱矩阵列向量的赋值算法，为提高该类组织设计效率提供了参考。
1 正则贯穿角联锁组织的交织规律
经纱接结角联锁组织按交织方式可分为贯穿和层间角联锁2种。按照交织规律性，又可分为正则和变则角联锁2种。三维纺织复合材料增强体结构中正则贯穿角联锁组织应用较多，接结纱以一定的倾斜角贯穿整个织物厚度，与各层纬纱以角联锁状交织，接结经纱间交叉口填入纬纱。根据相邻两层纬纱中有无衬经纱，正则贯穿角联锁又分为无衬经纱和有衬经纱2种情况，其交织示意图如图1所示。
图1 正则角联锁组织交织示意图Fig.1 Diagram of regular angle-interlock weave. (a) 4 layers no-filling warps; (b) 4 layers with filling warps; (c) 5 layers no-filling warps; (d) 5 layers with filling warps
为便于分析，对图1中的标记做如下规定：1)图中圆圈、曲线和水平直线分别表示纬纱、接结经纱和衬经纱；2)每行圆圈代表1层纬纱，圆圈内数字为纬纱序号，从上向下依次编号；3)左侧数字代表接结经纱序号，以最上一层纬纱接结经纱从左到右出现顺序依次编号；4)右侧字符表示衬经纱序号，相邻2根接结经纱间从上到下相邻纬纱层间依次填入衬经纱。
正则贯穿角联锁的组织图可根据组织参数确定。分析图1所示的交织规律可得到如图2所示的组织图。图中纬纱与接结经纱、衬经纱交织处的经组织点分别用“×”“■”表示，交织处的纬组织点均用“□”表示。
图2 正则角联锁组织图Fig.2 Weave diagram of angle-interlock. (a) 4 layers no-filling warps; (b) 4 layers with filling warps; (c) 5 layers no-filling warps; (d) 5 layers with filling warps
1.1 无衬经纱角联锁组织交织规律
图1(a)示出4层无衬经纱的情况：1个完全组织循环包含5根接结经纱，纬纱4层，每层5根，1个完全组织循环共20根纬纱。图1(c)示出5层无衬经纱的情况：1个完全组织循环包含6根接结经，纬纱5层，每层6根，1个完全组织循环共30根纬纱。
令纬纱层数、完全组织经纱数、完全组织纬纱数和接结经纱间经向飞数分别为n、RJ、RW和SJ，则由图1(a)、(c)无衬经纱角联锁组织的交织规律，RJ，RW，SJ分别满足式(1)～(3)。
RJ=n+1
(1)
RW=n×(n+1)
(2)
SJ=n
(3)
图2(a)、(c)所示的无衬经纱角联锁组织图有如下规律：各接结经纱的交织规律一致；相邻接结经纱间满足飞数关系。
1.2 有衬经纱角联锁组织交织规律
图1(b)示出4层有衬经纱的情况：1个完全组织内包含经纱20根，其中5根接结经分别为第1、5、9、13、17根经纱，其余为衬经纱，分5组每组3根(用f1、f2、f3表示)，分别位于相邻接结经纱间的相邻纬纱层间；纬纱4层，每层5根，1个完全组织循环共20根纬纱。图1(d)示出5层有衬经纱的情况：1个完全组织内包含经纱30根，其中6根为接结经，分别为第1、6、11、16、21、26根经纱，其余为衬经纱，分6组每组4根(用f1、f2、f3、f4表示)，分别位于相邻接结经纱间的相邻纬纱层间；纬纱5层，每层6根，1个完全组织循环共30根纬纱。由图1(b)、(d)有衬经纱角联锁组织的交织规律，RJ、RW、SJ分别满足式(4)～(6)。
RJ=n×(n+1)
(4)
RW=n×(n+1)
(5)
SJ=n
(6)
图2(b)、(d)所示的有衬经纱角联锁组织图有如下规律：1)各根接结经纱的交织规律一致； 2)相邻接结经纱间满足飞数关系；3)一组衬经纱内的各衬经纱的交织规律均不相同，但是每相邻2根接结经纱之间的各组对应次序的衬经纱交织规律一致。
2 正则角联锁矩阵模型及生成算法
根据正则贯穿角联锁组织的特点，可构建矩阵A来表达交织规律，见式(7)。矩阵A的行数r、列数c分别为完全组织纬、经纱数，即r=RW、c=RJ。为区别不同的组织点，式(7)中矩阵元素ai,j用不同的符号表示，本文用u、v分别表示接结经纱与纬纱交织形成的经、纬组织点，用g、h分别表示衬经纱与纬纱交织形成的经、纬组织点。
(7)
2.1 无衬经纱角联锁矩阵模型及生成算法
根据图2(a)所示无衬经纱角联锁组织交织规律，其矩阵A的列数c=RJ、行数r=RW，分别按式(1)、(2)确定。矩阵A的列向量代表接结经纱，其元素ai,j分别用u、v代表接结经纱的经、纬组织点。
无衬经纱角联锁矩阵A的生成算法，实质上是矩阵A中元素ai,j的产生过程。由于1个完全组织循环内接结经纱的交织规律一致，且相邻接结经纱的经向飞数SJ与纬纱层数n间满足式(3)，因此只需要确定第1接结经纱的交织规律，就能按飞数SJ依次确定其他接结经纱的交织规律，从而完成矩阵A的产生。具体生成算法包括3个步骤。
1)生成第1列接结经纱的交织规律。
第1列接结经纱的交织规律可参照式(8)、(9)的分式表示，其中式(8)表示纬纱层数n为偶数，式(9)表示纬纱层数n为奇数时的交织规律[6]。该方法有利于用计算机程序按列进行矩阵赋值，可提高设计效率。
(8)
(9)
以图1(c)所示为例，n=5，根据式(9)得出第1接结经纱的交织规律如下：
2)生成矩阵A的第1列向量。
无衬经纱矩阵A的第1列向量的元素ai,1赋值，可根据式(8)，或式(9)，从左到右依次从分子b、分母d取值，当从分子b取值时，ai,1取u，当从分母d取值时，ai,1取v，其满足式(10)。
(10)
式中：b、d的下角标x=0时，令b0=0，d0=0；i=1,2,…,r。
以第1对分子分母为例，当0 3)生成矩阵A的其他列向量。 矩阵A的第2至c列，则按相邻列间的飞数SJ关系[10]，运用式(11)逐列进行赋值。 (11) 式中：下标i,j分别为矩阵元素的行序、列序；i=1,2,…,r；j=2,3,…,c；SJ为经向飞数；RW为完全组织纬纱数。 由式(11)可知第j列向量可由第j-1列向量向上移动SJ得到。当满足i+SJ≤RW，则将j-1列第i+SJ行元素都赋值给第j列第i行。当满足i+SJ>RW，则将j-1列第i+SJ-RW行元素都赋值给第j列第i行。以此类推完成矩阵A的全部元素赋值。 对比图2(b)和图2(a)、图2(d)和图2(c)发现，有衬经纱和无衬经纱，在纬纱层数n相同时，接结经纱与纬纱的交织规律完全一致。有衬经纱相当于在无衬经纱的基础上，相邻接结经纱间嵌入1组衬经纱与纬纱交织构成。令n层纬纱有衬经纱角联锁组织矩阵为A，其列数c、行数r分别为SJ、RW，可按式(4)、(5)确定。整个矩阵A可看成由接结经纱矩阵A1和衬经纱矩阵A2组合构成。其中矩阵A1分别用元素u、v代表接结经与纬纱交织形成的经、纬组织点。矩阵A2分别用元素g、h代表衬经纱与纬纱交织形成的经、纬组织点。矩阵A1的行数r1=n(n+1)，列数c1=n+1。矩阵A2的行数r2=n(n+1)、列数c2=n-1。 矩阵A可由矩阵A1的列向量之间分别嵌入矩阵A2构成，具体生成算法分3个步骤。 1)生成接结经纱矩阵A1。矩阵A1可根据2.1节建立。 2)生成衬经纱矩阵A2。根据图2(b)、(d)的交织规律，矩阵A2可先将第1列，按式(12)进行赋值，然后第2列在第1列的基础上按式(13)赋值，以此类推，后一列在前一列的基础上，奇数列按式(12)赋值，偶数列按式(13)赋值，最终得到矩阵A2。 (12) 式中：k=1,2,…；j=1,3,5,…。 (13) 式中：int为截尾取整计算；k=1,2,…；j=2,4,6,…。 3)生成有衬经纱角联锁矩阵A。根据接结经纱矩阵A1和衬经纱矩阵A2，按照式(14)相互嵌入，建立矩阵A： (14) 式中：A(：，j)为矩阵A第j列向量；A1(：，l)为矩阵A1第l列向量，l=1,2,…,c1；A2(：，m)为矩阵A2第m列向量，m=1,2,…,c2。 以图2(b)所示为例，验证矩阵A的生成算法。 由层数n=4，根据式(4)～(6)，得到RJ=20，RW=20，SJ=4，则矩阵列数c1=20，行数r1=20。n为偶数纬纱层数，首先按式(8)得到第1接结经纱交织规律： 根据第1经纱交织规律，由式(10)依次带入i=1,2，…，r1得到矩阵A1的第1列向量ai,1。再由式(11)，依次带入j=2,3,4,5，得到矩阵A1的第2至第5列向量，ai,2，ai,3，ai,4，ai,5，如图3所示。 由2.2节可知，层数n=4，衬经纱矩阵A2的行数r2=20，列数c2=3。矩阵A2的奇数列、偶数列分别由式(12)、(13)得到。按照式(12)，带入j=1可得出ai,1在i为1、5、9、13、17时取h，其他位置时取g。将ai,1赋值给ai,2，按照式(13)，带入j=2可得出ai,2在i为3、7、11、15、19时取h。将ai,2赋值给ai,3，按照式(12)，带入j=3可得出ai,3在i为2、6、10、14、18时取h。最终得到图3所示的衬经纱矩阵A2。 如图3所示，先将接结经纱矩阵A1放入矩阵A。由式(14)可知，n=4，l分别带入1、2、3、4、5时，j分别为1，5，9，13，17，即矩阵A的第1、5、9、13、17列分别等于矩阵A1的第1、2、3、4、5列。再将衬经纱矩阵A2放入矩阵A。由式(14)可知：当n=4，l=1时，m分别取1、2、3，得到j分别为2，3，4，即矩阵A2的第1、2、3列分别赋值给矩阵A的第2、3、4列；当n=4，l=2时，m分别取1、2、3时，得到j分别为6、7、8，即矩阵A2的第1、2、3列分别赋值给矩阵A的第6、7、8列。重复上述过程，可产生矩阵A的所有列。 图3 4层有衬经纱正则角联锁组织矩阵 上述验证表明，本文给出的正则贯穿角联锁组织矩阵生成算法是正确的。 本文以经纱接结正则贯穿角联锁组织为例建立了：1)无衬经纱和有衬经纱正则贯穿角联锁组织矩阵模型；2)提出了无衬经纱正则贯穿角联锁组织矩阵中第1接结经纱列向量的赋值算法，并给出利用飞数关系的矩阵生成算法，通过输入纬纱层数即可根据上述算法产生对应的组织矩阵；3)提出了有衬经纱正则贯穿角联锁组织矩阵中衬经纱矩阵列向量的赋值算法，并给出通过接结经纱矩阵和衬经纱矩阵嵌入的矩阵生成算法，通过输入纬纱层数即可根据上述算法产生对应的组织矩阵。 FZXB2.2 有衬经纱角联锁矩阵模型及生成算法
3 矩阵生成算法验证
3.1 接结经纱矩阵A1生成
3.2 衬经纱矩阵A2生成
3.3 有衬经纱角联锁矩阵A生成
Fig.3 Weave matrix of four layers regular angle-interlock with filling warps4 结束语
